2018-2019学年高中数学专题09函数与方程庖丁解题新人教A版.docx

专题09 函数与方程考点53函数的零点考点54零点个数的判定考点55二分法考点56一元二次方程根的分布考点57用二分法求近似解考点58分段函数的的应用考点59一次函数、二次函数的应用考点60函数模型的选择与应用考点53 函数的零点1函数的零点对于函数yf（x），把使f（x）0的实数x叫做函数yf（x）的零点2方程、函数、函数图象之间的关系方程f（x）0有实数根函数yf（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）0，这个c也就是方程f（x）0的根【例】求函数f（x）2xlg（x1）2的零点个数【解析】解法一：f（0）10210，由零点存在性定理，f（x）在（0,2）上存在实根又f（x）2xlg（x1）2在（0，）为增函数，故f（x）有且只有一个零点解法二：（数形结合）在同一坐标系中作出g（x）22x和h（x）lg（x1）的图象（如图所示），由图象可知有且只有一个交点，即函数f（x）有且只有一个零点1下列函数没有零点的是Af（x）0Bf（x）2Cf（x）x21Df（x）x【答案】B【解析】函数f（x）2，不能满足方程f（x）0，因此没有零点2若yf（x）在区间a，b上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是A若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b），使得f（c）0B若f（a）f（b）0，不存在实数c（a，b），使得f（c）0D若f（a）f（b）0，有可能存在实数c（a，b），使得f（c）0【答案】D【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B，可通过反例“f（x）x（x1）（x1）在区间2，2上满足f（2）f（2）0，但其存在两个零点：1，1”推翻【解题技巧】确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf（x）在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f（a）f（b）0若有，则函数yf（x）在区间（a，b）内必有零点（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断3下列图象表示的函数中没有零点的是【答案】A【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点4根据表格中的数据，可以断定函数f（x）exx2的一个零点所在的区间是x10123ex03712727392009x212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【答案】C【思路归纳】确定函数的零点（方程的根）是否在区间（a,b）时，通常利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号（1）先求f（a），f（b）；（2）判断f（a）f（b）的符号；（3）若f（a）f（b）0,则零点在区间内，否则，不在区间内。5函数f（x）=ax2+2ax+c（a0）的一个零点是3，则它的另一个零点是A1B1C2D2【答案】B【解析】设另一个零点是x，由根与系数的关系得3+x=2，所以x=1即另一个零点是1，故选B【易错易混】利用根与系数的关系，一定要注意符号的变化6已知是函数的一个零点若，则ABCD【答案】B1函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是A（0，1）B（1，2）C（2，e）D（3，4）【答案】C【解析】f（2）ln2ln210，f（2）f（e）0，f（2）3log2220，f（4）log240，所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4），故选C3已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表x1234567f（x）1361361555239210885248823206411238由表可知函数f（x）存在零点的区间有A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】f（2）f（3）0，f（3）f（4）0，f（4）f（5）0，f（6）f（7）0时可以画出ylnx与yx22x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x0时，函数f（x）2x1与x轴只有一个交点，所以函数f（x）有3个零点故选D【解题技巧】判定函数零点个数的方法：一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决一元二次方程通常用判别式来判断根的个数指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决利用函数的单调性判断函数零点的个数5函数g（x）=x2+a存在零点，则a的取值范围是Aa0Ba0Ca0Da0时，f（x）2x6lnx，因为f（x）20，所以函数f（x）2x6lnx在（0，）上单调递增，因为f（1）26ln140，所以函数f（x）2x6lnx在（0，）上有且只有一个零点综上所述，函数f（x）的零点个数为23已知函数f（x）其中m0若存在实数b，使得关于x的方程f（x）b有三个不同的根，则m的取值范围是_【答案】（3，）【解析】如图，当xm时，f（x）|x|当xm时，f（x）x22mx4m，在（m，）为增函数若存在实数b，使方程f（x）b有三个不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m34已知函数f（x）2xlg（x1）2，求：（1）函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）在定义域内为增函数；（3）求函数f（x）的零点所在的大致区间，并求出零点的个数【答案】（1）（1，）；（2）证明见解析；（3）（0,1），1（3）因为f（0）1，f（1）lg20，所以f（0）f（1）0所以函数f（x）的零点所在的区间为（0,1），又因为函数f（x）在定义域内为增函数，所以函数f（x）的零点只有一个上山下山John是一个登山爱好者星期一早晨7点他从山脚出发，沿着小路登上了山顶，到达山顶正好是晚上7点他于第二天早上七点沿原路返回，晚上七点到达山脚在山脚他遇到了好朋友Tom，Tom对他说：你昨天上山和今天下山时，一定有同一时刻处在同一地点John反驳道：“不可能，我中途还吃了零食，休息了片刻，和上山的速度根本不一样”Tom说：“你错了仔细想想，一定是存在这一时刻的”你想出来了吗？ 考点55 二分法二分法的概念:对于在区间a，b上连续不断且f（a）f（b）0的函数yf（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解【例】用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0001，则结束计算的条件是A|ab|01B|ab|0001D|ab|0001【答案】B【解析】据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算【思路归纳】这类题的步骤简记如下：（1）定区间，（2）找中点，（3）中值计算两边看；（4）同号去，异号算，零点落在异号间；（5）周而复始怎么办？精确度上来判断1下列关于函数f（x），xa，b的命题中，正确的是A若x0a，b且满足f（x0）0，则x0是f（x）的一个零点B若x0是f（x）在a，b上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C函数f（x）的零点是方程f（x）0的根，但f（x）0的根不一定是函数f（x）的零点D用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【答案】A【易错易混】函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区一分为二，逐步得到零点的近似值，否则不能用二分法求函数零点2用二分法求函数零点时，所求到的零点A一定是近似值B一定不是近似值C一定不是准确值D可以是准确值【答案】D【解析】由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值【易错易混】函数的零点可能是准确值，也可能是近似值只要满足，区间（a，b）内的任意任意一个实数都是近似解3已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A4，4B3，4C5，4D4，3【答案】D4用二分法研究函数yf（x）ex3x的零点时，第一次经计算f（1）0，可得其中一个零点x0_，第二次计算_以上横线应填的内容为A（1，2）f（15）B（1，3）f（15）C（1，2）f（125）D（1，3）f（125）【答案】A【解析】f（1）0，f（1）f（2）0，应取区间（1，2），区间（1，2）的中点为15，选A项5在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是2，4，则第三次所取的区间可能是A1，4B2，1C2，D，1【答案】D【解析】第一次所取的区间是2，4，第二次所取的区间可能为2，1，1，4，第三次所取的区间可能为，6一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处焊口脱落，若采用“二分法”的思想，至多需要检测的次数是多少？1下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是y3x22x5；y；y1；yx32x3；yx24x8ABCD【答案】B【解析】yx24x8中0，不满足f（a）f（b）02设f（x）3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x（1,2）内近似解的过程中得f（1）0，f（125）0，则方程的根落在区间A（1，125）B（125，15）C（15，2）D不能确定【答案】B【解析】由已知f（1）0，f（125）0，f（125）f（15）0，因此方程的根落在区间（125,15）内，故选B3用二分法求函数y=f（x）在区间2，4上零点的近似值，经验证有f（2）f（4）0取区间的中点x1=3，计算得f（2）f（x1）0，则此时零点x0_（填区间）【答案】（2，3）【解析】因为f（2）f（3）a在区间1,3上满足：恒有解，则a的取值范围为_；恒成立，则a的取值范围为_【答案】a15a3【解题技巧】求解有关二次函数零点的问题，从以下几个方面考虑：（1）考虑抛物线的开口方向；（2）对称轴的位置；（3）区间端点的符号；（4）与y轴交点的位置。列出满足条件的不等式组，求出参数的取值范围1函数f（x）x24xa没有零点，则实数a的取值范围是Aa4Ca4Da4【答案】B【解析】164a4故选B2已知函数f（x）=x2+x+c，若f（0）0，f（p）0Bf（p+1）0得c0函数f（x）=x2+x+c图象的对称轴是，1p0，0p+10，故选A3设函数，若，时，有，则实数a的取值范围是ABCD【易错易混】当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况题中根据单调性，可确定是其中一种情况4方程的两根为，且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，又且在上增函数，即【易错易混】解题时，把看做自变量，构造出“对勾”函数，是解题的关键5已知f（x）（xa）（xb）2，并且，是函数f（x）的两个零点，则实数a，b，的大小关系可能是AabBabCabDab【答案】C【解析】，是函数f（x）的两个零点，f（）f（）0又f（x）（xa）（xb）2，f（a）f（b）20），已知f（m）0Df（m1）0，f（x）的大致图象如图所示由f（m）0，得1m0，f（m1）f（0）02若函数f（x）x22xa有两个零点，则实数a的取值范围是Aa1Ca1Da1【答案】A【解析】函数f（x）x22xa有两个零点；则方程x22xa0有两个不相等实数根，即（2）24a0，解得a13抛物线yax2bxc的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是Aa0，b0，c0Ba0，c0Ca0，b0Da0，c0【答案】B4已知f（x）2（m1）x24mx2m1（1）m为何值时，函数有两个零点？（2）如果函数的两个零点在原点左、右两侧，求实数m的取值范围【答案】（1）m1且m1；（2）【解析】（1）由题意，知，解得m1且m1（2）根据二次函数的图象，函数的两个零点在原点左、右两侧，有两种情况（如图）：开口向上与开口向下因此或，解得1m，所以m的取值范围是阿基里斯的故事阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！最后结论：快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点结论显然不对，你觉得错在哪里？考点57 用二分法求近似解用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（1）确定区间a，b，验证f（a）f（b）0，给定精确度；（2）求区间（a，b）的中点c；（3）计算f（c）；若f（c）0，则c就是函数的零点；若f（a）f（c）0，则令bc（此时零点x0（a，c）；若f（c）f（b）0，则令ac（此时零点x0（c，b）（4）判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）（4）【例】方程2x1x5的解所在的区间是A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【答案】C【方法锦囊】（1）构造对应的函数，通过二分法去逼近其近似值（2）这一过程既体现了转化的数学思想，又体现了逼近的数学思想，值得我们好好把握1用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间（an，bn）内，当|anbn|时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过ABC2D【答案】A【解析】最大误差即为区间长度2用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（064）0，f（068）0，则函数的一个精确度为01的正实数零点的近似值为A064B074C07D06【答案】C【规律总结】用二分法求函数零点应注意的两个问题（1）求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同（2）求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的3若函数f（x）x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）2f（15）0625f（125）0984f（1375）0260f（14375）0162f（140625）0054那么方程x3x22x20的一个近似解（精确到01）为A12B13C14D15【答案】C【解析】依据题意，f（14375）0162，且f（140625）0054，方程的一个近似解为14，故选C4利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x020610141822263034y2x114915162026393482459560638010556yx200403610196324484676901156那么方程2xx2的一个根所在区间为A（06，10）B（14，18）C（18，22）D（26，30）【答案】C5若函数f（x）=x3x1在区间1，15内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x115125137513125f（x）108750296902246005151那么方程x3x1=0的一个近似根（精确度为01）为A13B13125C14375D125【答案】B【解析】由于f（1375）0，f（13125）0，且1375131250，f（2）3log2220，f（4）log240，所以函数f（x）的零点所在区间为（2，4），故选C3已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（0，01）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为001）的近似值，则应将区间（0，01）等分的次数至少为A3B4C5D6【答案】B【解析】由10，所以n的最小值为4，故选B4设函数与的图像的交点为，则所在的区间是ABCD【答案】B【解析】函数与的图像的交点的横坐标就是函数的零点，由函数零点存在定理，得函数的零点在，故答案为B7求方程2x33x30的一个近似解（精确度01）【解析】设f（x）2x33x3，f（0）30，函数在（0,1）内存在零点，即方程在（0,1）内有实数解，取（0,1）作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值（0,1）05f（05）0（05,075）0625f（0625）0（0625,075）06875f（06875）0（06875,075）由于|06875075|0062501，所以方程2x33x30的一个近似解可取为075二分法在实际生活中的应用常见的生活实例1有多个节点的输电线路的故障检测；2表演猜数字魔术；3疑似病毒感染体的快速排查；4几百杯的白水中，有一杯是咸的，如何快速找出哪杯咸水诸如此类的事件一般都可使用二分法来做现在以第三个为例简单说明操作过程：操作前皆取样本且编号一：混合所有样本血样，检验之，若无病毒特征，则所有被检者健康；二：若第一步检出有病毒特征，则说明至少有一位携带病毒；三：将样本均分为两组（均分与否其实皆可），各组分别取样混合，检验之；重复以上操作考点58 分段函数的的应用现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其整合到一起要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数问题也是分类讨论问题【例】直角梯形OABC中，ABOC，AB=1，OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形得到的位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为【答案】C【解析】由题意可知：当0t1时，f（t）=t2t=t2，当10，m是大于或等于m的最小整数（如33，374，526），则从甲地到乙地通话时间为55min的通话费为A371B397C424D477【答案】C5某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数若面试人数为60，则该公司拟录用人数为A15B40C25D130【答案】C【解析】y=60，若4x=60，则x=1510，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意若15x=60，则x=404）立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C（00，b1）；（2）对数函数模型：f（x）mlogaxn（m，n，a为常数，m0，a0，a1）；（3）幂函数模型：f（x）axnb（a，b，n为常数，a0，n1）【例】某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细菌由1个繁殖成4096个需经过A12小时B4小时C3小时D2小时【答案】C【解题技巧】求解所给函数模型解决实际问题的关注点（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数（3）利用该模型求解实际问题1据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的【答案】C【解析】销售收入不变，xyc（定值），y2某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车03元/辆，普通自行车02元/辆若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为Ay02x（0x4000）By05x（0x4000）Cy01x1200（0x4000）Dy01x1200（0x4000）【答案】C【解析】由题意得y03（4000x）02x01x1200【易错易混】解决实际问题时要注意自变量的取值范围32011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为02万，04万和076万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是Ay02xBy（x22x）CyDy02log16x【答案】C【解析】当x1时，否定B；当x2时，否定D；当x3时，否定A，故选C【解题技巧】当根据题意不易建立函数模型时，逐一验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案4今有一组实验数据如下表所示：t199304051612u1540475121801则能体现这些数据关系的函数模型是Aulog2tBu2t2CuDu2t2【答案】C【解析】可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它散点图如图所示由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t3时，2t22326，排除B，故选C5在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是xnm2345m6y097159198235261Aylog2xBy2xCy（x21）Dy261x【答案】A6九十年代，政府气候变