海森伯量子力学矩阵形式的建立.doc

海森伯量子力学矩阵形式的建立1、1 旧量子论的困境 图10-6为康普顿光的散射实验1911年，英国物理学家卢瑟福在散射实验的基础上，提出著名的原子核式结构模型，但这一模型在原子的稳定性上遇到了严重的困难。1913年N玻尔有见于卢瑟福核式结构模型的困难，建立了包括“定态”和“跃迁”概念的原子理论。他在论原子与分子的构造一文中，为了说明有核氢原子模型中当主量子数很大时，与邻近的能级之间的跃迁频率接近于在园轨道中的电子的经典频率时，提出了“对应原理”，用现代的语言可表述为：“在大量子数的极限情形下，量子体系的行为将渐近地趋于经典力学体系的行为。” 1923年，美国物理学家康普顿 (AHCompton，18921962) 完成光的散射实验，按照经典的理论：入射光波使得处于光束中的一个电子以光波的频率振动，并发出一个与入射光波同样频率的球面波从而产生了散射光。而康普顿发现，散射出来的X射线与入射的X射线頻率不同；这种不同只能把散射看成是光量子和一个电子的碰撞来做出解释；但散射光同时却又发生干涉，这是一个不可调和的矛盾。早在1922年11月，玻尔就曾说道：就光的相干现象而言，他本人对光量子的假没并不满意；他认为原子的定态有一种“潜在的辐射反应”。当他不得不在色散现象的入射波与出射波之间假定存在相位关系时，便得到了如下观点：原子对于辐射的反应类似于一个具有量子频率为和的谐振子系统，但他没有给出能量和动量的推导。1924年，斯莱特(WSlater) 进一步阐述了玻尔的观点，假定处于定态的一个原子被一个“虚辐射物”所包围，实际上也就是被多种可能频率的吸收光和发射光所包围，这种“虚场”将决定该原子本身到其它原子的量子跃迁的概率。克拉默斯(HAKramers，18941952) 与玻尔、斯莱特进行热烈的讨论，最后他们一致认为：能量守恒定律和动量守恒定律只在统计意义下才能成立。1924年， 柏林物理学家博特(OBothe，18921957)和盖革(HWGeiger，18821945) 用实验仔细考察了单个康普顿碰撞，利用计数器研究散射每个单独X射线光子和反冲电子之间的能量和动量，他们的实验直接揭示了反冲电子与散射X射线光子不但同时出现而且遵从两个守恒定律，这是通过实验对克拉默斯、玻尔和斯莱特观点的直接否定。几年后，海森伯（1929）在评述这段历史时指出，“玻尔克拉默斯一斯莱特理论代表了古典量子论危机的顶点”；按照派斯（APias，1918）的说法，它是“古典量子论的最后一座堡垒”。1924年9月，海森伯获得洛克菲勒基金会提供的支助正在哥本哈根研究所任讲师，12月，他和克拉末一起用玻恩的方法研究色散问题，并合作写了一篇关于原子对辐射的散射的论文。该文给出了色散理论完整的色散公式(即海森伯克拉默斯公式)。这一公式其中只包含跃迁量，亦即只与原子的两个定态有关，对应原理在这一公式的建立过程中起到了决定性的作用。玻恩在他们的工作中发现跃迁量总是对应于经典理论中振幅的平方，所以他在与他的助手约尔丹（PJordan，19021980）和海森伯的讨论中提出了跃迁振幅很可能是起核心作用的量，要用某种符号乘法来处理，1925年夏天，海森伯终于解开了这“符号乘法”之谜，迈出了创立量子力学关键性的一步。1、2海森伯量子力学的矩阵形式在哥本哈根工作的海森伯，对量子理论进行了深深思考，他觉得在现有的原子理论中包含了太多的对原子本身的猜测，诸如电子的坐标、电子的速度、电子的运动轨道、轨道的半径、旋转频率等，可是这些量都是不可观测的量，对它们既无法探视，也无法测量，这就很难建立起一个运动方程，对电子的运动进行有效的描述。因为电子轨道是不可观察的，无法从实验上来检验所得方程的正确性。 海森伯认为：应该放弃对原子以具体描绘的一切尝试，而仅仅依据可以在实验中直接测定出的可观测量（像辐射光谱的频率、强度等），他相信人们只应当以观察到的现象为依据，而不要沉溺于想象原子的什么“本来形象”，应该运用数学方法来建立量子理论。对于海森伯的这一想法，玻恩后来评论道：“他运用哲学原则斩断了一团乱麻，又以数学定律代替了推测。”事实上他是沿着半个世纪前马赫的思想前进的，试图仅利用可观察量来创建一种新的量子力学，他从玻尔的频率条件和克拉默斯的色散理论中看到了这种新量子力学的端倪。图10-7为海森伯1924年在哥廷根1925年初夏，海森伯从哥本哈根回到哥廷根后，尝试直接由光谱频率和谱线强度（即跃迁振幅）这样一些可由实验观测的量入手，以解决氢原子谱线强度的计算问题。由于氢原子的计算太繁，他先计算较简单的一维非谐振子。正在这时候，他患了枯草热病，告假去北海赫耳戈兰岛休养。这就给了他专心计算的机会，结果证明，这种只用可观察量的处理方法是可行的。随后于 6月 21日、24日和 29日先后写信与泡利讨论他的想法。泡利眼光锐利，思维非凡，能看出别人不善于发现的问题。泡利在信中热情支持他的理论，并表示：“我向海森伯的勇敢假定致敬。”正是由于受到泡利的鼓励，海森伯才下定决心，与7月初写成了开创量子力学的第一篇论文“从量子理论来重新解释运动学和力学关系”。在这篇论文中，海森伯着眼于光谱频率和跃迁振幅这样一些可由实验观测的量，尝试为它们之间的关系建立一个量子力学的理论基础。根据玻尔的对应原理，海森伯从经典动力学方程入手，如果把其中的电子坐标换成跃迁振幅，像在色散公式中做的那样，就可得到跃迁振幅之间的一个关系。并注意到经典理论与量子论之间的对应关系，即： 量子论 经典理论 (1)普朗克（Planck）玻尔关系 经典频率关系 (2) 里兹组合原理 傅里叶级数(两级数组合) (3)海森伯将经典中傅里叶级数的乘法z=xy引入对应的乘法规律， 而量子论中乘法关系由里兹组合原理决定。对于得到的跃迁振幅的某种函数，需要对它们进行代数运算，关键是乘法运算。当海森伯写完这篇论文后，他对量子力学理论构造的方法在原则上是满意的，但还自觉得在很多方面是十分粗略的，认为在数学上需作更深入的研究方可做出进一步判断。约在1925年7日11日或12日， 海森伯把写好的论文交给了玻恩，他准备告假提前离开哥廷根去剑桥卡文迪许实验室讲演，玻恩感觉到海森伯的论文中包含了他们追求多年的某种基本的东西，在把论文寄给德国物理杂志(Zeitschfrift fur physik) 发表之后， 开始仔细考虑海森伯的符号乘法，那时一般的理论物理学者对数学的矩阵很不熟悉，而玻恩求学于希尔伯特当然数学很好，他立即发现海森伯的符号方法不是别的，正是矩阵的运算从海森伯的结果中他猜测坐标与动量的对易式正比于单位矩阵，但无法证明。他就找他的助手约尔丹，约尔丹马上想出了证明方法，于是他俩于1925年9月合写一篇论文，这就是创立量子力学的第二篇论文，标题是“量子力学”。这篇论文的所有物理量都用矩阵表示，矩阵的行和列（起初）与能量值相对应，并将量子条件表达成非常普遍的经典傅里叶形式： （4）然后把经典傅里叶形式用量子论的语言表达出来， 即：图10-8为马克斯玻恩，因对波函数的统计解释获1954年诺贝尔物理学奖金 （5）其中左边就是矩阵的任一对角元这篇论文还包含了对非简谐振子的运用和电磁场量子化的基本思想，由于该文对函数导数的定义很不恰当，因而消弱了他在量子力学史上的地位玻恩把论文的副本寄给在剑桥演讲完后正在度假旅行的海森伯，海森伯写了一封热情的回信，于是他们决定假期结束后三人共同来完成这一工作。暑假结束后，海森伯没有回到哥廷根而是留在了哥本哈根，只是在快完成时才回到哥廷根一同做论文的收尾工作，所以合作基本上是用通信的方式进行的。创立量子力学的第三篇论文标题是“关于量子力学II”，它包括了量子力学几乎所有的要点：他们利用了一种保持乘法规则的较为适当的微分定义， 将关于正则变量p和q的导数转换成代数表式。 通过将方程作为基本关系， 他们自然地导出了对于所有的有理函数有如下一般形式： （6）从而将正则变换的概念和哈密顿量引进了量子力学。同时把含时微扰论，简并概念，厄米型本征值理论，动量及角动量定理等都引进了这一新力学中，这三篇论文以完整的形式构造了量子力学的一种新的