n维向量组的极大线性无关组.ppt

3 4向量组的极大线性无关组 问 其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量 定义1若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示 则称向量组可由向量组线性表示 若向量组和可以互相线性表示 则称两个向量组等价 一 等价的向量组 向量组可由线性表示 即 向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使 若向量组和等价 等价向量组的性质 1 自反性 一个向量组与其自身等价 2 对称性 若向量组和等价 则向量组和等价 3 传递性 若向量组和等价 向量组和等价 则向量组和等价 定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示 且 则向量组线性相关 少的表示多的 多的一定线性相关 注 1 不能相等 2 时 结论不一定成立 证明略 推论1若向量组可由向量组线性表示 又已知线性无关 则必有 推论2 两个线性无关的向量组互相等价 则它们所含的向量个数相等 注 若只是等价的向量组 它们所含的向量个数未必相等 定理1的逆否命题 极大线性无关组等价定义 二极大线性无关组 1 一个向量组的极大线性无关组可能不唯一 2 向量组和其极大线性无关组等价 一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价 3 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定 注 三向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系 定义一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数 例2 等于它的行向量组的秩 定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也 求向量组的最大无关组的步骤 例3 设有向量组 1 求向量组的秩 并讨论它的线性相关性 2 求向量组的一个极大线性无关组 3 把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合 解 取 1 向量组即为A的列向量R A 2 所以向量组的秩为2 2 为向量组的一个极大线性无关组 3 推论 设A为矩阵 秩 则有 1 当r m时 A的行向量组线性无关 当r m时 A的行向量组线性相关 2 当r n时 A的列向量组线性无关 当r n时 A的列向量组线性相关 当A为n阶方阵时 即当m n时 A的列 行 向量组线性无关的充要条件是 由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系 我们立刻会发现一个有趣的现象 3 5向量空间 一 向量空间的定义 定义1设V为n维向量的集合 如果集合V 非空 且 那么就称集合V为向量空间 则a b V 若a V R 则 a V 若a V b V 例1判别下列集合是否为向量空间 解 例2判别下列集合是否为向量空间 解 一般地 L x a b R x1 1a 1b x2 2a 2b 则有 x1 x2 1 1 a 1 2 b L kx1 k 1 a k 1 b L 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空间 是一个向量空间 因为若 由向量组a1 a2 am所生成的向量 空间一般形式为 L x 1a1 2a2 mam 1 2 m R 二 向量空间的基向量空间的维数定义2设有向量空间V1及V2 若V1 V2 总有V Rn 所以这样的向量空间总是Rn的子空间 例如 任何由n维向量所组成的向量空间V 就称V1是V2的子空间 向量空间 定义3设V为向量空间 如果r个向量 a1 a2 ar V 且满足 i a1 a2 ar线性无关 ii V中任一向量都可由a1 a2 ar线性 表示 那么 向量组a1 a2 ar就称为向量空间V的 一个基 r称为向量空间V的维数 并称V为r维 1 只含有零向量的向量空间称为0维向