经济数学基础线性代数之第2章 矩阵.doc

经济数学基础之线性代数 第2章 矩阵第一单元 矩阵的概念一、学习目标通过本课程的学习理解矩阵的概念，知道矩阵与我们的日常工作的联系.二、内容讲解2.1 矩阵的概念整存整取定期储蓄存期三个月六个月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94北京市居民抄表记录卡项 目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kwh)135125130水m3889学生成绩表姓 名数 学语文英 语张建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 宾919095上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.这里对矩阵作一些说明： 矩阵一般用大写英文字母表示：如等xyO横向称行，竖向称列.矩阵每一个位置上的数都是的元素， 如1是的第2行第2列的元素，记为：5是的第1行第4列的元素，记为： 补充内容：特别地，当时，矩阵只有一行，即称为行矩阵；当时，矩阵只有一列，即称为列矩阵；当时，矩阵的行列数相同，即称为阶矩阵（或阶方阵）在阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，在矩阵中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作，即例如，这里是的负矩阵.问题：行矩阵和列矩阵是否为同型矩阵？答案 否.同型矩阵是指两矩阵的行、列数分别相同， 行矩阵是矩阵，列矩阵是矩阵的，当时，不是同型矩阵，只有当时为同型矩阵.三、例题讲解例1 这是4行2列矩阵.四、课堂练习练习1 设，则是矩阵中第1行第3列的元素，是矩阵中第3行第4列的元素.矩阵中第行第列的元素为.，所以练习2 某中学初三年级（2）班45名学生第二学期期中考试五门主科成绩，按学号排序可列成下表（为简单起见，这里只列出一部分）：此表称之为该班学生的学习成绩表，如果仅将学生各科成绩排列出来，其矩阵为 .这是一个矩阵，第行表示第个同学各科的考试成绩，第列表示第 门课程每个同学的考试成绩，其中此表中每一个数字代表着某学科的考试成绩，列成矩阵的形式其中每一行表示某一个学生各科的成绩，每一列表示某一科目每个学生的成绩.将学生各科成绩排列出来，写成一个矩阵的形式，此矩阵是一个矩阵，即为五、课后作业1.讨论一般线性方程组问题，线性方程组的表达方式为如果略去未知数记号和运算符号，如何用数表的形式表示线性方程组.2.举一些生活和工作中是常用的实例，如市场上的价目表，工厂中产量的统计表，银行中的存款利率表等等，将数表表示为矩阵.3.设矩阵是个矩阵，且有.4.写出的矩阵5.写出的负矩阵. 1. 2.略3.4.5.第二单元 矩阵的运算一、学习目标通过本课程的学习要理解矩阵运算的定义，熟练掌握矩阵的加法、数乘、减法、乘法和转置运算.二、内容讲解1. 矩阵相等例如，一日产量的统计表 一班第一天的产量为, 第二天的产量为, 由此可以得到矩阵相等的定义若满足：(1) 同形；(2)对应元素分别相等，即, 则称. 2.矩阵加法，用记为的和，即规定如下：(1)同形，于是同形；(2) 对应元素分别相加.矩阵加法满足两条运算规律：性质1(交换律)性质2(结合律) 矩阵，记为，且3.矩阵的数量乘法-矩阵 -数，则(1)和同形；(2)，即中每个素都乘以特别地：，注意：中定义为，等式左边是数0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵.矩阵减法定义为：即矩阵减矩阵等于加的负矩阵.其中 =， 1仅当时，才能做乘法.2若，则3若，则(行乘列法则) (矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)矩阵乘法的运算性质 (数对矩阵的分配律) (矩阵的左分配律) (矩阵的右分配律)4.矩阵的转置 设 将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，这样就可得到的转置矩阵. 转置矩阵的性质： = 补充内容数乘矩阵所满足的算律 设A，B为任意 k, h为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k (A+B)=k A+ k B（2）(k+ h)= k A+ h A（3）(k h)A=k(h A)（4）,问题思考1：设，则？答案. 因为 =所以.三、例题讲解例1 设，因为 ，所以 例2 设，求.解: 例3，求.解: 因为不同形，所以不能进行.例4 设，求，和.解：=2， =不能相乘例6 设，计算.解： = += = =例7 均为矩阵，问下列乘法能否进行，若能，其乘积矩阵为几行几列？ 解：4阶， 3阶 四、课堂练习练习1 设，求. ；两同型矩阵可以做加法，且和矩阵是由两矩阵的对应元素相加而成.练习2 设矩阵，且有，求矩阵。此题是解矩阵方程，且题目中含有矩阵的转置运算和减法运算，求解时要先解出矩阵的表示式，再将具体解出来.由解出.练习3 已知，求. 解：利用矩阵乘法和矩阵相等求解.=五、课后作业1设，计算，.2计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）.3计算.4计算5计算（1）；（2）.6试证：若都与可交换，则，也与可交换.7试证：若可交换，则下列式子成立：8求与可交换的全体所有二阶矩阵.1，.2（1）； （2）； （3）； （4）； （5）0； （6）；（7）； （8）.345（1）； （2）67略；8（其中为任意常数）第三单元 几类特殊矩阵一、学习目标通过课程的学习要熟悉特殊矩阵，掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵及对称矩阵的运算性质，并会利用特殊矩阵的性质进行简单的证明.二、内容讲解1.矩阵：所有元素都为零的矩阵。例如2.单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的阶矩阵，称为单位矩阵，记作或.3.数量矩阵：主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是0的阶矩阵，称为数量矩阵，记作.4.对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即有时也，记作或5.三角矩阵主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵，它形如 主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵，它形如上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。有时也记作或6.对称矩阵若矩阵满足，则称为对称矩阵. 7.数量矩阵满足性质：阶数量矩阵与所有的阶矩阵可交换.即问题思考：设矩阵既为上三角矩阵又为下三角矩阵，则是什么矩阵？答案是对角矩阵.因为是上三角矩阵，即有主对角线以下的元素都为零，且又为下三角矩阵，则有主对角线以上的元素都为零，说明矩阵的非零元素只能在主对角线上，即矩阵是对角矩阵.三、例题讲解例1 设，求. 解： = 例2设为任意给定的矩阵，证明为对称矩阵.证: 因为所以为对称矩阵.（证必）四、课堂练习练习 试证：对于任意方阵，是对称矩阵.利用转置矩阵的性质；设法证明等式成立. .五、课后作业1. 试证：（1）即，用对角矩阵左乘矩阵相当于的主对角线元素分别去乘的相应的行.（2） 即，用对角矩阵右乘矩阵相当于的主对角线元素分别去乘的相应的列.2. 试证：设与都是阶对称矩阵，则为对称矩阵的充分必要条件是与可交换.3. 试证： 设、都是阶矩阵，且为对称矩阵，则是对称矩阵.4. 若是实对称矩阵，且，证明：.1.略；2. 由已知条件，且，则有 ，得出与可交换. 已知，且，则有 ，得出是对称矩阵.3. 因为，所以是对称矩阵.4. 证明 设因为，所以第四单元 n 阶方阵的行列式一、学习目标通过本课程的学习要熟悉阶方阵行列式的定义，掌握阶方阵行列式的乘积定理.二、内容讲解由于讨论矩阵性质的需要，引进阶方阵行列式的概念.1.定义阶方阵相应的行列式成为方阵的行列式，记作或.关于方阵的行列式有下面重要的定理.2.定理：对于任意两个阶方阵，总有即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.这个定理可以推广到多个阶矩阵相乘的情形.3.推论：若都是阶矩阵，则特别地问题思考：设矩阵为同阶矩阵，是否有？ 答案否.例如 设因为，；由此可得.三、例题讲解例1 设，计算. 解： =例2 设二阶矩阵，验证. 证: 因为；且；所以.（证必）四、课堂练习练习1 设，求分别计算出矩阵各自的行列式.利用行列式性质和矩阵行列式乘积定理.，. 练习2 设为3阶方阵且，求. 由数乘矩阵知=.再由行列式性质，中每一行都有一个公因子，可以提出有.五、课后作业1. 设，求.2. 设是3阶矩阵，证明.3. 若是阶矩阵，且，则或.4. 设是阶矩阵，且满足，证明.1. ；2. 利用矩阵数乘的定义和行列式性质5即可得证.3. 证明：由方阵行列式定理，有 所以或.4. 证明：因为 所以 由于为数，所以=0.第五单元 可逆矩阵与逆矩阵一、学习目标通过本课程的学习要熟悉可逆矩阵和逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质和判定定理，了解伴随矩阵的定义构成，掌握用伴随矩阵方法求逆矩阵.二、内容讲解逆矩阵：可表为 1.可逆矩阵：设矩阵，如果存在一个矩阵，使得 （1）则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为.例1设 ，；问：为吗？解：因为=，=；所以。例2 设，问：是否可逆？解:：A是不可逆的.什么叫逆阵？ 仅限于讨论方阵的逆阵； 不是所有方阵都有逆阵； 会验证是否为逆阵； 有了逆阵就相当于有了除法.问题思考： 究竟什么样的方阵有逆阵？ 如何求逆阵？2.可逆矩阵的性质由定义，称为的逆阵，称为的逆阵。性质1性质2若可逆，则证:因为 ；所以 性质3 若可逆，则证:因为 ；所以 性质4若，均可逆，则亦可逆，且证:因为 所以 性质5 若可逆，则是唯一的.证:设均为的逆阵，则，有3.伴随矩阵对于阶方阵，称阶方阵为的伴随矩阵，记作，其中的元素为行列式中元素的代数余子式. 利用伴随矩阵可以证明：定理 若方阵是非奇异的，即，则是可逆的，并且有。补充内容4.可逆矩阵的判定由例2知道，并不是所有的方阵都是可逆的，于是就要研究如何判别方阵是否可逆的问题.下面我们就以方阵行列式作工具来研究这个问题.假若方阵可逆，则存在，使于是而由方阵行列式定理，有所以即必有今后我们把满足的方阵称为非奇异的（或非退化的），否则就称为奇异的（或退化的），我们将上面的结论归述为定理.定理 方阵可逆的必要条件为是非奇异矩阵，即.问题思考：答案. 因为，矩阵可逆，且伴随矩阵为，于是逆矩阵为.验证.三、例题讲解例1设，求伴随矩阵.解：因为所以.例2设问：当满足什么条件时，矩阵可逆？当可逆时，求. 解：因为=当时，从而可逆，此时当时，从而不可逆.四、课堂练习设练习1 设矩阵，求.求就是利用伴随矩阵法，求伴随矩阵，进而得到.逆矩阵的概念练习2 设是对称矩阵，又矩阵满足，证明：是对称矩阵.证明: 因为是对称矩阵，即，且，有利用已知条件、可逆矩阵及对称矩阵的性质求证.利用已知条件证明.五、课后作业1.数量矩阵何时可逆，何时不可逆？当可逆时求.2.判别下列矩阵是否互为逆矩阵.（1）（2）（3）3.判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求它的逆矩阵.（1）（3）， (4)（5）4.已知矩阵可逆：（1）求（提示：利用） （2）证明也可逆，并求.5. 设，求，并说明为什么不能用 可逆矩阵的性质.6. 设为正整数），证明1. 时，可逆，且；可逆当时，不可逆.2.（1）是；（2）是；（3）不是.3.（1）不可逆； （2）可逆； （3）可逆 （4）可逆； （5）4.（1）设为阶矩阵，则；（2）.5. ，因为都不是可逆矩阵，所以不能用可逆矩 阵的性质.第六单元 矩阵的初等行变换一、学习目标通过本课程的学习要熟悉矩阵的初等行变换和初等矩阵的定义，了解阶梯形矩阵的定义，能够熟练地应用矩阵的初等行变换将矩阵的化为阶梯形矩阵，求矩阵的秩和逆矩阵.二、内容讲解1.矩阵的初等行变换系指 (1) 互换两行位置(2) 用一非0常数乘某行(3) 把一行倍数加至另一行上着三种矩阵行之间的变换，统称为初等行变换.2.初等矩阵 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为初等矩阵.对应于三种初等行变换有三种类型的初等矩阵.（1）初等对换矩阵是由单位矩阵第行对换而得的.（2）初等倍乘矩阵其中是由单位矩阵第行乘而得的.（3）初等倍加矩阵是由单位矩阵第行乘加到第行而得的. 对于矩阵进行初等行变换等同于对左乘相应的初等矩阵.即的第行与第行对换等同于对矩阵左乘，即；的第行遍乘等同于对矩阵左乘，即；的第行乘加至第行上等同于对矩阵左乘，即.3.定理：设方阵经过若干次初等行变换后得到方阵若同时可逆或同时不可逆. 初等行变换法求逆矩阵问题思考：对矩阵施行倍加变换后，所得的矩阵是否有？答案例如 上面例1中第2个矩阵经过变换+ (-1)变为，显然它们是两个不相等的矩阵.可以证明，经过一次初等行变换后的矩阵（倍加变换，除外）与变换前的矩阵不再相等，所以变换前后的矩阵用相连接.三、例题讲解四、课堂练习练习1 设矩阵，求.将和排成，对实施初等行变换.利用初等行变换法求，对作初等行变换，使其化为.练习2 解矩阵方程，其中.利用可逆矩阵的性质和矩阵乘法求出.如果矩阵可逆，则利用可逆矩阵的性质和矩阵乘法求出方程的解。方程两边同时右乘，有，即有.五、课后作业1.求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2.解下列矩阵方程：（1）；（2）1. （1）； （2） ； （3）； （4）； （5）2. （1）；（2） 第七单元 矩阵的秩一、学习目标通过本课程的学习要理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的有关结论及求法.二、内容讲解= A= k阶子式的定义在矩阵A中，位于任意选定的k行，k列交叉位置上的k2元素，按原来的次序组成的k阶子阵的行列式，称为的一个k阶子式. 如果子式的值不为零，就称为非零子式. 1.矩阵秩的定义矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为或秩（）.如上例中，阶方阵可逆问题思考：零矩阵的秩为多少？ 答案0三、例题讲解例1 求矩阵的秩.解：因的一个二阶子式是非零子式，而的所有（四个）三阶子式均为零，即 ； 所以由矩阵秩的定义知解： 因为而所有的四阶子式均为0，所以2.阶梯形矩阵的定义任意一个矩阵总可以通过初等行变换，把化为如下阶梯形矩阵其中符号表示首非零元素，符号表示零或非零元素.如果用文字说明，所谓阶梯形矩阵是指具有以下两个特点的矩阵：（1）矩阵的零行在矩阵的最下方；（2）各行首非零元素之前的零元素的个数随行的序数增加而增加.例3 求矩阵的秩.解： 例4 求矩阵的秩.解：四、课堂练习练习1 设，求 利用矩阵的初等行变换将化为阶梯形矩阵，非零行行数即为矩阵的秩数.练习2 设，求. 利用矩阵的初等行变换将化为阶梯形矩阵，非零行行数即为矩阵的秩数五、课后作业1. 求下列矩阵的秩（1）；（2）（3）；（4）2. 求的值，使矩阵的秩有最小值.3. 判断下列命题是否成立？（1）若有一个阶非零子式，则；（2）若，则中必有一个非零的阶子式；（3）设是矩阵，且所有元素都不为零，则；（4）若至少有一个非零元素，则.4. 证明：若是阶方阵（），当时，则；当时，则.1（1）3；（2）3；（3）3；（4）3.2当时，.3（1）不成立，只能保证；（2）成立； （3）不成立，例如：，；（4）成立.4提示