不定积分整章教案.doc

20NO.微积分教案 第五章 不定积分5.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1定义 设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,都有 或 ,则称函数为函数在区间上的一个原函数.例如，是的原函数,因为 .又因为, ,所以和都是2的原函数.2问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, , ,于是有 .所以 ,或 .回答：任意两个原函数相差一个常数。3不定积分 函数的所有原函数称为的不定积分，记作:.其中“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.由前面的讨论可知： 如果是的一个原函数,那么 . 例1 求.解 由于，所以是的一个原函数，因此 . 例2 求.解 当时,我们知道，亦有 ,即是的一个原函数，因此 ;当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 性质：1） 或 ; 2） 或.4可积函数类： 如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积二、基本积分公式 (1) ,（是常数）; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; （11）; （12）; （13）; （14）; （15）.三、不定积分的性质 性质1 （1）事实上，. 推广：有限个函数的和的情况也有这一性质.性质2 （为常数，）. 例3 求. 解 . 例4 . 解 . 例5 求. 解 = . 例6 求 解 . 例7 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点, ，求此曲线方程 解 设曲线方程为，由假设，图5.1-1故 = 即 ，为常数， 曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 ，解得 .因此所求方程为. 例8 已知某产品的边际收入函数为(为销售量),求总收入函数.解 . 当时,从而,于是 5.2 换元积分法一、第一类换元法1引例求 解 ，令2，得 ,代回原变量，得 .一般的我们有如下结论：2定理 设是的连续函数，且 ，设有连续的导数，则 = 证明 只需证明 即可，又由，故例1求. 解 令 ，则 ，故 .例2 求解 = 因为 ， 设 x，则 ， 因此， =. 练习： 熟练以后，可直接写出结果:例3 求. 解 =.例4求）. 解 .例5求.解 由于,所以 .例6 求. 解 =.例7 求 与 . 解 =. .例8 求. 解 .又 =.所以上述不定积分又可表示为 . 练习： 例9 求. 解 利用积化和差公式 ,得 ,所以 .二、第二类换元法 定理 设函数严格单调、可导且，设具有原函数.则，其中是的反函数. 证 设 ，只需证 而 .去根号 例1 求. 解 作变量代换 ( 以消去根式)，于是 ，,从而 .例2求 ().解 积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令 ， , 则 , ,回代变量，由，得 , 故有 . 例3 求解 利用三角公式 来化去根式， 设 解 设，令， 利用公式 有 ，于是有 ，注意： 两边取导数得 所以 ,其中 .例5 求 解 为化去根式，令，则， .将 回代得 .例6 求 . 解 . 例7 求 . 解 . 5.3 分部积分法 ， 移项得, . 对这个等式两边求不定积分， 得. （1） 简便起见,公式（1）常写成下面的形式： . （2） 例1求.解 这个积分用换元积分法不易求得结果。现在试用分部积分法来求它。设，,则，利用分部积分公式（2）得.注意：恰当选取和，一般要考虑下面两点： （1）要容易求得；（2）要比容易积出. 例2.求.解 设，,则，,于是. 例3.求.解 设， , 则，,利用公式（2）得 . .熟练以后，不必写出、，只要在心里想着就可以了. 例4.求.解 . 例5.求.解 . 例6.求.解 注意到 与所求积分是同一类型的，需再用一次分部积分， . . 例7.求.解 , . 例8.求（其中为正整数）.解 当n1时, 于是 由此作递推公式，并由, 即得.5.4 几种特殊类型的函数的积分一、有理函数的积分1 有理函数 , （1）其中、分别是关于的次和次的实系数多项式.当时，称为有理真分式; 时,称为有理假分式.对于有理假分式,的次数大于的次数，应用多项式的除法， , （2）即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得,故只需讨论有理真分式的积分.2将有理真分式写成简单真分式的和 设 , . 如果 .，其中、.、.是正整数，各二次多项式无实根，则可唯一地分解成下面形式的部分分式之和 . .+. . . （3）其中：,.,.,.,.,.,.,都是实常数.3求简单真分式的积分：最终归结为求下面四类部分分式的积分：（1） , （2） （.）, （3） , （4） （.）.其中为常数，且二次式无实根.所以，有关有理函数积分问题得以全部解决.例1.求 .解 设 ，有 由于此式为恒等式，故两端同次幂的系数应相等.即 ， 解得 ，故 ，从而 . 例2.求.解 分子多项式的次数高于分母多项式的次数，由 ，有 ，于是 。 例3. 求.解 设,解得 ,有 ,于是 .分别求上式等号右端的每一个不定积分:.由递推公式有.有 .于是 .二、三角函数的积分1定义：由及经过有限次四则运算所构成的函数,记做.2计算： 有多种方法,其中有一种是万能的 设 ， 则有 ， ， ，有 =. 换元称为万能换元.例1 求. 解 令，则， . 例2 求. 解 令，则，,. .注：尽管“万能公式”在求三角函数有理式的积分时是万能的，但有时不是最好的例3 求. 解 令得 .例4