资本结构优化_利润最大化原则下的数学模型及.pdf

资本 结构优 化 利润最大化 原则下的数学模型及其分析 一 朱元午沈生宏 一 摘要 针对西方资本结构理论 过分强调企 业价值最大化 和资本成本最小化 的情况 应用 负债资本 的利率是资本结构的上凹函数 等假设 构建出利润最大化 原 则下的资本 结构优化 决策数学模型 并通 过抽 象 推演 图形分析和 风险分析为有关结论提供支持 关键词 资本结构资本结构优 化 决策数学模型 图形分析风险分析 假设 在微观经济学和投资经济学中有着广泛应用的利润最大化原则 现在还较少应用于资 本结构 优化决策 过分强调企业价值最大化和资本成本最小化的西方资本结构理论以及由 此而形成的 市场价值方法 导致 正统的利润最大化的企业理论中没有一个投资融资理 论 同时也使资本优化决策即筹资优化决策较远地偏离利润最大化原则 我们认为 仅从 市场经济环境中利润动机无不在事实上 左右着公司的各种财务决策和理财行为这一点上看 就足以说明不充分或不自觉应用利润最大化原则的资本结构理论尚存改进或修正的余地 有鉴于此 本文尝试建立 一个以利润最大化作为目标或准则的资本结构优化决策数学模型 并且试图通过抽象推演来支持有关结论 这些结论和产生它们的思维方式对企业确定一个 可能使自己的利润最大化的最佳资本结构将会有所帮助 科学决策应是在可能达到同一目标的若干行动方案中选择最优方案的整个过程 但是 在很多情况下这种选优都不是能够一次完成的 较为现实的考虑通常只能是逐步优化以致 达到期望的目标 对以利润最大化为目标的各种经济决策而言 其优化过程应分解为两个 甚至更多的步骤进行 这一点当然也适 用于资本结构优化 如果我们以利润最大化作为资 本结构优化的目标或准则 即认为最佳的资本结构是能使企业利润最大时的负债 资本与永 久性资本之比 那么 优化这一比率的适 当过程应当是一个既有区别又互有联系的三个步 骤 首先 按照微观经济学或投资经济学的习惯作法 将企业的全部资本都看作是永久性 资本 股票资本等 而并不考虑不同资本结构所对应的负债资本费用 进行息税前的优化 然后 在息税前优化的基础上再考虑不同的资本结构对永久性资本利润率的影响 确定能 使永久性资本利润率达到最大时的资本结构 最后 对所确认的最佳资本结构进行风险分 析 即用期望值和均方差来反映资本利润率的未来状态及其风险 当然 这三个步骤的有 序运用进而资本优化决策的整个过程 都必须依赖于相应决策模型的建立 推演和求解 影响资本结构的 因素无 疑很多 为了能使资本结构优化决策这一复杂问题得以简化并 无损于它的实质 通常需要构造出一个最简单的模型框架 而后才能加以逐步推演 现在 假设有一个持续经营的企业存在一个最佳的资本量 常数 并且这一最佳资本量企业可 以通过资本亩场来筹足 以形成所需要的各种资产组合从事生产经营活动 其每年的期望息 税前利润为 息税前利润 的未来状态及其概率是已知的 企业白 勺 所得税税率为 常 量 企业的投资报酬支付率 股利支付率等 为 在 述条件下 如果这一企 的 最佳资本数量全部通过发行普通股加以筹集 那意味着它将是一个无负债企业 而此时的 股本期望税后利润率 可用公式 求得 税务与经济 年第 期 一 公式 中 的经济含义是 是每一股票的期望投资利润率或期望投资报酬率等 从发行股票的企业来说 是无 负债时的股票资本成本 同时也是无负债时的资本成本 应当看到 上述无负债企业在现实经济生活中是并不多见的 但是 这一假设作为资 本结构优化决策模型的起点 为进一步的研究奠定了重要基础 是连接资本结构优化决策 和微观经济学或投资经济学中利润优化决策的链条 在我们以后的优化过程和分析中它将 成为一个十分重要的因素 如果企业的最佳资本量 是通过长期债券和普通股票共 同加以筹集的 其债券资本数 量为 而股票资本数量为 那么 该企业则是负债企业 其 负债程度可 用资本 结构 这一变数来计量 由于以上我们已经假定企业的最佳资本量 和所得税税率 均为常数 并且企业期望息税前利润 的未来状态及其主观概率亦为已知 这样 决定资 本结构 的因素只是负债资本 的数量 在实际经济生活中 负债资本的重要特征表现为 它的最高额度在企业资本总量中有所限制 必须到期偿还本息 以及债券利率的固定性和 债券利息的税前支付 而 股票资本的特征则与债券资本有所不同 其中最重要的是它的永 久性 股利税后支付和对企业剩余资产的追偿权 一 般说来 企业应当在债权资本和 股票 资本所带来的好处 使用它们所花费的成本和可能蒙受的风险等方面的权衡中确定适 当的 资本结构 实际情况是 许多公司都充分利用了债券资本的财务杠杆和节税作用 从而使 自己的资本总量中债券资本占有一个相当的比重 并且 在资金紧张和通货膨胀的双重压 力下 负债资本比重正呈现出上升的趋势 企业的财务风险因此也在逐渐增大 十分明显 这种情况并不意味着负债资本比重越高越好或没有限制 而是或多或少地反映出某些企业 对负债资本数量的盲目性 虽然可以认为企业的负债资本应当分布在一个法律允许和财务 风险所能够承受的可行区间 但最佳的资本结构至少从理沦上讲却只能有一个 也即资本 结构优化决策的核心问题在于从众多可行方案中找到一个可能使企业利润达到最大时的负 债资本对股票资本之 比 而其中的关键问题又在于考虑不同的资本结构所对应的债券利率 进而观察其对资本利润率的影响 债券利率 从债券投资者角度上看 应是他们进行债券投资时所要求的投资利润率或 投资报酬率 从发行债券进行筹资的企业来看 则是它们使用债券资本的代价或直接称之 为债券资本成本 它对于投资和筹资双方都是一个十分重要的因素 并将在很大程度上决 定我们所提出的资本结构优化数学模型 在现实资本市场上 债券利率无疑将受多种因素 的复合影响 但为了使这里讨论的问题趋于简单 以假设债券利率 是资本结构 的上 凹函数 也就是 根据公式 和以上有关的假设及说明 负债企业 的资本利润率 则应如公式 所示 一 众 一 资本结构优化 利润最大化原则下的数学模型及其分析 在公式 中 分 子表示股利的税后支付 即每年的期望息 税前利 润 减去债券资 本的利息 费 用 后的差额为税前利润 它再乘以 一 后即为公 司的税后利润 在 前述股利支付率为 的假设条件下 又一 一 也就是公 司支付给股票资本 所有者的全部股利 尽管公 司在事实上可能并不支付股利 但 一 一 无疑已 是股票资本利润分享权的计量 应当指出 对于任意给定的资本结构 由于 和 是 固定的 所以 也将不变 如果又是变数 那么 又一 一 就将是变动的 从另一 角度上看 如果 是既定的 我 们只 要 改变 也就必然同时导致 和 以及 一 一 发生相应 的改变 股票资本的利润分享权是可变的 这一点使它与债 券资本的利息 费用是 固定的相比较表现出很不相同的特性 以后我们将会看到 资本优化 决策正是利用了债券资本和股票资本的上述不同特性 资本利润率 从发行股票的企业来看 同时也就是它使用股票资本的代价 而 公式 中的 当然是指负债企业的股票资本成本 在前文对公式 的阐述中曾经指出无 负债时股本期望税后利润率 的经济意义 如果在公式 中加进 这一 链条 并对其 加以推导 可得出公式 所表示 的 之间的相互关系 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 公式 中的 一 一 是相当有用的因素和数量组合 在后文中将说明它 是筹资效益或筹资负效益 而 则是财务风险的计量 应当认为 公式 是我们应用 前述的若干假设建立的资本优化决策数量模型及对其进行推导后所得出的一个重要结果 而另一重要 的结果将是同一企业负债时的资本成本恒等于其无负债时的资本成本 对于一个有负债资本的企业 其资本成本显然应当包括它的负债资本成本和永久性资 本成本 而它们的加权平均数则是资本成本的适当计量 假如应用上述关于 的假 设 那末公式 和公式 则可很清楚地表示出负债企业加权资本成本 与 和 等有关因素之间的关系 公式中的 书 代表任意的资本结构 一 一 爷 苍 签 一 税务与经济 年第 期 苍 一 不 书 一 苦 一 一 一 一 补 万 一 餐 一 谷 犷 竺 一 竺 卜 扩 谷 一 苍 签 筹资负效益 生产经 营效 益 或投资效益 一一 决决补 一 一 一 丈 一 一一一 二 二 匕匕匕 公式 不过是对公式 加以恒等变化的结果 它说明在股本资本比率必须大于 零和负债资本比率必须小于 的情况下 对于任意的资本结 钩 气负债时的资本成本 恒 等于无负债时的资本成本 即资本结构与资本成本是完全无关的 和 i P 一 r d 1 一 T d 这两个结论将成为资本结构优化决策分析的必要基础 在经过图形分 析之后抽象的数学推演将转化为更直观和更完整的表达形式 我们用横坐标表示资本结构 d 纵坐标分别表示资本利润率 p 和 i 负债时的资本成本 k 债券资本的税前成本 r d 和税后成本 r d 1 一 T 具 体曲线参见下图 p i K r d 和 r d l一 T 如前所假设 债券资本税前成本 r d 即债券利率r d 是资本结构 d 的上凹函数 这种上凹函数在图中就是上凹曲线 即随资本结构 d 的不断增加 债券资本税前成本 r d 曲线先缓慢上升后迅速上升 反映着债券投资者对发行债券企业风险的一般态度 债券投 资者对风险的偏好决定着上凹曲线的曲率 这种上凹曲线与微观经济学中的供给曲线仅反 映产量与价格之间的关系相似 即仅反映债券利率与资本结构的一般关系 而其他因素则 决定着该曲线的向上平移或 向下平移 其他影响因素有通货膨胀率 资本市场利率以及供 求关系 投资和筹资双方对未来的预期等等 债券资本税后成本 r d 1 一 T 也是资本结构 的上凹函数 其曲线则是图中债券资本税前成本曲线 r d 向下平移 r d T 确定的 纵坐标上的 D 点表示无负债时的资本利润率 P 它与资本结构 d 无关 或者说 是资 本结构 d 等于零的资本利润率 纵坐标上 D 点的位置仅取决于期望息税前利润又 公司所 得税的税率 T 和最佳资本量 v 参见公式 l 从 D 点画出一条平行于横坐标的直线 资本结构优化 利润最 大化原则下的数学模型及其分析 表示负债时的资本成本 K 前已推导出 负债时的资本成本K 与资本结构d 完全无关 其大小等于无负债时的资本成本 P 即无负债时的股本期望税后利润率 P 如果我们把最 佳资本量 v 看作是某一个企业的现有资本数量或未来需要的资本数量 暂且不管现有资本数量或未来需要 的资本数量中含有多少债券资本 一律看作是股票资 本 把期望息税前利润看作是按照微观经济学中的利润最大化定律 即按边际收益等 于边际成本确定最佳产量使企业获得利润最大化 优化的结果 那么图中的资本成本曲 线K o以下的斜线区域表示生产经营效益 如果我们把最佳资本数量 v 看作是某一个最佳项 目的投资额 把期望息税前利润 x 看作是该投资项目的年报酬额 那么图中的资本曲线 氏以 一 的斜线 区域表示投资效益 同样原理 该斜线区域也可表示证券投资或证券投资组 合效益 已知无负债时的资本利润率P 公司所得税的税率 T 和债券资本的税后成本曲线 r d 1 一 T 按照 公式 3 可画出不同资本结构 d 的资本利润率 i 从图中来看 当资本 结构 d 在 至B点的范围时 资本利润率曲线 i在资本成本直线 凡以上 这种情况表示筹 资正效益 即图中资本利润率 曲线 i与资本成本直线K 之间的竖线区域表示筹 资正效益 其原因是因为债券资本成本税后成本曲线 r d l 一 r 在资本成本直线 K 以下 所以 p 一r d 川 一 T o 又因为d o所以 p 一r d l 一 T d o i p 印 r d l一T c f P 从图中来看 当资本结构 d 在 至 B 点的范围时 资本利润率曲线 i先上升后下降 是因为资本结构 d 在 至A 点的范围时 债券资本税后成本曲线 r d 1 一 T 相对于资本结 构 d 上升缓慢 所以资本利润率曲线 i先上升 又资结构d在A点至B的范围时 债券资 本的税后成本曲线 r d 1一 T 相对于资本结构 d 上升迅速而不是缓慢 所以资本利润率曲 线i后下降 其几何图形为一上 凸曲线 这意味 i的二阶导数小于零 现予以证明 因为 i p p 一 r d 一 T d 所以 i p 一 r d l 一 T 一 r d l 一 T d i 二一 r d l 一 T 一 r d l 一 f 一 r d l 一 T 一 Zr d r d l 一 l 又因为 r d o r 一 d 0 1 一 价o d 0 所以i 0 这证明了资本利润率 i是上 凸曲线 它说明资本利润率i在资本结构 d 位 于 0 至B点的范围内 一定存在最大值 这个最大值所对应的资本结构就是最佳资本结构 在图中就是 A 点 令资本利润率i的一阶导数等于零 即i 0 可解出A点的资本结构的 值 一般来说 资本结构优化决策仅考虑到资本结构 d 略超过 A 点 不必超出B点 但是 基于下列两点原因 我们画出了资本结构 d 在 B 点以后的图形 第一 从负债经营来看 债券资本税后成本小于企业资本成本 负债经营是有利的 债券资本的税后成本大于企业 资本成本 负债经营是不利的 但在不确定性的世界里 有时难以保证债券资本的税后成 本小于企业资本成本的负债经营总是有利的 第二 从图形的完整性考虑 当资本结构 d 在 B 点时 资本利润率曲线 i相交于资本成本直线K 其原 因是债券资 本的税 后成本 r d l 一 T 等于资本成本 K 即 p 一r d l 一 T o 所以 i p P 一 r d 1 一 T d 二 P K 此时的资本结构表示既无筹资正效益 也无筹资负效益 用财务杠杆的语言来说 此种情况表示无负债和负债两个筹资方案的筹资无差别点 税务与经济1995 年第4期 当资本结构 d 大于 B 点时 资本利润率曲线 i在资本成本直线氏 以下 表示筹资负效 益 即图中资本利润率 曲线 i与资本成本直线 氏之间的斜竖交叉线的区域表示筹资负效益 其原因是因为债 券 资本的税 后成本 曲线 r d 1 一 T 在资本成本直 线 K 以上 即 p 一 r d l 一 T o 所以 i p p 一 r d l 一 T d p 下面我们对图形作风险分析 在前文中隐含这样的假设 息 税前收 益 x 是随机变量 在 x 是连续的情况下 无负债时的期望资本利润率 月书J 寸二 xP dx 其均方差 丁 瓦可 函数 无负债时 r 十 二 二 I J 一 沃 气x 一x ZP x dx 其中P 是随机变量息税前利润 x 的概率分布 j任度 几 P 即资本结构 d 等于零 的资本利润率的均方 差 卜 画可 二 二 命 l 韦采干佰倍个 l卜的 风盼 准确地说 无负债企业的风险仅仅是经营 风险 不包含有 财务风险 负债时的资本利润率的均方差 广俪百二 一 d 万而 推导过程略 表示负债企业的 风险 由于负债企业的风险是由经营风险和财务风险组成的 而经营风险与是否负债无关 因此 负债企业的经营风险就是无负债企业的经营风险 画可 它是资本结构 d 等于零时 的经营风险 负债企业 的财务风险就是无负债企业的经营风险丁石 可 与资本结构 d 的乘积 就资本结构优化决策来说 它并不能改变企业的经营风险 换言之 资本结构优化决策是 在经营风险既定的情况 下进行的 从这种意义上看 资本结构 d 就是负债企业财务风险的 计量 因此图中横坐标上