奇妙的幻方.doc

奇妙的幻方知识要点643678120921345010622幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格一般地，在nn（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上nn个连续的自然数（注意，这nn个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n阶幻方（标准幻方）其中，相等的和叫做幻和，n叫做阶幻和幻方内所有数字之和阶数，奇数阶幻方的中心数幻和阶数非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K型的数叫做双偶数，4K2型的数叫做单偶数）幻方具有对称性如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和这就是幻方的对称性141161871510121332459161411618715101213324591614116187151012133245916141161871510121332459161411618715101213324591614116187151012133245916191521213917232516841221410561218207112419152232516841221410612181915212139251681221420731915225168122143幻方具有轮换性如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）这样，随你怎样选取55的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性幻方的构造方法：学与练（一）1奇数阶幻方的构造方法：杨辉三阶幻方构造法：ABCD123456789我国古代著名数学家杨辉在续古摘奇算法中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”“九子斜排”，即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将19这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置这样，一个三阶幻方就编排完了训练用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？用“杨辉三阶幻方构造法”及311编排一个三阶幻方，填入右图中861375429如右图的33的阵列中填入19九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方现有一个33的阵列如右图，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中56如右图所示，在33的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51 4在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30把19这九个数字填入33的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？1010101080808080 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法具体方法如下：先把1（或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的个数：每一个数放在前一个数的右上一格；如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的口诀：横向叫行竖叫列，从1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将2写；数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走；若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。训练用罗伯法将125填入右图中，编排出一个五阶幻方，填入右图中用罗伯法把529这二十五个数构成一个五阶幻方，填入右图中用罗伯法把721这九个数构成一个三阶幻方，填入下图中用罗伯法把149这四十九个数构成一个七阶幻方，填入右图中巴舍法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：1131211177625162218212208143941023241915571312111725245410181202181439162223619215图图巴舍法，也叫“平移补空法”，其关键是平移补空，这种方法适用于奇数阶幻方，具体编排步骤如下（以五阶幻方为例，用125这25个数去填）画图画出一个五行、五列的正方形，然后分别补出一个凸的、阶梯式的图形；填数把125这25个数，按斜行方向从左至右上依次填入凸形阶梯式图中，如右图；平移补空将五阶幻方格外凸出部分中的数字按照“上移下，下移上，左移右，右移左”的方向，平移五格，填到对应部分的空格中，这样可得到一个五阶幻方，如右图训练用巴舍法把1058编排一个七阶幻方21131823191722524201425164128117621510931如下图所示，斜排着五行五列二十五个自然数，请把55正方形外的十二个数移进正方形星，使之组成一个五阶幻方2偶数阶幻方的构造方法：对称交换法（用于编排双偶数阶幻方）：5710131569111416128132412710132681131659114154图图图用对称交换法编排双偶数阶幻方的具体步骤如下（以四阶幻方为例，用116编排）：先将116这16个数字按顺序依次填入四阶幻方的空格中（如图）并求出幻和；容易验证每条对角线上四个数之和恰为幻和，所以两对角线上的数原封不动；将对角线以外的数字，按方阵的位置中心作为中心对称换位（如图），这样就制成了一个四阶幻方（如图）4176511823训练在下图的空格内埴上适当的数，使得图中横行、竖列及两对角线上四个数的和都是34只用6、7、8、9这四个数字，每个数字分别用四次，填入右面空格中，不论横竖行或斜线上的四个数相加，和都是30181016把116这十六个数填入右上图中的空格内，使图中每一横行、每一竖列上四个数的和都等于34；而且任意取一个含有九格的正方形，它的斜对角上的两个数（如图中的1和16）的和都等于17 用对称交换法将318这十六个数编制成一个四阶幻方，填入右图中 用对称交换法编排一个幻和等于50的四阶幻方，填入右图中使用对称交换法，用164这六十四个自然数编排一个八阶幻方，填入右面左图中使用对称交换法，用1982这六十四个自然数编制一个八阶幻方，填入右面右图中同心方阵法（用于编排单偶数阶幻方）：用136这36个数编排六阶幻方用136这36个数中间的1126这16个数编排一个四阶幻方；编排四阶幻方的外框用剩下的110这10个小数，2736这10个大数编排外框小数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10大数为36、35、34、33、32、3l、30、29、28、27这些相应的一大一小两个数的和恰好都是37因为1233536666，6666111即幻和为111因为如果只有两个大数，则363510987105111，如果有四个大数，则3029282721117111所以外框上下两行，左右两列必须有三个大数和三个小数把1、2先填在左右上角的两空格内，因为两主对角线上数字和为111，所以左、右下角两格内必须分别填35和36设1右边一格内是小数x1，与它对应的外框下端一格必是一个大数y1x1所在那一行的其它三个数一定是大数，分别用y2、y3、y4表示y1所在那一行的其它三个数一定是与y2、 y3、y4相对应的小数，用x2、x3、x4表示因为x2y2x3y3x4y437，所以y237x2，y337x3，y437x4，又因为第一行六个数的和为111，所以1x137x237x337x42111，x13x2x3x4因为小数1、2已经用了，所以x2x3x4至少是34512，这时x19，并可求出x23，x34，x45，对应的y128，y234， y333， y432左、右两列，因已各有一个小数、一个大数所以剩下的四个数必定是二大二小设1下面的两个小数用a1、a2表示，2下面与之对应的走数用b1、b2表示a2下面的两个大数用b3、b4表示，b2下面与b3、b4 相应的两个小数用a3、a4表示，由于，所以有，而每列