17-19世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术.pdf

17 19 世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术 汪 晓 勤 华东师范大学数学系 上海 200062 摘摘 要要 本文对 19 世纪法国数学家在圆周率方面的初等工作进行了考察 并将其与刘徽 的割圆术作了比较研究 关键词关键词 圆周率 等周法 等积法 周长法 面积法 割圆术 中图分类号中图分类号 O11 文献标识码文献标识码 A THE ELEMENTARY STUDY ON IN FRANCE IN THE 17TH 19TH CENTURY AND LIU HUI S CYCLOTOMIC RULE Wang Xiaoqin Department of Mathematics East China Normal University Shanghai 200062 Abstract In the 17th 19th century French mathematicians set forth four elementary methods of computing the number In this paper a comparative study is made on these methods and Liu Hui s cyclotomic rule for finding the area of a circle Key Words The ratio of the circumference to the diameter method of perimeters method of areas method of isoperimeters method of equal areas 众所周知 化圆为方 即求圆面积 是一个十分古老的问题 它等价于求圆周长与直径 的比值 圆周率 一般地 数学史家将计算机出现之前的圆周率历史分为三个时期 1 本文得到中国博士后科学基金的资助 作者简介 汪晓勤 1966 浙江大学数学系博士后 现为华东师范大学数学系副教授 主要从事数学史 和中西数学交流史研究 1 牛顿发明微积分 1666 年 之前的初等几何方法时期 微积分产生后到兰伯特 Lambert 证明 为无理数 1767 年 之前的分析方法时期 兰伯特之后对 性质的研究时期 我 们不妨再加一个时期 利用计算机计算时期 上述分期似乎意味着第二时期的分析方法出现 之后 古典几何方法退出了历史舞台 我们在有关数学史著作的圆周率史专题里 几乎未见 有对初等方法在 17 19 世纪发展状况的介绍 2 3 然而 历史并非如此 17 19 世纪 求 圆周率的古典几何方法仍然为欧洲数学家们 特别是法国数学家们所普遍关注 并为他们所 进一步发展 1 法国数学家对初等方法的发展 法国数学家对初等方法的发展 17 世纪以前 计算 的初等几何方法有两种 一种是直接利用圆周长公式RC 2 求圆内接和外切正多边形边数倍增时的周长 圆的直径常常取为 1 另一种则是直接利用 圆面积公式 2 RS 求圆内接和外切正多边形边数倍增时的面积 圆的半径常常取为 1 古希腊数学家阿基米德 Archimedes 前 287 212 用前一方法获得著名结果 7 1 3 71 10 3 而中国数学家刘徽 公元 3 世纪 则用后一方法获得 50 157 和 1250 3927 但他只利用了圆内接正多边形 并使用了超越时代的加速技术 17 世纪英国数 学家格雷戈里 J Gregory 1638 1675 在对中国数学一无所知的情况下重复了刘徽的面 积方法 但他同时考虑了圆内接和外切多边形 17 世纪 法国著名数学家笛卡儿 R Descartes 1596 1650 提出逼近圆周率的等周 正多边形方法 这个方法基于如下的 定理定理 1 1 等周法 等周法 设 n R和 n r分别为正n边形的外接圆和内切圆半径 n R2和 n r2为等 周的正2n边形的外接圆和内切圆半径 则有 2 2 nn n rR r nnn rRR 2 2 2 而等周圆的半径为 n n n n rRR limlim 因而可得圆周率值 笛卡儿没有给出上述定理的证 明 事实上 如图 1 设AB是正n边形的一条边 n ROA n rOD EF是等周的正 2n边形的一条边 n ROE 2 n rOG 2 则 2 图 1 图 2 图 3 ADABEF 2 1 n EOFAOC n R AD n sin n n R r n cos n R EF n 2 22 sin n n R r n 2 2 2 cos 故利用正 余弦倍角公式 nnn2 cos 2 sin2sin 1 2 cos2cos 2 nn 即得定理 1 19 世纪初 上述方法已被欧洲数学家们遗忘 1813 年 德国数学家许瓦茨 J Schwarz 1813 在其几何著作中重新提出该方法 自此它被称作许瓦兹方法 直到 25 年后 法国数学家泰尔凯 O Terquem 1782 1862 才发现上述方法并非许瓦茨首创 实 际上 欧拉 L Euler 1707 1783 早在 1763 年的一篇论文中已经介绍过笛卡儿的发现 4 欧拉在论文中还对笛卡儿的方法作了一个注解 给出定理 的 推论推论 如图 2 所示 设AB AC AD AE 分别是等周正四边形 正八边形 正十 六边形 正三十二边形 的内切圆半径 在B C D E 上引垂线BB CC DD EE 长度分别等于相应正多边形边长之半 则B C D E 在同一割圆曲线上 设该曲线与AB的交点为T 则AT就是等周圆的半径 事实上 如果正四边形边长为 则易知推论中的割圆曲线的极坐标方程为 sin 2 因此 3 2 sin 2 lim 0 AT 尽管通过格雷戈里等人的工作 17 世纪欧洲数学家们对于圆内接和外切正多边形逼近 圆面积的做法已不陌生 但没有人对圆内接和外切正多边形以及二倍边数的相应两个正多边 形之间的面积关系进行探求 这个关系是 18 世纪法国数学家邵林 J Saurin 1655 1737 发现的 1723 年 他在法国科学院院刊上发表了如下的 定理定理 2 2 面积法 面积法 若 n S和 n S 分别为圆内接和外切正n边形的面积 则有 nnn SSS 2 nn nn n SS SS S 2 2 2 如图 3 AB和AE分别是圆内接正n边形和正2n边形的一条边 CD和FG分别是圆 外切正n边形和正2n边形的一边 易知 CE AK OE OK OH OK OE OH OHAE OKAK OHAEn OKABn S S n n 2 1 2 2 1 2n n S S OECDn OEAKn 2 2 1 2 1 2 FE CE OEFGn OECDn S S n n 2 2 1 2 2 1 2 n n n nn S S OK OE OK OA OE OC FE CF S SS 2 2 2 2 故得定理 3 与邵林的递推公式相类似 19 世纪法国数学家利奥内 Lionnet 西罗德 Cirodde 和于埃 Huet 各自证得 5 定理定理 3 3 周长法 周长法 若 n C和 n C 分别为圆内接和外切正n边形的周长 则有 nnn CCC 22 nn nn n CC CC C 2 2 4 事实上 n n n n C C FG AE FE HE AE AK C C 2 2 2 而 FE CE FG CE C C n n 2 2 n nn C CC 2 2 2 FE CF OE OC n n C C AB CD AK CE OK OE 受等周方法的启发 18 世纪法国著名数学家勒让得 A M Legendre 1752 1833 获 得了等积正多边形法 他的结果是 定理定理 4 4 等积法 等积法 设 n R和 n r分别为正n边形的外接圆和内切圆半径 n R2和 n r2为等 积的正2n边形的外接圆和内切圆半径 则有 nnn rRR 2 2 2 nn nn rR rr 如图 1 定理可由 n Rn n Rn nn sin 2 1 2 2 sin 2 1 2 2 2 n n R r n cos n n R r n 2 2 2 cos 以及倍角公式推得 等积圆半径为 n n n n rRR limlim 因而可得圆周率值 2 四种方法的一致性 四种方法的一致性 由定理 1 4 我们可以分别推导出关于 n S n C n R和 2 n R的递推公式 并推得圆周率 的表达式 如由定理 2 易得关于Sn的递推公式 nn n n SS S S 2 3 22 4 2 1 实际上 根据定理 2 nnn SSS 22 2 4 nn n n SS S S 2 2 2 2 2 5 消去 n S2 即得 1 但令人费解的是 比利时数学家卡塔兰 E C Catalan 1814 1894 却 费了很大的力气 6 取圆半径R 1 并从圆内接正四边形开始 易知2 4 S 22 8 S 对 1 作变形 可得 2 1 2 1 2 2 4 2 n n n n S S S S 2 2 8 4 S S 2 于是 2 22 16 8 S S 2 222 32 16 S S 2 222 24 24 1 个根号n n n S S 因而得到 个根号n n S 222 2 2 2 2 24 由此获得 的无穷乘积表达式 2222 2 222 2 22 2 2 2 2 3 这就是著名的韦达公式 它等价于欧拉于 1760 年获得的公式 32 sec 16 sec 8 sec 4 sec 2 卡塔兰还推得圆周率的另一个表达式 直接应用 1 以及2 4 S 22 8 S 可 得 个根号n n n S22222 24 n 0 1 2 4 故得 个根号n n n 22222lim 5 卡塔兰证明 3 与 5 是等价的 6 定理 1 表明 在数列 n r n R n r2 n R2中 第三项和第四项分别是前两项的等差中项 和等比中项 19 世纪法国数学家文森特 A Vincent 1797 1868 据此得出如下的 7 定理定理 5 5 如果一数列的前两项为 0 和 1 自第三项起 交替为前两项的算术中项和几何中 项 那么该数列的极限为 2 类似地 从另外三个定理也可以得到同样的表达式 见表 事实上 只要从边长为 1 的正方形开始 根据定理 1 依次求出等周正八边形 正十六边 形 正三十二边形 正六十四边形 的边心距和半径 即得数列 表 四种方法的一致性表 四种方法的一致性 面积法 周长法 等周法 等积法 正四 边形 边长 与外 接圆 半径 1 4 a 2 2 R 4 2 4 a 4 1 R 1 4 a 2 2 4 R 2 4 a 1 4 R 一般 单侧 递推 公式 nn n n SS S S 2 3 22 4 2 nn n n CC C C 2 3 22 4 2 n nnn n R RRR R 2 2 2 22 4 2 22 2 4 24 4 2 n nnn n R RRR R 2 4 2 n n S S 1 2 1 2n n S S 2 4 2 n n C C 1 2 1 2n n C C 2 2 4 n n R R 1 2 1 2 n n R R 2 2 2 2 4 n n R R 1 2 1 2 2 2 n n R R 7 特殊 递推 公式 n n S S 24 24 1 个根号n 22 2 1 1 2 24 24 n n C C 个根号n 22 2 1 2 1 24 24 n n R R 个根号n 22 2 1 2 24 2 24 1 n n R R 个根号n 22 2 1 2 的 近 似 值 1 4 S 2 2 8 S 22 2 2 2 16 S 22 2 2 2 24 n S 个根号n 22 2 2 2 4 C 22 2 2 2 8 C 22 2 2 2 1 24 n C 个根号n 22 2 2 21 4 R 22 2 2 21 8 R 22 2 2 21 24 n R 个根号n 22 2 1 1 2 4 R 2 21 2 8 R 22 2 2 21 2 16 R 22 2 2 21 2 24 n R 个根号n 22 2 2 的 表达 式 2222 2 222 2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 4 21 6 显然其极限为 2 添上 0 和 1 两项 即得定理 5 中的数列 8 同时期法国数学家法尔西 A Farcy 很快发现 从定理 2 4 也同样能得出定理 5 在 定理 2 中 n S2 又可写成 nn nn n SS SS S 2 2 2 2 因而在数列 n S 1 n S 1 n S2 1 n S2 1 中 第三和 第四项分别是前两项的几何中项和算术中项 因此 从边长为 1 的圆内接正方形开始 此 时圆半径为 2 1 面积为 2 外切正方形面积为 2 依次求出边数倍增的圆内接和外切正 多边形的面积 它们的倒数序列为 1 2 1 2 1 4 12 7 其极限为 2 第一项前添一项 0 即得定理 5 在定理 3 中 数列 n C 1 n C 1 n C2 1 n C2 1 满足类似条件 若从边长为 2 1 的圆外切正方形开始 此时圆半径为 4 1 周长为 2 内接正 方形周长为2 依次求出边数倍增的圆外切和内接正多边形的周长 它们的倒数构成数列 6 极限为 2 在定理 4 中 数列 2 n R 2 n r 2 2n R 2 2n r满足类似性质 从边长为2的正 方形 外接圆和内切圆半径分别为 1 和 2 1 开始 依次求出边数倍增的等积正多边形的外 接圆和内切圆半径 即得数列 7 这样 四种方法就统一于定理 5 3 四种方法的精度与速度 四种方法的精度与速度 19 世纪法国数学家对四种方法的精度也作了对比研究 这些研究乃是基于如下的 定理定理 6 6 在周长 面积 等周和等积法中 分别成立下面的不等式 1 nn CC 22 nn CC 4 1 2 nnnn SSSS 4 1 22 3 nnnn rRrR 4 1 22 4 2 2 2 2nn rR 22 4 1 nn rR 事实上 由定理 1 9 nn nn nnnnn rR rR rrRrR 2 2 22 2 2 2 2 2 nn nn rR rR 4 nn nn nn nn rR rR rR rR 22 22 4 nn n nn rR r rR 2 24 nn rR 4 1 由定理 2 n nn nn nn S SS SS SS 2 2 2 22 2 nn nnn SS SSS 2 2 nnnn nnnn SSSS SSSS 22 nnn nnnn SSS SSSS 2 4 nn SS 4 1 由定理 3 nnnnn CCCCC 2222 nn nnn CC CCC 2 22 nn n CC C 2 2 nn nn n CC CC C nn n CC C 2 2 nn nn n CC CC C 2 nn CC 4 1 由定理 4 222 2 2 2 22 nn nn nnn nnn rR rR rrR rrR 22 4 1 nn rR nn nn nn nn rR rR rR rR 22 22 4 nn n nn rR r rR 2 24 nn rR 4 1 其中第一个不等式是法国数学家于埃给出的 于埃利用它对给定圆周率精度所需的计算量进 行估计 不妨从直径为 1 的圆内接正六边形开始 3 6 C 32 6 C 于是 332 4 1 2626 n nn CC 要使 的精度为 N 10 只须使 Nn 10 1 332 4 1 即 4lg 332lg N n 8 10 如 N 7时 11 n 由此可知 必须计算到圆内接正 11 26 边形的周长 才能获得祖冲之 429 500 的著名结果 于埃没有对面积法的速度作出估计 实际上 若从半径为 1 的圆内接正六边形 2 33 6 S 32 6 S 开始 要得到同样精度 须使 4lg 2 3 lg N n 9 比较 8 和 9 易知 面积法比周长法的速度稍慢些 如 要达到祖冲之的精度 必须计算 到圆内接正 12 26 边形的面积 同时期法国数学家朱贝 E Jub 对等周法 8 和等积法 9 在给定精度下的计算量作出估 计 并将其与面积法和周长法进行了比较 从边长为 1 的正六边形 1 66 aR 2 3 6 r n a a n 2 6 26 开始 则在等周法中 2 3 1 4 1 2626n nn rR 因此 2 3 1 4 1333 2 6 2626 n rRr nn n 4 324 若使圆周率 R 3 的精度为 N 10 只须使 4lg 324lg N n 10 因此等周法的速度介于面积和周长法之间 朱贝没有利用定理 6 但后来另一位法国数学家 埃尔曼 Hermann 采用了上述方法 10 类似地 在等积法中 若从面积为 3 的正六边形开始 要达到同样的精度 须使 11 4lg 3 32 lg N n 11 因而等积法较面积法稍慢一些 显然 四种方法的收敛速度都较缓慢 计算量都很大 实际应用起来并非易事 19 世 纪 德国数学家 德雷斯顿大学教授施罗米尔奇 Schlomilch 根据定理 2 建立如下近似公 式 11 nn nn SS SS 2 3 12 大大提高了速度 其理论依据是用 和 的等差中项来代替它们的等比中项时 误差小 于 8 2 因此若设 n S 1 n S 1 其中 为 n S和 n S 的倒数之差 于是可得数列 2 11 2 n S 4 11 2 nS 8 1 4 11 4 n S 16 1 4 11 4 nS 因而得近似公式 3 1 256 1 64 1 16 1 4 11 这就是 12 易证其误差小于 2 40 1 nn SS 我们将看到 施罗米尔奇的近似公式无意中 与后世的 Richardson 外推加速法相合 4 从刘徽的割圆术看法国数学家的四种方法 从刘徽的割圆术看法国数学家的四种方法 刘徽割圆术的主要内容是 首先利用半径为 的圆内接正多边形边长递推公式 刘徽倍 边公式 2 2 42 nn aa 13 以及面积公式 nn naS 2 1 2 14 12 依次求得 6 S 12 S 24 S 48 S 96 S和 192 S 利用不等式 刘徽不等式 nnnn SSSSS 222 15 求得圆周率的近似值 50 157 其次 利用 率消息 有人称之为 组合加速技术 12 得 加速公式 nnn SSSS 22 3 1 16 求得圆周率的近似值 1250 3927 利用 12 及2 4 a可得 个根号1 24 2222 n n a 利用 13 即得 4 及圆周率表达式 5 在阿基米德思想的深刻影响下 17 19 世纪西方数学家在运用初等几何方法求圆周率 时几乎形成了思维定势 同时考虑圆内接和外切正多边形的周长或面积 19 实际法国数 学家拉克洛瓦 S F Lacroix 1765 1843 似乎是个例外 他直接利用直径为 1 的圆内接 正多边形的倍边公式 2 2 242 2 1 nn aa 得到 个根号1 2 2 24222 2 1 m n n aa m 和圆周率表达式 个根号1 1 26 3222226 n n n p 和圆周率表达式 个根号1 1 3222226lim n n n 17 13 法国数学家法尼安 A Fanien 认为 面积法 周长法 等周法和等积法都不过是拉克洛 瓦方法的变形而已 13 而这种方法与刘徽割圆术的不同之处在于它计算周长而非面积 实际上 利用刘徽的 13 和 14 可得 2 2 2 4 24 4 4 nnn SSnS 18 以n代替2n 得 22 2 24 2nnn SSnS 19 从 18 和 19 消去n 并解出 2 4n S即得递推公式 1 类似地 从 13 也可推出表 1 周长法 中关于 n C的递推公式 另一方面 由双侧递推公式导出的单侧递推公式 1 为刘徽的 率消息 提供了简单的 证 明 由 1 得 2 2 2 22 2 2 4n nn nn nn S SS SS SS 于是 nnnn n nn nn SSSS S SS SS 422 2 2 2 24 20 另外 从定理 2 可得 n n nn S S SS 2 2 2 2 2 n n nn S S SS 4 2 4 42 2 nn SS 2 2 2 4 2 42 4 n n n nn S S S SS 故由 20 得 n n nn nn S S SS SS 2 4 2 24 4 21 类似地 在周长法中有 n n nn nn C C CC CC 2 8 2 24 4 22 从表 1 中的其他递推公式易得类似结果 我们有下面的 14 定理定理 6 6 面积 周长 等周和等积方法中所获得的四个数列的子列 n S n C n R 和 2 n R分别满足 1 4 1 lim 2 24 nn nn n SS SS 2 4 1 lim 2 24 nn nn n CC CC 3 nn nn n RR RR 2 24 lim 4 1 4 4 1 lim 2 2 2 2 2 2 2 4 nn nn n RR RR 并且前两个比值序列单调递减 后两个比值序列单调递增 由定理 7 可得类似于 16 的加速公式 nnn CCCC 22 3 1 23 nnn RRRR 22 3 1 24 22 2 2 2 2 3 1 nnn RRRR 25 按表 1 的初始数据 从 23 式得到的是 2 的近似值 从 24 和 25 得到的是 2 的近似值 5 结 结 语语 17 19 世纪的法国数学家们所提出的四种初等几何方法为圆周率历史写下新的一页 但囿于阿基米德的思想传统 四种方法无一例外都是从两侧逼近圆周率 四种方法分别获得 的数列 n r n R n r2 n R2 n S 1 n S 1 n S2 1 n S2 1 n C 1 n C 1 n C2 1 n C2 1 以及 2 n R 2 n r 2 2n R 2 2n r 都包含一个递增子列和一个递减子列 显然 人们不易从相邻两项差的比值中找到规律 因而难以得出加速的方法 尽管德国数学家施罗 米尔奇利用算术中项来代替几何中项的方法获得了同样的加速效果 但这种方法只能适用于 具有类似性质 从第三项开始 诸项交替为前两项的算术 几何 中项和几何 算术 中 项 的特殊收敛数列 而刘徽的割圆术却能适用于一般的收敛数列 具有更广的应用价 值 因此 刘徽割圆术的优势显然不仅仅在计算量方面 17 19 世纪西方数学家未能发现 加速捷径 更现实它的技高一筹 15 由于东西方的隔阂 虽然 17 19 世纪法国数学家发展了圆周率初等研究方法 但他们 不仅部分重复了 而且还逊色于一千六百年以前中国数学家的工作 本文的研究也证明 东 西方科学的交流必将是互利互惠的 参参 考考 文文 献献 1 D E Smith A History of and its Transcendence M Translated by Zheng Taipu Shanghai Shang Wu Printing Office 1935 2 F Cajori A History of Elementary Mathematics M New York Macmillan 1907 241 243 3 H Eves An Introduction to the History of Mathematics M Philadelphia Saunders College Publishing 1983 85 89 4 O Terquem Note historiques sur la m thode des polygones r guliers isop rim tres J Journal de Math matiques Pures et Appliqu es 1838 3 98 99 5 Heut Note sur la d termination du rapport de la circonf rence au diam tre par la m tho de des p rim tres J Nouvelles Annales de Math matiques 1845 4 154 160 6 E Catalan Note sur la rapport de la circonf rence au diam tr