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三次参数样条曲线 1 问题提出 有空间的n个点 p1 p2 p3 pn要用一条曲线光滑连接 p1 p2 p3 pn p4 2 解决问题的思路 插值三次样条曲线三次参数样条曲线 3 三次样条曲线 定义 对于给定的n个型值点Pi xi yi 且hi xi 1 xi 0 i 1 2 n 若y S x 满足下列条件 1 在Pi xi yi 点上有yi S xi 2 S x 在 x1 xn 上二阶连续可导 3 在每个子区间 xi xi 1 上 S x 是x的三次多项式 则称S x 为过型值点的三次样条函数 由三次样条函数构成的曲线称为三次样条曲线 4 三次样函数的形式推导 由定义可知在 xi xi 1 上 Si x 可写成 Si x ai bi x xi ci x xi 2 di x xi 3ai bi ci di为待定系数 1 由于yi Si xi Si xi 1 Si 1 xi 1 yi 1 有yi aiai bihi cihi2 dihi3 yi 1 用于求bi 2 由Si x bi 2ci x xi 3di x xi 2有Si xi bi由Si x 2ci 6di x xi 有Si xi 2ci 5 三次样函数的形式推导 3 要求曲线在二阶连续可导 则有Si xi 1 Si 1 xi 1 Si xi 1 Si 1 xi 1 从而有bi 2cihi 3dihi2 bi 12ci 6dihi 2ci 1 求di 4 令Mi 2ci 则有 ai yici Mi 2di Mi 1 Mi 6hibi yi 1 yi hi hi Mi 3 Mi 1 6 6 三次样函数的形式推导 从而有 ai 1 yi 1ci 1 Mi 1 2di 1 Mi Mi 1 6hi 1bi 1 yi yi 1 hi 1 hi 1 Mi 1 3 Mi 6 5 由Si 1 xi Si xi 有bi 1 2ci 1hi 1 3di 1hi 12 bi令 i hi 1 hi 1 hi i hi hi 1 hi Di 6 hi 1 hi yi 1 yi hi yi yi 1 hi 1 可得 iMi 1 2Mi iMi 1 Di 其中 i i 1 i 2 3 n 1 7 三次样函数的端点条件 1 夹持端 端点处一阶导数已知 即S1 x1 y1 亦即y1 b1 y2 y1 h1 h1 M1 3 M2 6 2M1 M2 6 y2 y1 h1 y1 h1Sn 1 xn yn 亦即yn 1 bn 1 yn yn 1 hn 1 hn 1 Mn 1 3 Mn 6 Mn 1 2Mn 6 yn yn yn 1 hn 1 hn 1得方程组为 2M1 M2 6 y2 y1 h1 y1 h1 iMi 1 2Mi iMi 1 Di i 2 3 n 1 Mn 1 2Mn 6 yn yn yn 1 hn 1 hn 1 8 三次样函数的端点条件 2 自由端 端点处曲线二阶导数为零即S1 x1 y1 0 Sn 1 xn yn 0亦即S1 x1 2c1 0 M1 0Sn 1 xn 2cn 1 6dn 1hn 1 0 Mn 0得方程组 M1 0 iMi 1 2Mi iMi 1 Di i 2 3 n 1 Mn 0 9 三次样函数的端点条件 3 抛物端 曲线的首尾两段S1 x 和Sn 1 x 为抛物线 即曲线在首尾两段曲线上二阶导数为常数 y1 y2 yn 1 yn S1 x1 2c1 S2 x2 2c2 M1 M2Sn 2 xn 1 2cn 2 6dn 2hn 2 Sn 1 xn 2cn 1 6dn 1hn 1 Mn 1 Mn得方程组 M1 M2 0 iMi 1 2Mi iMi 1 Di i 2 3 n 1 Mn 1 Mn 0 10 2020 2 6 11 三次样条曲线 程序 程序演示 12 三次参数样条曲线 有空间的n个点 p1 p2 p3 pn要用一条三次参数样条曲线插值 p1 p2 p3 pn p4 13 三次参数样条曲线定义 三次参数样条曲线的表达式p t B1 B2t B3t2 B4t30 t tm在两点p1 p2之间定义一条该曲线 参数形式 令p1 t 0 p2 t t2 已知 p 1 p 2代入方程可得方程系数B1 B2 B3 B4 p1 p2 14 三次参数样条曲线推导 15 三次参数样条曲线推导 16 连续的三次参数样条曲线 17 连续的三次参数样条曲线 式中 p i第i点的切矢量为未知数 i 1 n 求解n个未知数 要n个方程 18 连续的三次参数样条曲线端点条件 19 三次参数样条曲线端点条件 20 三次参数样条曲线 求三次参数样条曲线的表达式p t B1 B2t B3t2 B4t30