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第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid空间和酉空间1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F一、线性空间的定义及性质定义1 设是一个非空集合，是一数域如果存在一种规则，叫做的加法运算：对于中任意两个元素，总有中一个确定的元素与之对应称为的和，记为另有一种规则，叫做对于的数乘运算：对于中的任意数及中任意元素，总有中一个确定的元素与之对应，叫做与的数乘，记为而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意，及，有1)；2)；3)中存在零元素，对于任何，恒有；4)对于任何，都有的负元素，使；5)；6)；(式中是通常的数的乘法)7)；(式中是通常的数的加法)8)则称为数域上的一个线性空间，也称向量空间中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法在不致产生混淆时，将数域上的线性空间简称为线性空间需要指出，不管的元素如何，当为实数域时，则称为实线性空间；当为复数域时，就称为复线性空间线性空间称为零空间例1 任何数域(作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域上的线性空间例2 实数域作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域C上的线性空间因为.例3 以数域上的数为系数的多项式称为数域上的多项式数域上的、以为变量的全体多项式的集合记为；次数小于的全体多项式的集合记为可以证明，对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域上的线性空间对于多项式，设，这里，于是对于任何，有易证明线性空间定义中的八条性质都成立，因此是上的线性空间类似可证对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域上的线性空间例4 数域上的维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为，它对于数组向量加法、数乘运算构成上的线性空间例5 数域上的矩阵的全体构成的集合记为，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域上的线性空间例6定义在上的实函数全体的集合，对于函数加法、数乘运算构成实数域上的线性空间例7 常系数二阶齐次线性微分方程的解的集合，对于函数加法及数与函数乘法有：若，则，当时，则，即关于这两种运算是封闭的，且满足定义中的八条性质，故构成了上的线性空间定理1 设是数域上的线性空间，则1) 中零元素惟一；2) 中任一元素的负元素惟一；，用表示的负元素；3) ；特别有，；4) 如果，那么证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成假设有两个负元素与，则，从而二、向量的线性相关性在线性代数中，已讨论了维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域上的线性空间也有类似结果：定义2 设是数域上的线性空间，是中一组向量，是数域中的数，如果中向量可以表示为，则称可由线性表示(线性表出)，或称是的线性组合定义3 设与是线性空间中两个向量组，如果中每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示如果向量组与向量组可以互相线性表示，则称向量组与向量组是等价的容易证明向量组之间的等价具有如下性质：(1) 自反性：每一个向量组都与它自身等价；(2) 对称性：如果向量组与等价，那么向量组也与等价；(3) 传递性：若向量组与等价，且向量组与等价，则向量组与等价定义4 设为数域上的线性空间，是中一组向量，如果存在个不全为零的数使得，则称线性相关；如果向量组不线性相关，就称为线性无关由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法定理 2 设为数域上的线性空间，中一个向量线性相关的充分必要条件是；中一组向量线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合证 如果一个向量线性相关，由定义1.4可知，有，使 ，由定理1 的4)知反之，若，由对任意数都有由定义4知，向量线性相关如果向量组线性相关，则存在不全为零的数，使得 ，因为不全为零，不妨设，于是上式可改写为 即向量是其余向量的线性组合反过来，如果向量组中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说 ，上式可写为 ，因为不全为零，由定义4知，向量组线性相关 例8 实数域上线性空间的一组向量(矩阵)是线性无关的事实上，如果 ，即 ，则因此，满足的只能全为零，于是线性无关定理3 设为数域上的线性空间，如果中向量组线性无关，并且可由向量组线性表示，则证采用反证法假设，因为向量组可由向量组线性表示，即 ，作线性组合 ，考虑齐次线性方程组因为上述齐次线性方程组未知数的个数大于方程的个数，从而有非零解，即我们可找到不全为零的数，使得 因此，向量组线性相关，这与线性无关矛盾，于是由定理3直接可得如下结论推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量定理4 设线性空间中向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，并且表示法是惟一的证向量组线性相关，故存在不全为零的数，使 ，并且；否则向量组线性相关，这与条件矛盾从而 ，即可由线性表示假设可由线性表示为 ，则 因为向量组线性无关，从而因此，可惟一的表示为的线性组合定义5 设是线性空间中一组向量，如果中存在个线性无关的向量，并且中任一向量都可由向量组线性表示，则称向量组为向量组的一个极大线性无关组，数称为向量组的秩，记为一般说来，向量组的极大线性无关组不惟一，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价由等价的传递性可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价由推论1知，一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，即向量组的秩是惟一的，并且等价的向量组具有相同的秩三、基与维数现在引入线性空间的基与维数的概念，它是线性空间的重要属性定义6 设是数域上的线性空间，如果中存在个向量，满足：1)线性无关； 2)中任何向量均可由线性表示即存在，使得则称为的一组基(或基底)，基中向量的个数称为线性空间的维数，记为维或若，称为有限维线性空间，否则，称为无限维线性空间，本书主要讨论有限维线性空间关于线性空间的基与维数，有：(1) 维线性空间中任一向量必可由的基线性表示，并且表示法惟一(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一(3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的定理5 维线性空间中任意个线性无关的向量均可构成一组基证设是维线性空间，是的一组基，是中一个线性无关的向量组为证是基，只须证明中任一向量可由线性表示此时，向量组中每个向量都可由基线性表示这是个向量被个向量线性表示的情况，即知，线性相关再由定理4，便知可由线性表示，定理得证例9 求实数域上线性空间的维数和一组基解 考虑中向量组 显然满足：1)线性无关；2)对于中任一向量，有由定义6知为的一组基，从而的维数为3例1.10 求数域上线性空间的维数和一组基解 中向量组 ，显然满足：1)线性无关2)对于中任一元素，有，于是知为的一组基，从而类似可知，线性空间的维数为，其一组基为 ，其中是矩阵，它的()元素为1，其余全为0例11 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域上的线性空间，求出的维数和一组基解 中一般元素可表示为，所在位置各体现一个自由度考虑中向量组 ，满足：1)线性无关； 2)对中任一矩阵，有，可见为的一组基，四、坐标与坐标变换定义7 设是数域上的维线性空间，是的一组基，对于中任一向量，有数域中惟一的一组数，使 ，称有序数组为向量在基下的坐标，记为如果借用矩阵乘法的形式，记，则的坐标可以方便地用一个维列(数组向量)表示出来： 例12 中向量在基下的坐标为： 例13 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运算构成实数域上的线性空间，求中向量在基 下的坐标解 因为，所以在基下的坐标为引理1 在维线性空间中，对于任一组基，向量为零向量的充分必要条件是的坐标为引理2 设是数域上的维线性空间，在基下，如果的坐标记为，的坐标记为，则1)的坐标为；2)的坐标为证 设，便有 ， 于是，可见的坐标为对任意，有，故的坐标为定理6 设是数域上的维线性空间，在的一组基之下，向量组线性相关的充分必要条件是它们的坐标(作为数域上的维数组向量)线性相关证 利用引理1，2，便知以下四种说法等价： 中向量组线性相关 有数域中不全为零的数，使 有数域中不全为零的数使 ，这里 数域上的维数组向量线性相关设是数域上的维线性空间，及 是的两组基，并设 (1)若令，则中第列恰是向量在基下的坐标，矩阵是惟一确定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表达为 (2)把(2)式称为基变换公式，其中的阶矩阵称为由基到基的过渡矩阵(或称变换矩阵)在(2)式两端同时右乘，便得 这说明由基到基的过渡矩阵恰是由基到的过渡矩阵的逆矩阵下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系设基与之间的关系如(2)式，向量在这两组基下的坐标分别为 ，于是，有根据向量在取定基下坐标的惟一性，得， (3)或写成 (3)(3)式或(3)式叫做坐标变换公式定理1.7 在维线性空间中，设向量在两组基及之下的坐标分别为及，如果两组基向量的变换公式如(2)，则坐标变换公式为(3)或(3)例14 在线性空间中，求出由基到基的变换公式，并求向量在基下的坐标解 首先容易得到由基到基的变换公式为 ，其中 ，求得于是，由基到基的变换公式为 又因为向量在基下的坐标显然为，依坐标变换公式便有例15 对于数域上的线性空间，证明：是一组基，并求在该基下的坐标解 取基，则有即，过渡矩阵故是一组基因为在下的坐标为，则在下的坐标为例16 已知矩阵空间的两组基() ；() ；求由基()到基()的过渡矩阵解 为了计算简单，采用中介基方法引进的简单基() ，直接写出由基()到基()的过渡矩阵： ，即再写出由基()到基()的过渡矩阵，即所以有 于是得由基()到基()的过渡矩阵1.2 线性子空间一、线性子空间的概念在通常的三维几何空间中，考虑过原点的一条直线或一个平面不难验证这条直线或这个平面上的所有向量对于向量加法及数乘运算，分别形成一个一维和二维的线性空间这就是说，它们一方面都是三维几何空间的一部分，一方面它们自身对于原来的运算也都构成一个线性空间针对这种现象，引入下面定义定义8 设是数域上的线性空间的一个非空子集合，且对中已有的线性运算满足以下条件：(1) 对任意的，有；(2) 对任意的，有则称为的线性子空间或子空间例如，阶齐次线性方程组的解空间是的子空间值得指出，线性子空间也是线性空间这是因为为的子集合，所以中的向量不仅对线性空间已定义的线性运算封闭，而且还满足相应的八条运算律容易看出，每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称后者为零子空间它们称为平凡子空间由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念，亦可应用到线性子空间中去由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零因为线性子空间中不可能比整个线性空间中更多数目的线性无关的向量，所以，任何一个线性子空间的维数不大于整个线性空间的维数，即有 (1) 例如,阶齐次线性方程组当其系数矩阵的秩为时，其解空间的维数小于的维数 下面讨论线性子空间的生成问题 设是数域上的线性空间的一组向量，其所有可能的线性组合的集合 是非空的，而且容易验证对的线性运算是封闭的，因而是的一个线性子空间这个子空间称为由生成(或张成)的子空间，记为 () 在有限维线性空间中，它的任何一个子空间都可以由式()表示事实上，设是的子空间, 当然是有限维的，如果是的一个基，那么有 ()特别地，零子空间就是由零元素生成的子空间矩阵的值域和核空间(零空间)的理论，在线性最小二乘问题和广义逆矩阵的讨论中都占有重要地位，现定义如下定义9 设，以表示的第个列向量，称子空间为矩阵的值域(列空间)，记为 . () 由前面的论述及矩阵秩的概念可知，且有 还可以这样生成：令,则，这表明为的列向量组的线性组合反之，若为的列向量组的线性组合，则 可见所有乘积之集合 与的列向量组的线性组合的集合相同，从而有 . () 同样可以定义的值域(行空间)为 ， ()且有 定义10 设，称集合为的核空间(零空间)，记为，即 . ()显见是齐次线性方程组的解空间，它是的一个子空间的核空间的维数称为的零度，记为，即 例1 已知，求的秩及零度解 记，显然有，即的三个列向量线性相关但的任何两个列向量均线性无关，故又由可求出为任意参数，从而有同样可以求得从例1可见，的列数，而这一事实具有一般性，即若，则有下面的一般公式： ， () . ()事实上，因为的解空间的维数为，从而式()成立；又因 ，由式()减去上式便得式() 值得指出的是，当时，同样有第一节中定义6和定义7,且式()与()仍成立 定理 设是数域上的线性空间的一个维子空间，是的基，则这个基向量必可扩充为的一个基换言之，在中必可找到个向量，使得是的一个基证 对维数差作归纳法当时，定理显然成立，因为已经是的基现在假定时定理成立，考虑的情形既然还不是的基，但它又是线性无关的，则由定义1.6可知，在中至少有一个向量不能被线性表出，把添加进去，必定是线性无关的(因为，若线性无关，但线性相关，那么可以被线性表出，且表示法惟一)由式()知子空间是维的因为 ，由归纳法假定知的基可以扩充为的基，归纳法完成二、子空间的交与和 前面讨论了由线性空间的元素生成子空间的方法与理论这里将要讨论子空间的交与和，可以视为由子空间生成的子空间首先证明下面的定理 定理 如果是数域上的线性空间的两个子空间，那么它们的交集也是的子空间证 因为,所以于是是非空的又若，则因都是子空间，故，即又因对任意的，,故所以是的子空间称为子空间的交 由集合的交的定义可以推知，子空间的交满足交换律与结合律，即有 ， 定义11 设都是数域上的线性空间的子空间，则所有这样的元素的集合称为的和，记为，即 定理10 如果都是数域上的线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间证 显然非空又对任意向量，设，则有 ， ，这就证明了是的子空间 由子空间的和的定义可以推知，子空间的和适合交换律与结合律，即有 ， 例如，在线性空间中，表示过原点的直线上所有向量形成的子空间表示另一条过原点的直线上所有向量形成子空间显然是由与交点(原点)形成的零子空间；是在由与所决定的平面上全体向量形成的子空间 子空间的交与和可视为子空间之间的两种运算 如果子空间，那么这就是说的子空间是的子空间；换言之，是包含在中的最大子空间如果子空间，那么这就是说包含的子空间也包含；或者说是包含的最小子空间关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理定理11 (维数公式)如果是数域上的线性空间的两个子空间，那么有下面公式 (10) 证 设需要证明 当时，由知,再由，可得，从而，故 .同理，当时，式(10)亦成立当，且时，设为的基由定理9，将它依次扩充为的基 只要证明向量组是的一个基，这样一来, 的维数就等于，则式(10)成立因为中任一向量可由线性表出，所以也可由线性表出同理中任一向量也可由它们线性表出于是有 .剩下还要证明这个向量线性无关假定 ，令则由第一等式有；由第二等式有，因此有即可由线性表出，令 则有 但是的基，因此它们线性无关，所以有 ，从而于是又有 ，但是的基，故它们线性无关，从而又有 这就证明了线性无关，因而它是的基 式(10)表明，和空间的维数往往要比空间维数的和小 给出和空间时，只知道其任一向量均可表示为的和，即但是，一般说来这种表示法并不是惟一的例如，在中，若表示与所生成的子空间；表示与所生成的子空间则其和中的零向量,一方面可表示为,即中的零向量与中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示为 ，这就说明零向量的表示法不惟一针对这种现象，作如下定义 定义12 如果中的任一向量只能惟一地表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和，则称为与的直和或直接和，记为 定理12 和为直和的充要条件是 证 充分性 设,对，若有 ； ，则有 ，即 也就是，于是的分解式惟一，为直和 必要性 假定为直和，如果不为零空间，则在中至少有一向量因是线性空间，故有今对中的零向量既有，又有这与是直和的假定矛盾 推论1 设都是线性空间的子空间，令，则的充要条件为 (11)由定理12知，为直和的充要条件是这与等价，也就是与等价 推论1.3如果为的基，为的基，且为直和，则，是的基证 ，是的个向量，只需证明它们线性无关即可设一组数，使 ，则有 故，也就是，线性无关 子空间的直和概念可以推广到多个子空间的情形：设是线性空间的子空间如果和中每个向量的分解式，是惟一的，则称该和为直和，记为1.3 线性变换及其矩阵 线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，而线性变换则研究线空间中元素之间的最基本联系，本节介绍线性变换的基本概念，并讨论与矩阵之间联系一、线性变换及其运算 定义13 对于线性空间，如果存在一种规则：对于中每个元素，都有中一个确定元素与之对应，则称为线性空间的一个变换，并把这种对应关系记为, 称为在变换下的象，称为在变换下的一个原象1. 中所有元素在变换下的象所成的集合称为变换的象集(或值域)，记为显然， 定义14设都是线性空间的变换，如果对于任意的，总有,则说变换与变换相等，记作 2. 几个特殊的变换： 恒等变换：，； 零变换：，； 数乘变换：，3. 设、都是线性空间的变换可定义与的和变换及乘积变换为： ，；，4. 如果是数域上的线性空间，对于中的数及的变换，可定义的数乘变换为 定义15 对于线性空间的变换，若有的变换，使 ，则称为可逆变换，称为的逆变换，记为定义16 设是数域上的线性空间，是的一个变换.如果对于中任意元素以及数域中任意的数，总有 ， (1) ， (2) 则称为线性空间的一个线性变换 如果线性空间的线性变换还是可逆变换，则称为的一个可逆线性变换 5. (数域上的)线性空间的线性变换具有如下一些基本性质： 证， 线性变换保持线性组合关系不变，即对中任何向量及数域中任何数总有 线性变换把线性相关组化为线性相关组 证若中向量线性相关，则有中不全为零的数使，于是， 利用、，上式即为 说明是的一个线性相关组 若、都是线性变换，则+，也都是线性变换证对任意的及任意的，有； 所以+为线性变换类似可以证明为线性变换再由，而是线性变换，可知亦为线性变换 线性变换满足如下算律：对于线性空间的线性变换，及数域上的数，总有 若是可逆线性变换，则是可逆线性变换证只需证为线性变换，对于线性空间中的任意向量有以作用等式两端得 又，对于中任意向量及数域中的任意数， ，以作用两端得 于是知为线性变换，从而是可逆线性变换例1 在线性空间中，求微分是其一个线性变换，这里用表示，即事实上，对任意的，及，有例2 定义在闭区间上的所有实连续函数的集合构成上的一个线性空间，在上定义变换，即 .则是的一个线性变换二、线性变换的矩阵表示设是数域上的维线性空间，是的一组基首先说明：线性空间的一个线性变换，可以由它对基的作用完全确定即已知将化为,则对中任意向量 ，必有：这说明被完全确定由的任意性，知线性变换被完全确定了 从另一个角度看，作为中向量，又可以由基惟一地线性表示，设 (3)若记，则(3)式可表示为 . (4)引进记号用来表示，故()又可表示为： (5) (5)式中的阶矩阵称为线性变换在基下的矩阵 显然，当确定时，它在取定基下的矩阵是被惟一决定的事实上，的第列正是在基下的坐标反过来，若给数域上一个阶矩阵，可以证明上存在惟一的线性变换，使得在基下的矩阵恰为证明过程如下：先构造的一个变换，再证明它是线性变换，并且是满足(5)式的惟一的线性变换记 .对于中向量 ，令 ，显然是的一个变换还满足：1)对于中任意向量，若 ， ，按的定义应有 ， ，而 ，于是又有 ，显然满足 2)对于任意的，及，便有 ， ， 可见由1)、2)即知是的线性变换下面证明线性变换在基下的矩阵恰为，即证()式成立事实上，因为，故有 即知()式成立由于线性变换对基的作用已经由，完全确定，所以上述满足()式的线性变换是惟一的 总之，在线性空间的取定基之下，的线性变换与数域上的阶矩阵相互惟一决定也可以说，在取定基之下，的线性变换与上阶矩阵一一对应，其对应关系如()所示例3 对于线性空间，已知为求导数的线性变换：在基下，因为， 所以在基下的矩阵为 即有 例4维线性空间的线性变换为数乘变换的充分必要条件是在的任一基下的矩阵为阶数量矩阵特别地，线性变换为零变换的充分必要条件是它在任一基下的矩阵为零矩阵；线性变换为恒等变换的充分必要条件是它在任一基下的矩阵为单位矩阵 证如果，则有 ，易知在基下的矩阵为 反过来，如有，即有 ，对于任意的，设，则有 由的任意性，知零变换和恒等变换不过是数乘变换当及时的特例例5在取定基下，维线性空间的线性变换与数域上的阶矩阵是一一对应的若设线性变换、在基下的矩阵分别为，证明+，及在基下的矩阵恰为+，及证 ， ，可知： 说明在基下的矩阵恰为+ 类似可证，在基下的矩阵为， 定理13 设是数域上的维线性空间，在取定基之下，的线性变换与上阶矩阵一一对应，这种对应关系保持加法、保持乘法、保持数乘 定理14 设线性空间的线性变换在基下的矩阵为,则可逆的充分必要条件是可逆并且，当可逆时，在基下的矩阵恰是 证如果线性变换可逆，可设在基下的矩阵为，于是在基下的矩阵为因为，由例知，故可逆，且，即说线性变换在基下的矩阵恰是反之，若线性变换在基下的矩阵是可逆的，可设在基下与矩阵相应的线性变换为于是线性变换在基下的矩阵应为再由例2知同理可证，故知可逆，且例6对线性空间，已知为求导数的线性变换，在基下，因为 ，证明不是可逆线性变换；而是可逆的线性变换又，对于中的向量，求出 解 在基下的矩阵为 显然不可逆，故由定理14知不是可逆的线性变换因为恒等变换是线性变换并且在任一基下的矩阵都是单位矩阵故知(作为两个线性变换之和)为线性变换，根据定理14又知在基下的矩阵为 因为可逆，由定理14知为可逆线性变换故 (6)计算得 由()式可得 ，故 定理15 设是线性空间的一组基，线性变换在该基下的矩阵为如果中向量在这组基下的坐标为，则在该基下的坐标为证设，即，于是 可见恰是在基下的坐标例7利用定理14计算例6中的解在基下的坐标为，则在该基下的坐标为 故有 定理16 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的具体地说，如果线性空间的线性变换在两组基及下的矩阵分别是和，由到的变换矩阵为，则证 ， ，(7) ，此时 于是 与()式对照，注意到线性变换在取定基下的矩阵是惟一的，即知.三、特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量对于线性变换的研究，起着十分重要的作用，而且在物理、力学和工程技术中具有实际的意义定义17 设是数域上的线性空间的线性变换，且对中某一数，存在非零向量，使得 ()成立，则称为的特征值，为的属于的特征向量下面讨论特征值和特征向量的求法设是数域上的维线性空间，是的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为.如果是的特征值，是相应的特征向量，则 ()把它代入()， 由于线性无关，所以 ， (10)这说明特征向量的坐标满足齐次线性方程组 (11)因为，所以，即齐次线性方程组(11)有非零解方程组(11)有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵行列式为零，即 (12)定义18 设是数域上的阶矩阵，是一个文字，矩阵称为的特征矩阵，其行列式称为的特征多项式方程称为的特征方程，它的根称为的特征根(或特征值)以的特征值代入齐次线性方程组(11)所得的非零解称为对应的特征向量设线性空间的线性变换在任意取定的某一组基下的矩阵为如果是线性变换的特征值，则是矩阵的特征值；反过来，如果是矩阵的特征值，即，则齐次线性方程组(11)有非零解，则以为坐标的非零向量满足(8)，即是线性变换的特征值，是的属于特征值的一个特征向量因此，线性变换的特征值、特征向量的性质可由矩阵的特征值、特征向量的性质得到例 设线性变换在基下的矩阵是，求的特征值与特征向量解 矩阵的特征多项式为 ，所以矩阵(即线性变换)的特征值是(二重)和对应于特征值，齐次线性方程组的基础解系为 因此，线性变换属于特征值-1的两个线性无关的特征向量为，对应于特征值，齐次线性方程组的基础解系为，因此线性变换关于特征值3的一个线性无关的特征向量是例9 在维线性空间中，线性变换 在基下的矩阵是 的特征多项式为 所以矩阵(即线性变换D)的特征值是(重)，相应的齐次线性方程组的基础解系为因此，线性