小学数学奥数题六年级加教学指导.pdf

一 工程问题一 工程问题 1 甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要20小时 16小时 丙水管单独开 排一池水要10小时 若水池 没水 同时打开甲乙两水管 5小时后 再打开排水管丙 问水池注满还是要多少小时 解 1 20 1 16 9 80表示甲乙的工作效率 9 80 5 45 80表示5小时后进水量 1 45 80 35 80表示还要的进水量 35 80 9 80 1 10 35表示还要35小时注满 答 5小时后还要35小时就能将水池注满 2 修一条水渠 单独修 甲队需要20天完成 乙队需要30天完成 如果两队合作 由于彼此施工有影响 他 们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 乙队工作效率只有原来的十分之九 现在计划16 天修完这条水渠 且要求两队合作的天数尽可能少 那么两队要合作几天 解 由题意得 甲的工效为1 20 乙的工效为1 30 甲乙的合作工效为1 20 4 5 1 30 9 10 7 100 可知甲乙 合作工效 甲的工效 乙的工效 又因为 要求 两队合作的天数尽可能少 所以应该让做的快的甲多做 16天内实在来不及的才应该让甲乙合 作完成 只有这样才能 两队合作的天数尽可能少 设合作时间为x天 则甲独做时间为 16 x 天 1 20 16 x 7 100 x 1x 10答 甲乙最短合作10天 3 一件工作 甲 乙合做需4小时完成 乙 丙合做需5小时完成 现在先请甲 丙合做2小时后 余下的乙还 需做6小时完成 乙单独做完这件工作要多少小时 解 由题意知 1 4表示甲乙合作1小时的工作量 1 5表示乙丙合作1小时的工作量 1 4 1 5 2 9 10表示甲做了2小时 乙做了4小时 丙做了2小时的工作量 根据 甲 丙合做2小时后 余下的乙还需做6小时完成 可知甲做2小时 乙做6小时 丙做2小时一共的工作量 为1 所以1 9 10 1 10表示乙做6 4 2小时的工作量 1 10 2 1 20表示乙的工作效率 1 1 20 20小时表示乙单独完成需要20小时 答 乙单独完成需要20小时 4 一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 这样交替轮流做 那么恰好用整数天完 工 如果第一天乙做 第二天甲做 第三天乙做 第四天甲做 这样交替轮流做 那么完工时间要比前一种多 半天 已知乙单独做这项工程需17天完成 甲单独做这项工程要多少天完成 解 由题意可知1 甲 1 乙 1 甲 1 乙 1 甲 1 1 乙 1 甲 1 乙 1 甲 1 乙 1 甲 0 5 1 1 甲表示甲的工作效率 1 乙表示乙的工作效率 最后结束必须如上所示 否则第二种做法就不比第一种多 0 5天 1 甲 1 乙 1 甲 0 5 因为前面的工作量都相等 得到1 甲 1 乙 2 又因为1 乙 1 17 所以1 甲 2 17 甲等于17 2 8 5天 5 师徒俩人加工同样多的零件 当师傅完成了1 2时 徒弟完成了120个 当师傅完成了任务时 徒弟完成了 4 5这批零件共有多少个 解 120 4 5 2 300个 可以这样想 师傅第一次完成了1 2 第二次也是1 2 两次一共全部完工 那么徒弟第二次后共完成了4 5 可 以推算出第一次完成了4 5的一半是2 5 刚好是120个 答案为300个 6 一批树苗 如果分给男女生栽 平均每人栽6棵 如果单份给女生栽 平均每人栽10棵 单份给男生栽 平 均每人栽几棵 解 算式 1 1 6 1 10 15棵答案是15棵 7 一个池上装有3根水管 甲管为进水管 乙管为出水管 20分钟可将满池水放完 丙管也是出水管 30分钟 可将满池水放完 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 打开乙 丙两管用了18分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多少分钟将水放完 解 1 1 20 1 30 12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数 1 12 18 12 1 12 6 1 2 表示乙丙合作将漫池水放完后 还多放了6分钟的水 也就是甲18分钟进的水 1 2 18 1 36 表示甲每分钟进水 最后就是1 1 20 1 36 45分钟 答案45分钟 8 某工程队需要在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 问规定日期为几天 解 由 若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 可知 乙做3天的工作量 甲2天的工作量即 甲乙的工作效率比是3 2 甲 乙分别做全部的的工作时间比是2 3 时间比的差是1份 实际时间的差是3天 所以3 3 2 2 6天 就是甲的时间 也就是规定日期答案为6天 方程方法 1 x 1 x 2 2 1 x 2 x 2 1解得x 6 9 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要2小时 而点完一根细蜡烛要1小时 一天晚上停电 小芳同时点燃 了这两根蜡烛看书 若干分钟后来点了 小芳将两支蜡烛同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍 问 停电 多少分钟 解 设停电了x分钟根据题意列方程1 1 120 x 1 1 60 x 2解得x 40答案为40分钟 二 鸡兔同笼问题二 鸡兔同笼问题 1 鸡与兔共100只 鸡的腿数比兔的腿数少28条 问鸡与兔各有几只 解 4 100 400 400 0 400 假设都是兔子 一共有400只兔子的脚 那么鸡的脚为0只 鸡的脚比兔子的脚 少400只 400 28 372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只 相差372只 这是为什么 4 2 6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡 兔子的总脚数就会减少4只 从400只变为396只 鸡的总脚数就 会增加2只 从0只到2只 它们的相差数就会少4 2 6只 也就是原来的相差数是400 0 400 现在的相差数 为396 2 394 相差数少了400 394 6 372 6 62 表示鸡的只数 也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡 所以脚的相差数从400改为28 一共改了372只 100 62 38表示兔的只数 三 数字数位问题三 数字数位问题 1 把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789 2005 这个多位数除以9余数是多少 解 首先研究能被9整除的数的特点 如果各个数位上的数字之和能被9整除 那么这个数也能被9整除 如果各 个位数字之和不能被9整除 那么得的余数就是这个数除以9得的余数 解题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 45能被9整除 依次类推 1 1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 10 19 20 29 90 99这些数中十位上的数字都出现了10次 那么十位上的数字之和就是10 20 30 90 450 它有能被9整除 同样的道理 100 900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除 也就是说1 999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除 同样的道理 1000 1999这些连续的自然数中百位 十位 个位 上的数字之和可以被9整除 这里千位上的 1 还没考虑 同时这里我们少200020012002200320042005 从1000 1999千位上一共999个 1 的和是999 也能整除 200020012002200320042005的各位数字之和是27 也刚好整除 最后答案为余数为0 2 A和B是小于100的两个非零的不同自然数 求A B分之A B的最小值 解 A B A B A B 2B A B 1 2 B A B 前面的 1 不会变了 只需求后面的最小值 此时 A B A B 最大 对于 B A B 取最小时 A B B 取最大 问题转化为求 A B B 的最大值 A B B 1 A B 最大的可能性是 A B 99 1 A B B 100 A B A B 的最大值是 98 100 3 已知A B C都是非0自然数 A 2 B 4 C 16的近似值市6 4 那么它的准确值是多少 解 因为A 2 B 4 C 16 8A 4B C 16 6 4 所以8A 4B C 102 4 由于A B C为非0自然数 因此8A 4B C为一个整数 可能是102 也有可能是103 当是102时 102 16 6 375 当是103时 103 16 6 4375答案为6 375或6 4375 4 一个三位数的各位数字 之和是17 其中十位数字比个位数字大1 如果把这个三位数的百位数字与个位数字 对调 得到一个新的三位数 则新的三位数比原三位数大198 求原数 解 设原数个位为a 则十位为a 1 百位为16 2a 根据题意列方程100a 10a 16 2a 100 16 2a 10a a 198 解得a 6 则a 1 7 16 2a 4答 原数为476 5 一个两位数 在它的前面写上3 所组成的三位数比原两位数的7倍多24 求原来的两位数 解 设该两位数为a 则该三位数为300 a7a 24 300 aa 24答 该两位数为24 6 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 它与原数相加 和恰好是某自然数的平方 这个和 是多少 解 设原两位数为10a b 则新两位数为10b a它们的和就是10a b 10b a 11 a b 因为这个和是一个平方数 可以确定a b 11因此这个和就是11 11 121答 它们的和为121 7 一个六位数的末位数字是2 如果把2移到首位 原数就是新数的3倍 求原数 解 设原六位数为abcde2 则新六位数为2abcde 字母上无法加横线 请将整个看成一个六位数 再设abcde 五位数 为x 则原六位数就是10 x 2 新六位数就是200000 x 根据题意得 200000 x 3 10 x 2解得x 85714所以原数就是857142答 原数为857142 8 有一个四位数 个位数字与百位数字的和是12 十位数字与千位数字的和是9 如果个位数字与百位数字互换 千位数字与十位数字互换 新数就比原数增加2376 求原数 解 设原四位数为abcd 则新数为cdab 且d b 12 a c 9 根据 新数就比原数增加2376 可知abcd 2376 cdab 列竖式便于观察 根据d b 12 可知d b可能是3 9 4 8 5 7 6 6 再观察竖式中的个位 便可以知道只有当d 3 b 9 或d 8 b 4时成立 先取d 3 b 9代入竖式的百位 可以确定十位上有进位 根据a c 9 可知a c可能是1 8 2 7 3 6 4 5 再观察竖式中的十位 便可知只有当c 6 a 3时成立 再代入竖式的千位 成立 得到 abcd 3963 再取d 8 b 4代入竖式的十位 无法找到竖式的十位合适的数 所以不成立 答案为3963 9 有一个两位数 如果用它去除以个位数字 商为9余数为6 如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和 则商为5余数为3 求这个两位数 解 设这个两位数为ab10a b 9b 610a b 5 a b 3 化简得到一样 5a 4b 3由于a b均为一位整数得到a 3或7 b 3或8原数为33或78均可以 10 如果现在是上午的10点21分 那么在经过28799 99 一共有20个9 分钟之后的时间将是几点几分 解 28799 9 20个9 1 60 24整除 表示正好过了整数天 时间仍然还是10 21 因为事先计算时 加了1分钟 所以现在时间是10 20 答案是10 20 四 排列组合问题四 排列组合问题 1 有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 解 根据乘法原理 分两步 第一步是把5对夫妻看作5个整体 进行排列有5 4 3 2 1 120种不同的排法 但是因为是围成一个首尾相 接的圈 就会产生5个5个重复 因此实际排法只有120 5 24种 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置 也就是说每一对夫妻均有2种排法 总共又2 2 2 2 2 32种 综合两步 就有24 32 768种 2 若把英语单词hello的字母写错了 则可能出现的错误共有 A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解 5全排列5 4 3 2 1 120有两个l所以120 2 60原来有一种正确的所以60 1 59 五 容斥原理问题五 容斥原理问题 1 有100种赤贫 其中含钙的有68种 含铁的有43种 那么 同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是 A 43 25 B 32 25 C32 15 D 43 11 解 根据容斥原理最小值68 43 100 11最大值就是含铁的有43种 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 已知 1 某校25名学生参加竞赛 每个学生至少解出一道题 2 在所 有没有解出第一题的学生中 解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍 3 只解出第一题的学生比余下的学 生中解出第一题的人数多1人 4 只解出一道题的学生中 有一半没有解出第一题 那么只解出第二题的学生人 数是 A 5 B 6 C 7 D 8 解 根据 每个人至少答出三题中的一道题 可知答题情况分为7类 只答第1题 只答第2题 只答第3题 只 答第1 2题 只答第1 3题 只答2 3题 答1 2 3题 分别设各类的人数为a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 由 1 知 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 25 由 2 知 a2 a23 a3 a23 2 由 3 知 a12 a13 a123 a1 1 由 4 知 a1 a2 a3 再由 得a23 a2 a3 2 再由 得a12 a13 a123 a2 a3 1 然后将 代入 中 整理得到 a2 4 a3 26 由于a2 a3均表示人数 可以求出它们的整数解 当a2 6 5 4 3 2 1时 a3 2 6 10 14 18 22 又根据a23 a2 a3 2 可知 a2 a3 因此 符合条件的只有a2 6 a3 2 然后可以推出a1 8 a12 a13 a123 7 a23 2 总人数 8 6 2 7 2 25 检验所有条件均符 故只解出第二题的学生人数a2 6人 3 一次考试共有5道试题 做对第1 2 3 4 5题的分别占参加考试人数的95 80 79 74 85 如 果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格率至少是多少 答案 及格率至少为71 假设一共有100人考试 100 95 5100 80 20100 79 21100 74 26100 85 15 5 20 21 26 15 87 表示5题中有1题做错的最多人数 87 3 29 表示5题中有3题做错的最多人数 即不及格的人数最多为29人 100 29 71 及格的最少人数 其实都是全对的 及格率至少为71 六 抽屉原理 奇偶性问题六 抽屉原理 奇偶性问题 1 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最少要摸出几只手套才能保证 有3副同色的 解 可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉 把手套看成是元素 要保证有一副同色的 就是1个抽屉里至少有2 只手套 根据抽屉原理 最少要摸出5只手套 这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套 再根据抽屉原理 只要再摸出2只手套 又能保证有一副手套是同色的 以此类推 把四种颜色看做4个抽屉 要保证有3副同色的 先考虑保证有1副就要摸出5只手套 这时拿出1副同色的后 4 个抽屉中还剩下3只手套 根据抽屉原理 只要再摸出2只手套 又能保证有1副是同色的 以此类推 要保证有 3副同色的 共摸出的手套有 5 2 2 9 只 答 最少要摸出9只手套 才能保证有3副同色的 2 有四种颜色的积木若干 每人可任取1 2件 至少有几个人去取 才能保证有3人能取得完全一样 解 每人取1件时有4种不同的取法 每人取2件时 有6种不同的取法 当有11人时 能保证至少有2人取得完全一样 当有21人时 才能保证到少有3人取得完全一样 答案为21 3 某盒子内装50只球 其中10只是红色 10只是绿色 10只是黄色 10只是蓝色 其余是白球和黑球 为了 确保取出的球中至少包含有7只同色的球 问 最少必须从袋中取出多少只球 解 需要分情况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数 当黑球或白球其中没有大于或等于7个的 那么就是 6 4 10 1 35 个 如果黑球或白球其中有等于7个的 那么就是 6 5 3 1 34 个 如果黑球或白球其中有等于8个的 那么就是 6 5 2 1 33 如果黑球或白球其中有等于9个的 那么就是 6 5 1 1 32 4 地上有四堆石子 石子数分别是1 9 15 31如果每次从其中的三堆同时各取出1个 然后都放入第四堆中 那么 能否经过若干次操作 使得这四堆石子的个数都相同 如果能请说明具体操作 不能则要说明理由 答 不可能 因为总数为1 9 15 31 5656 4 1414是一个偶数 而原来1 9 15 31都是奇数 取出1个和放入3个也都是奇数 奇数加减若干次奇数后 结果一定还是奇数 不可能得到偶数 14个 七 路程问题七 路程问题 1 狗跑5步的时间马跑3步 马跑4步的距离狗跑7步 现在狗已跑出30米 马开始追它 问 狗再跑多远 马可 以追上它 解 根据 马跑4步的距离狗跑7步 可以设马每步长为7x米 则狗每步长为4x米 根据 狗跑5步的时间马跑3步 可知同一时间马跑3 7x米 21x米 则狗跑5 4x 20米 可以得出马与狗的速度比是21x 20 x 21 20 根据 现在狗已跑出30米 可以知道狗与马相差的路程是30米 他们相差的份数是21 20 1 现在求马的 21份是多少路程 就是 30 21 20 21 630米 2 甲乙辆车同时从a b两地相对开出 几小时后再距中点40千米处相遇 已知 甲车行完全程要8小时 乙车 行完全程要10小时 求a b 两地相距多少千米 分析 由 甲车行完全程要8小时 乙车行完全程要10小时 可知 相遇时甲行了10份 乙行了8份 总路程为 18份 两车相差2份 又因为两车在中点40千米处相遇 说明两车的路程差是 40 40 千米 所以算式是 40 40 10 8 10 8 720千米 答案720千米 3 在一个600米的环形跑道上 兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步 两人每隔12分钟相遇一次 若两 个人速度不变 还是在原来出发点同时出发 哥哥改为按逆时针方向跑 则两人每隔4分钟相遇一次 两人跑一 圈各要多少分钟 解 600 12 50 表示哥哥 弟弟的速度差600 4 150 表示哥哥 弟弟的速度和 50 150 2 100 表示较快的速度 方法是求和差问题中的较大数 150 50 2 50 表示较慢的速度 方法是求和差问题中的较小数 600 100 6分钟 表示跑的快者用的时间600 50 12分钟 表示跑得慢者用的时间 答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟 4 慢车车长125米 车速每秒行17米 快车车长140米 车速每秒行22米 慢车在前面行驶 快车从后面追上 来 那么 快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间 分析 算式是 140 125 22 17 53秒 可以这样理解 快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车 就是快车车尾上的点追及慢车车头的点 因此追及的 路程应该为两个车长的和 答案为53秒 5 在300米长的环形跑道上 甲乙两个人同时同向并排起跑 甲平均速度是每秒5米 乙平均速度是每秒4 4 米 两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米 分析 300 5 4 4 500秒 表示追及时间 5 500 2500米 表示甲追到乙时所行的路程 2500 300 8圈 100米 表示甲追及总路程为8圈还多100米 就是在原来起跑线的前方100米处相遇 6 一个人在铁道边 听见远处传来的火车汽笛声后 在经过57秒火车经过她前面 已知火车鸣笛时离他1360 米 轨道是直的 声音每秒传340米 求火车的速度 得出保留整数 算式 1360 1360 340 57 22米 秒 关键理解 人在听到声音后57秒才车到 说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360 340 4秒的路程 也就是1360米一共用了4 57 61秒 答案为22米 秒 7 猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子大 它跑5步的路程 兔子 要跑9步 但是兔子的动作快 猎犬跑2步的时间 兔子却能跑3步 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子 解 由 猎犬跑5步的路程 兔子要跑9步 可知当猎犬每步a米 则兔子每步5 9米 由 猎犬跑2步的时间 兔子却能跑3步 可知同一时间 猎犬跑2a米 兔子可跑5 9a 3 5 3a米 从而可知猎犬与兔子的速度比是2a 5 3a 6 5 也就是说当猎犬跑60米时 兔子跑50米 本来相差的10米刚好追完 答案是至少跑60米才能追上 8 AB两地 甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4 5 如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使 40分钟 后两人相遇 相遇后各自继续前行 这样 乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟 解 设全程为1 甲的速度为x乙的速度为y 列式40 x 40y 1x y 5 4得x 1 72 y 1 90 走完全程甲需72分钟 乙需90分钟故得解答案为18分钟 9 甲乙两车同时从AB两地相对开出 第一次相遇后两车继续行驶 各自到达对方出发点后立即返回 第二次 相遇时离B地的距离是AB全程的1 5 已知甲车在第一次相遇时行了120千米 AB两地相距多少千米 解 通过画线段图可知 两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程 从开始到第二次相遇 一共又行了3个AB 的路程 可以推算出甲 乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍 即甲共走的路程是 120 3 360千米 从线段图可以看出 甲一共走了全程的 1 1 5 因此360 1 1 5 300千米 从A地到B地 甲 乙两人骑自行车分别需要4小时 6小时 现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行 相遇时距 AB两地中点2千米 如果二人分别至B地 A地后都立即折回 第二次相遇点第一次相遇点之间有 千米 10 一船以同样速度往返于两地之间 它顺流需要6小时 逆流8小时 如果水流速度是每小时2千米 求两地间 的距离 解 1 6 1 8 2 1 48表示水速的分率2 1 48 96千米表示总路程 11 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 快车每小时行33千米 相遇是已行了全程的七分之四 已知慢车行 完全程需要8小时 求甲乙两地的路程 解 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4 3 时间比为3 4 所以快车行全程的时间为8 4 3 6小时 6 33 198千米 12 小华从甲地到乙地 3分之1骑车 3分之2乘车 从乙地返回甲地 5分之3骑车 5分之2乘车 结果慢了半小时 已知 骑车每小时12千米 乘车每小时30千米 问 甲乙两地相距多少千米 解 把路程看成1 得到时间系数 去时时间系数 1 3 12 2 3 30 返回时间系数 3 5 12 2 5 30 两者之差 3 5 12 2 5 30 1 3 12 2 3 30 1 75相当于1 2小时 去时时间 1 2 1 3 12 1 75和1 2 2 3 30 1 75 路程 12 1 2 1 3 12 1 75 30 1 2 2 3 30 1 75 37 5 千米 八 比例问题八 比例问题 1 甲乙两人在河边钓鱼 甲钓了三条 乙钓了两条 正准备吃 有一个人请求跟他们一起吃 于是三人将五条鱼平 分了 为了表示感谢 过路人留下10元 甲 乙怎么分 解 三人将五条鱼平分 客人拿出10元 可以理解为五条鱼总价值为30元 那么每条鱼价值6元 又因 甲钓了三条 相当于甲吃之前已出资3 6 18元 乙钓了两条 相当于乙吃之前已经出资2 6 12元 而甲乙两人吃了的价值都是10元 所以甲还可以收回18 10 8元乙还可以收回12 10 2元 刚好就是客人出的钱 2 一种商品 今年的成本比去年增加了10分之1 但仍保持原售价 因此 每份利润下降了5分之2 那么 今 年这种商品的成本占售价的几分之几 分析最好画线段图思考 把去年原来成本看成20份 利润看成5份 则今年的成本提高1 10 就是22份 利润下 降了2 5 今年的利润只有3份 增加的成本2份刚好是下降利润的2份 售价都是25份 所以 今年的成本占售价的22 25 3 甲乙两车分别从A B两地出发 相向而行 出发时 甲 乙的速度比是5 4 相遇后 甲的速度减少20 乙的速度增 加20 这样 当甲到达B地时 乙离A地还有10千米 那么A B两地相距多少千米 解 原来甲 乙的速度比是5 4 现在的甲 5 1 20 4 现在的乙 4 1 20 4 8 甲到B后 乙离A还有 5 4 8 0 2 总路程 10 0 2 4 5 450千米 4 一个圆柱的底面周长减少25 要使体积增加1 3 现在的高和原来的高度比是多少 解 根据 周长减少25 可知周长是原来的3 4 那么半径也是原来的3 4 则面积是原来的9 16 根据 体积增加1 3 可知体积是原来的4 3 体积 底面积 高 现在的高是4 3 9 16 64 27 即现在的高是原来的高的64 27或者现在的高 原来的高 64 27 1 64 27 5 某市场运来香蕉 苹果 橘子和梨四种水果其中橘子 苹果共30吨香蕉 橘子和梨共45吨 橘子正好占总数 的13分之2 一共运来水果多少吨 第二题 答案为65吨 橘子 苹果 30吨香蕉 橘子 梨 45吨所以橘子 苹果 香蕉 橘子 梨 75吨 橘子 香蕉 苹果 橘子 梨 2 13 说明 橘子是2份 香蕉 苹果 橘子 梨是13份橘子 香蕉 苹果 橘子 梨一共是2 13 15份 过桥问题 1 过桥问题 1 1 一列火车经过南京长江大桥 大桥长6700米 这列火车长140米 火车每分钟行400米 这列火车通过长江大 桥需要多少分钟 分析 这道题求的是通过时间 根据数量关系式 我们知道要想求通过时间 就要知道路程和速度 路程是用 桥长加上车长 火车的速度是已知条件 答 这列火车通过长江大桥需要17 1分钟 2 一列火车长200米 全车通过长700米的桥需要30秒钟 这列火车每秒行多少米 分析与解答 这是一道求车速的过桥问题 我们知道 要想求车速 我们就要知道路程和通过时间这两个条件 可以用已知条件桥长和车长求出路程 通过时间也是已知条件 所以车速可以很方便求出 答 这列火车每秒行30米 3 一列火车长240米 这列火车每秒行15米 从车头进山洞到全车出山洞共用20秒 山洞长多少米 分析与解答 火车过山洞和火车过桥的思路是一样的 火车头进山洞就相当于火车头上桥 全车出洞就相当于 车尾下桥 这道题求山洞的长度也就相当于求桥长 我们就必须知道总路程和车长 车长是已知条件 那么我 们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程 答 这个山洞长60米 和倍问题和倍问题 1 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁 妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍 问秦奋和妈妈各是多少岁 我们把秦奋的年龄作为1倍 妈妈的年龄是秦奋的4倍 这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40 岁 也就是 4 1 倍 也可以理解为5份是40岁 那么求1倍是多少 接着再求4倍是多少 1 秦奋和妈妈年龄倍数和是 4 1 5 倍 2 秦奋的年龄 40 5 8岁 3 妈妈的年龄 8 4 32岁 综合 40 4 1 8岁8 4 32岁 为了保证此题的正确 验证 1 8 32 40岁 2 32 8 4 倍 计算结果符合条件 所以解题正确 2 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行 3小时共飞行3600千米 甲的速度是乙的2倍 求它们的速度各是 多少 分析 已知两架飞机3小时共飞行3600千米 就可以求出两架飞机每小时飞行的航程 也就是两架飞机的速度和 看图可知 这个速度和相当于乙飞机速度的3倍 这样就可以求出乙飞机的速度 再根据乙飞机的速度求出甲飞 机的速度 甲乙飞机的速度分别每小时行800千米 400千米 3 弟弟有课外书20本 哥哥有课外书25本 哥哥给弟弟多少本后 弟弟的课外书是哥哥的2倍 思考 1 哥哥在给弟弟课外书前后 题目中不变的数量是什么 2 要想求哥哥给弟弟多少本课外书 需要知道什么条件 3 如果把哥哥剩下的课外书看作1倍 那么这时 哥哥给弟弟课外书后 弟弟的课外书可看作是哥哥剩 下的课外书的几倍 思考以上几个问题的基础上 再求哥哥应该给弟弟多少本课外书 根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书 如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍 那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍 也就是兄弟 俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍 而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量 1 兄弟俩共有课外书的数量是20 25 45 2 哥哥给弟弟若干本课外书后 兄弟俩共有的倍数是2 1 3 3 哥哥剩下的课外书的本数是45 3 15 4 哥哥给弟弟课外书的本数是25 15 10 4 甲乙两个粮库原来共存粮170吨 后来从甲库运出30吨 给乙库运进10吨 这时甲库存粮是乙库存粮的2倍 两个粮库原来各存粮多少吨 分析 根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨 后来从甲库运出30吨 给乙库运进10吨 可求出这时甲 乙两库共 存粮多少吨 根据 这时甲库存粮是乙库存粮的2倍 如果这时把乙库存粮作为1倍 那么甲 乙库所存粮就相 当于乙存粮的3倍 于是求出这时乙库存粮多少吨 进而可求出乙库原来存粮多少吨 最后就可求出甲库原来存 粮多少吨 甲库原存粮130吨 乙库原存粮40吨 列方程组解应用题 一 列方程组解应用题 一 1 用白铁皮做罐头盒 每张铁皮可制盒身16个 或制盒底43个 一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒 现有150 张铁皮 用多少张制盒身 多少张制盒底 才能使盒身与盒底正好配套 分析 依据题意可知这个题有两个未知量 一个是制盒身的铁皮张数 一个是制盒底的铁皮张数 这样就可以 用两个未知数表示 要求出这两个未知数 就要从题目中找出两个等量关系 列出两个方程 组在一起 就是 方程组 两个等量关系是 A做盒身张数 做盒底的张数 铁皮总张数B制出的盒身数 2 制出的盒底数 用86张白铁皮做盒身 64张白铁皮做盒底 奇数与偶数奇数与偶数 一 其实 在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数 偶数 凡是能被2整除的数叫偶数 大于零的偶数又叫双数 凡是不能被2整除的数叫奇数 大于零的奇数又叫单数 因为偶数是2的倍数 所以通常用 这个式子来表示偶数 这里 是整数 因为任何奇数除以2其余数都是1 所 以通常用式子 来表示奇数 这里 是整数 奇数和偶数有许多性质 常用的有 性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数 例如 8 4 12 8 4 4等 两个奇数的和或差也是偶数 例如 9 3 12 9 3 6等 奇数与偶数的和或差是奇数 例如 9 4 13 9 4 5等 单数个奇数的和是奇 双数个奇数的和是偶数 几个偶数的和仍是偶数 性质2 奇数与奇数的积是奇数 偶数与整数的积是偶数 性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数 1 有5张扑克牌 画面向上 小明每次翻转其中的4张 那么 他能在翻动若干次后 使5张牌的画面都向下吗 同学们可以试验一下 只有将一张牌翻动奇数次 才能使它的画面由向上变为向下 要想使5张牌的画面都向下 那么每张牌都要翻动奇数次 5个奇数的和是奇数 所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下 而小明每次翻动4张 不管翻多少 次 翻动的总张数都是偶数 所以无论他翻动多少次 都不能使5张牌画面都向下 2 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子 乙盒中放有181个白色围棋子 李平每次任意从甲盒中摸 出两个棋子 如果两个棋子同色 他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒 如果两个棋子不同色 他就把黑子放 回甲盒 那么他拿多少后 甲盒中只剩下一个棋子 这个棋子是什么颜色的 不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子 他总会把一个棋子放入甲盒 所以他每拿一次 甲盒子中的棋子数 就减少一个 所以他拿180 181 1 360次后 甲盒里只剩下一个棋子 如果他拿出的是两个黑子 那么甲盒中的黑子数就减少两个 否则甲盒子中的黑子数不变 也就是说 李平每 次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数 由于181是奇数 奇数减偶数等于奇数 所以 甲盒中剩下的黑子数应是奇 数 而不大于1的奇数只有1 所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子 奥赛专题 称球问题奥赛专题 称球问题 例1 有4堆外表上一样的球 每堆4个 已知其中三堆是正品 一堆是次品 正品球每个重10克 次品球每个重 11克 请你用天平只称一次 把是次品的那堆找出来 解 依次从第一 二 三 四堆球中 各取1 2 3 4个球 这10个球一起放到天平上去称 总重量比100克 多几克 第几堆就是次品球 例2 有27个外表上一样的球 其中只有一个是次品 重量比正品轻 请你用天平只称三次 不用砝码 把次 品球找出来 解 第一次 把27个球分为三堆 每堆9个 取其中两堆分别放在天平的两个盘上 若天平不平衡 可找到较 轻的一堆 若天平平衡 则剩下来称的一堆必定较轻 次品必在较轻的一堆中 第二次 把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆 每堆3个球 按上法称其中两堆 又可找出次品在其中较轻的 那一堆 第三次 从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次 若天平不平衡 则较轻的就是次品 若天平平衡 则剩下一个未称的就是次品 例3 把10个外表上一样的球 其中只有一个是次品 请你用天平只称三次 把次品找出来 解 把10个球分成3个 3个 3个 1个四组 将四组球及其重量分别用A B C D表示 把A B两组分别放在 天平的两个盘上去称 则 1 若A B 则A B中都是正品 再称B C 如B C 显然D中的那个球是次品 如B C 则次品在C中且次品比 正品轻 再在C中取出2个球来称 便可得出结论 如B C 仿照B C的情况也可得出结论 2 若A B 则C D中都是正品 再称B C 则有B C 或B C B C不可能 为什么 如B C 则次品在A 中且次品比正品重 再在A中取出2个球来称 便可得出结论 如B C 仿前也可得出结论 3 若A B 类似于A B的情况 可分析得出结论 奥赛专题 抽屉原理奥赛专题 抽屉原理 例1 一个小组共有13名同学 其中至少有2名同学同一个月过生日 为什么 分析 每年里共有12个月 任何一个人的生日 一定在其中的某一个月 如果把这12个月看成12个 抽屉 把13名同学的生日看成13只 苹果 把13只苹果放进12个抽屉里 一定有一个抽屉里至少放2个苹果 也就是 说 至少有2名同学在同一个月过生日 例 2 任意4个自然数 其中至少有两个数的差是3的倍数 这是为什么 分析与解 首先我们要弄清这样一条规律 如果两个自然数除以3的余数相同 那么这两个自然数的差是3的 倍数 而任何一个自然数被3除的余数 或者是0 或者是1 或者是2 根据这三种情况 可以把自然数分成3 类 这3种类型就是我们要制造的3个 抽屉 我们把4个数看作 苹果 根据抽屉原理 必定有一个抽屉里至 少有2个数 换句话说 4个自然数分成3类 至少有两个是同一类 既然是同一类 那么这两个数被3除的余数 就一定相同 所以 任意4个自然数 至少有2个自然数的差是3的倍数 例3 有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内 试问不论如何取 从箱中至少取出多少只就能保 证有3双袜子 袜子无左 右之分 分析与解 试想一下 从箱中取出6只 9只袜子 能配成3双袜子吗 回答是否定的 按5种颜色制作5个抽屉 根据抽屉原理1 只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只 这2只就可配成一双 拿 走这一双 尚剩4只 如果再补进2只又成6只 再根据抽屉原理1 又可配成一双拿走 如果再补进2只 又可取 得第3双 所以 至少要取6 2 2 10只袜子 就一定会配成3双 思考 1 能用抽屉原理2 直接得到结果吗 2 把题中的要求改为3双不同色袜子 至少应取出多少只 3 把题中的要求改为3双同色袜子 又如何 例4 一个布袋中有35个同样大小的木球 其中白 黄 红三种颜色球各有10个 另外还有3个蓝色球 2个绿 色球 试问一次至少取出多少个球 才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球 分析与解 从最 不利 的取出情况入手 最不利的情况是首先取出的5个球中 有3个是蓝色球 2个绿色球 接下来 把白 黄 红三色看作三个抽屉 由于这三种颜色球相等均超过4个 所以 根据抽屉原理2 只要取 出的球数多于 4 1 3 9个 即至少应取出10个球 就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉 同一颜色 里的球 故总共至少应取出10 5 15个球 才能符合要求 思考 把题中要求改为4个不同色 或者是两两同色 情形又如何 当我们遇到 判别具有某种事物的性质有没有 至少有几个 这样的问题时 想到它 抽屉原理 这是你的 一条 决胜 之路 奥赛专题 还原问题奥赛专题 还原问题 例1 某人去银行取款 第一次取了存款的一半多50元 第二次取了余下的一半多100元 这时他的存折上还 剩1250元 他原有存款多少元 分析 从上面那个 重新包装 的事例中 我们应受到启发 要想还原 就得反过来做 倒推 由 第二次 取余下的一半多100元 可知 余下的一半少100元 是1250元 从而 余下的一半 是 1250 100 1350 元 余下的钱 余下一半钱的2倍 是 1350 2 2700 元 用同样道理可算出 存款的一半 和 原有存款 综合算式是 1250 100 2 50 2 5500 元 还原问题的一般特点是 已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果 或把一定数量的物品增加或减少 的结果 要求最初 运算前或增减变化前 的数量 解还原问题 通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序 进行相应的逆运算 例2 有26块砖 兄弟2人争着去挑 弟弟抢在前面 刚摆好砖 哥哥赶来了 哥哥看弟弟挑得太多 就拿来 一半给自己 弟弟觉得自己能行 又从哥哥那里拿来一半 哥哥不让 弟弟只好给哥哥5块 这样哥哥比弟弟多 挑2块 问最初弟弟准备挑多少块 分析 我们得先算出最后哥哥 弟弟各挑多少块 只要解一个 和差问题 就知道 哥哥挑 26 2 2 14 块 弟弟挑 26 14 12 块 提示 解还原问题所作的相应的 逆运算 是指 加法用减法还原 减法用加法还原 乘法用除法还原 除法 用乘法还原 并且原来是加 减 几 还原时应为减 加 几 原来是乘 除 以几 还原时应为除 乘 以 几 对于一些比较复杂的还原问题 要学会列表 借助表格倒推 既能理清数量关系 又便于验算 奥赛专题 鸡兔同笼问题奥赛专题 鸡兔同笼问题 例1 鸡兔同笼 头共46 足共128 鸡兔各几只 分析 如果 46只都是兔 一共应有 4 46 184只脚 这和已知的128只脚相比多了184 128 56只脚 如果用 一只鸡来置换一只兔 就要减少4 2 2 只 脚 那么 46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了 呢 显然 56 2 28 只要用28只鸡去置换28只兔就行了 所以 鸡的只数就是28 兔的只数是46 28 18 解 鸡有多少只 4 6 128 4 2 184 128 2 56 2 28 只 免有多少只 46 28 18 只 答 鸡有28只 免有18只 例2 鸡与兔共有100只 鸡的脚比兔的脚多80只 问鸡与兔各多少只 分析 这个例题与前面例题是有区别的 没有给出它们脚数的总和 而是给出了它们脚数的差 这又如何解 答呢 假设100只全是鸡 那么脚的总数是2 100 200 只 这时兔的脚数为0 鸡脚比兔脚多200只 而实际 上鸡脚比兔脚多80只 因此 鸡脚与兔脚的差数比已知多了 200 80 120 只 这是因为把其中的兔换成了 鸡 每把一只兔换成鸡 鸡的脚数将增加2只 兔的脚数减少4只 那么 鸡脚与兔脚的差数增加 2 4 6 只 所以换成鸡的兔子有120 6 20 只 有鸡 100 20 80 只 解 2 100 80 2 4 20 只 100 20 80 只 答 鸡与兔分别有80只和20只 例3 红英小学三年级有3个班共135人 二班比一班多5人 三班比二班少7人 三个班各有多少人 分析1 我们设想 如果条件中三个班人数同样多 那么 要求每班有多少人就很容易了 由此得到启示 是否 可以通过假设三个班人数同样多来分析求解 结合下图可以想 假设二班 三班人数和一班人数相同 以一班为标准 则二班人数要比实际人数少5人 三班 人数要比实际人数多7 5 2 人 那么 请你算一算 假设二班 三班人数和一班人数同样多 三个班总人数 应该是多少 解法1 一班 135 5 7 5 3 132 3 44 人 二班 44 5 49 人 三班 49 7 42 人 答 三年级一班 二班 三班分别有44人 49人和 42人 分析2 假设一 三班人数和二班人数同样多 那么 一班人数比实际要多5人 而三班要比实际人数多7人 这时的总人数又该是多少 解法2 135 5 7 3 147 3 49 人 49 5 44 人 49 7 42 人 答 三年级一班 二班 三班分别有44人 49人和42人 例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船 共租了10条船 每条大船坐6人 每条小船坐4人 问大船 小船各租 几条 分析 我们分步来考虑 假设租的 10条船都是大船 那么船上应该坐 6 10 60 人 假设后的总人数比实际人数多了 60 41 1 18 人 多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人 一条小船当成大船多出2人 多出的18人是把18 2 9 条 小船当成大船 解 6 10 41 1 6 4 18 2 9 条 10 9 1 条 答 有9条小船 1条大船 例5 有蜘蛛 蜻蜓 蝉三种动物共18只 共有腿118条 翅膀20对 蜘蛛8条腿 蜻蜓6条腿 两对翅膀 蝉6条 腿 一对翅膀 求蜻蜓有多少只 分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题 观察数字特点 蜻蜓 蝉都是6条腿 只有蜘蛛8条腿 因此 可 先从腿数入手 求出蜘蛛的只数 我们假设三种动物都是6条腿 则总腿数为 6 18 108 条 所差 118 108 10 条 必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 所以 应有 118 108 8 6 5 只 蜘蛛 这样剩下的18 5 13 只 便是蜻蜓和蝉的只数 再从翅膀数入手 假设13只都是蝉 则总翅膀数1 13 13 对 比实际数少 20 13 7 对 这是由于蜻蜓有两对翅膀 而我们只按一对翅膀计算所差 这样蜻蜓只数可求7 2 1 7 只 解 假设蜘蛛也是6条腿 三种动物共有多少条腿 6 18 108 条 有蜘蛛多少只 118 108 8 6 5 只 蜻蜒 蝉共有多少只 18 5 13 只 假设蜻蜒也是一对翅膀 共有多少对翅膀 1 13 13 对 蜻蜒多少只 20 13 2 1 7 只 答 蜻蜒有7只 牛吃草问题牛吃草问题 1 一个牧场 草每天匀速生长 每头牛每天吃的草量相同 17头牛30天可以将草吃完 19头牛只需要24天就 可以将草吃完 现有一群牛 吃了6天后 卖掉4头牛 余下的牛再吃2天就将草吃完 问没有卖掉4头牛之前 这一群牛一共有多少头 17 30 510 头 19 24 456 头 510 456 30 24 9 头 30 17 30 9 240 头 6 2 9 72 头 240 72 2 4 320