2018-2019学年高中数学专题03集合的基本运算庖丁解题新人教A版.docx

专题03 集合的基本运算考点6并集及运算考点7交集及运算考点8补集、全集及运算考点9交、并、补集的混合运算考点10venn图表达集合的关系及运算考点11集合中元素个数考点6并集及运算考点6 并集及运算并集（1）定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB（2）并集的符号语言表示为ABx|xA，或xB（3）性质：ABBA，AAA，AA，ABA，AAB【例】已知A=x|x1，B=x|x22x30，则AB=Ax|x1或x1Bx|1x3Dx|x1【答案】D【解析】A=x|x1，B=x|x22x30=x|1x1故选D【名师点睛】（1）“”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合注意对概念中 “所有”的理解：不能认为“”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A与B的公共元素只能作并集中的一个元素（2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到1满足条件2，4M2，4，6，8的集合M的个数是A8B6C4D2【答案】C【解析】2，4M2，4，6，8，M中必须含有6，8M可以是6，8，2，6，8，4，6，8，2，4，6，8共4个2集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为A0B1C2D4【答案】D【易错易混】并集定义中的“或”与生活用语中的“或”的意义不尽相同在并集的定义中，“xA，或xB”包括三种情况：xA但xB；xB但xA；xA且xB用Venn图（如下图阴影部分）分别表示为：xA，但xBxB，但xAxA，且xB3已知集合，则下列结论正确的是ABCD【答案】C【解析】由于，因此故答案为C【思路点拨】集合的含义是函数的值域，求出值域再判断正误即可4已知集合，则A1B1,2C1,2,3D【答案】C5已知集合Ax|3x4，Bx|x5，则ABAx|x4Bx|x5Cx|x4且x5Dx|x4或x5【答案】D【解析】将3x4与x5在数轴上表示出来：由图可得ABx|x4或x5【解题技巧】欲求AB，只需将A，B用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得AB6已知集合，则MN等于Ax|x1Bx|1x2Dx|x2或x0【答案】A【解析】因为,，所以MN7已知Ax|2xa1，Bx|xa或x2a，ABR，求实数a的取值范围【解析】本题给出了两个待定的集合，且已知ABR，结合数轴表示可求出参数a的取值范围如图所示，因为ABR，所以应满足解得所以a2故答案为：1设集合Mx|x2x,Nx|lgx0,则MNA0,1B(0,1C0,1)D(,1【答案】A【解析】由题意得M0,1,N(0,1,故MN0,1,故选A2已知集合Ax|1x2,Bx|0x2,Bx|x2,选项D符合4设集合Mx|2x5，Nx|2tx2t1，tR，若MNM，求实数t的取值范围【答案】t|t2【解析】由MNM，可得NM当N时，2t12t，解得t，满足题意当N时，由，解得t2综上可知，实数t的取值范围是t|t2人之“常情” 喜、怒、哀、乐的并集是人常见的四种表情 考点7 交集及运算交集（1）定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作AB；（2）交集的符号语言表示为ABx|xA，且xB；（3）性质：ABBA，AAA，A，ABA，ABAB，ABA，ABB【例】已知集合A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，则AB=A3B5C3，5D1，2，3，4，5，7【答案】C【解析】集合A=1，3，5，7，B=2，3，4，5，AB=3，5故选C【名师点睛】“”是指属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合注意对概念中“且”的理解：不能仅认为中的任意元素都是A和B的公共元素，它同时还表示集合A与B的公共元素都属于，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A和集合B没有公共元素时，1设集合，集合，则A3，2B2C2，2D2，1，2，32已知集合，则ABCD【答案】B【解析】根据两集合交集的定义求解，且，【方法技巧】求两个集合的交集，关键在于弄清两个集合由哪些元素构成，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化，若一个集合元素的特征由不等式给出，利用数轴就能使问题直观形象起来3若集合Ax|x|1，Bx|x0，则ABAx|1x1Bx|x0Cx|0x1Dx|1x0【答案】C【解题技巧】利用数轴寻找集合A与B的公共部分，即为AB4已知集合A（x，y）|y2x1，Bx|yx1，则ABA2B（2，3）CD3【答案】C【解析】由于A是点集，B是数集，AB【概念辨析】（1）概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素（3）定义中“且”与“”是等价的，即由既属于A又属于B的元素组成的集合为，而只属于集合A或只属于集合B的元素不属于5设集合，则下列结论正确的是ABCD【答案】C【解析】由题意，得,则6已知集合，则ABCD【答案】A【解析】先求集合B，再进行交集运算,，7设方程x2px120的解集为A，方程x2qxr0的解集为B，且AB，AB3,4，AB3，求p，q，r的值1设集合A1,3,5,7,Bx|2x5,则ABA1,3B3,5C5,7D1,7【答案】B【解析】由A1,3,5,7,Bx|2x5,得AB3,5故选B2已知集合A1,2,3,Bx|x29,则ABA2,1,0,1,2,3B2,1,0,1,2C1,2,3D1,2【答案】D【解析】由x29解得3x3,Bx|3x3,又因为A1,2,3,所以AB1,2故选D【易错易混】一元二次不等式x29的解容易求错，有些同学不理解，直接开方3已知集合Ax|2x4,Bx|x5,则ABAx|2x5Bx|x5Cx|2x3Dx|x5【答案】C【解析】由题意,得ABx|2x4x|x5x|2x34已知集合Ax|2x4,Bx|(x1)(x3)0,则ABA(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)【答案】C交汇 铁路轨道交汇处是两轨道的交集。 考点8 补集、全集及运算1全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U2补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作补集的符号语言表示为UAx|xU，且xA3补集与全集的性质：（1）UU；（2）UU；（3）U（UA）A；（4）A（UA）U；（5）A（UA）【例】已知全集U=R，集合A=x|3x3，则UA=A（3，3）B3，3C（，3）（3，+）D（，33，+）【解题必备】全集与补集的性质：一个集合与其补集的并集是全集，即；一个集合与其补集的交集是空集，即；一个集合的补集的补集是其本身，即；空集的补集是全集，即；全集的补集是空集，即若，则；反之，若，则；若，则；反之，若，则；德摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即；交集的补集等于补集的并集，即1如图是一个结构图，在框中应填入A空集B补集C子集D全集【答案】B2设全集，集合，则UA=ABCD【答案】B【解析】根据补集的定义计算,UA=【概念辨析】（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集，而在数论的研究中，我们往往将整数集当作全集（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想（3）从符号的角度来看，若xU，则xA和xUA二者必居其一3若全集且，则集合的真子集共有A个B个C个D个【答案】C【解析】，真子集有4已知全集U0，1，2，且UA2，则AA0B1CD0，1【答案】D【解析】UA2，2A，又U0，1，2，A0，1【解题技巧】根据补集的定义，在全集U中去掉集合UA中的元素，即可得到集合A5设全集U=R，集合P=x|2x3，则UP=Ax|x2或x3Bx|x3Cx|x2或x3Dx|x2或x3【答案】A【解析】在数轴上表示出集合P，如图，所以P=x|x2或x36若全集U=1，0，1，2，P=xZ|x22，则集合P关于全集U的补集是A2B0，2C1，2D1，0，2【答案】A【解析】全集U=1，0，1，2，P=xZ|x22=1，0，1，UP=2【易错易混】集合P是不等式x22的整数解集7设全集Ua22,2,1，Aa,1，求UA1已知全集U1,2,3,4,5,6,7,集合A1,3,5,6,则UA【答案】C【解析】由题意知UA2,4,7,选C2已知全集U1,2,3,4,5,集合A1,2,5,UB1,3,5,则ABA5B2C1,2,4,5D3,4,5【答案】B【解析】由UB1,3,5得B2,4,故AB23设全集U=xN|x2，集合A=xN|x25，则UA=AB2C5D2，5【答案】B【解析】全集U=xN|x2，集合A=xN|x25，UA=xN|x2且x25=2故选B4已知全集U3，a23a2,2，A3，|a1|，A2，求实数a的值【答案】a3全集与补集的对话感受全集与补集之间的包含关系考点9 交、并、补集的混合运算1进行集合的交、并、补运算时，数轴与Venn图都有直观功效，注意重视不等式中的等号在补集中能否取到2性质：，【例】设集合A=1，2，3，4，5，6，B=x|2x5，则A（RB）等于A2，3，4，5B1，2，5，6C3，4D1，6【答案】B【解析】RB=x|x2，或x5，A（RB）=1，2，5，6故选B【解题必备】解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出，再求交集；求时，先求出，再求补集1设，则ABCD2设全集U1，2，3，4，5，A1，3，5，B2，4，5，则（UA）（UB）等于AB4C1，5D2，5【答案】A【解析】故选A【解题技巧】利用，先转化，再求解更简单3如图所示，阴影部分表示的集合是AA（BC）B（UA）（BC）CCU（AB）DCU（AB）【答案】C【解题技巧】此题看不出来，可逐个答案求解，看看哪个符合题意4设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，集合U（AB）中的元素共有A3个B4个C5个D6个【答案】A【解析】UAB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9，U（AB）3，5，85已知全集，则图中阴影部分表示的集合是ABCD【答案】C【解析】解得N=x|3x0,M=x|x1，图中阴影部分表示的是N中不包括M集合的元素,即是UMN=x|1x06已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A（RB）R，则实数a的取值范围是Aa1Ba2【答案】C【解析】易求得RB=x|x1,或x2，如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边（含端点2）a2【解题技巧】先求出RB，然后借助于数轴求解即可7已知集合Ax|x2ax12b0和Bx|x2axb0，满足(UA)B2，A(UB)4，UR，求实数a、b的值1设集合U1,2,3,4,5,6,A1,3,5,B3,4,5,则U(AB)A2,6B3,6C1,3,4,5D1,2,4,6【答案】A【解析】AB1,3,4,5,U(AB)2,6故选A2已知全集U1,2,3,4,5,6,集合P1,3,5,Q1,2,4,则(UP)QA1B3,5C1,2,4,6D1,2,3,4,5【答案】C【解析】UP2,4,6,(UP)Q2,4,61,2,41,2,4,63已知全集为R,集合Ax|x0,Bx|x26x80,则A(RB)Ax|x0Bx|2x4Cx|0x4Dx|0x2或x4【答案】C【解析】A0,),B2,4,RB(,2)(4,)，A(RB)0,2)(4,)4已知集合Ax|2x7，Bx|2x10，Cx|5axa(1)求AB，(A)B；(2)若CB，求实数a的取值范围【答案】（1）x|2x10x|7x10（2）a|a3切蛋糕 体会全集与补集，全集与并集的关系考点10 venn图表达集合的关系及运算用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系【例】全集U=2，1，0，1，2，集合A=2，2，集合B=x|x21=0，则图中阴影部分所表示的集合为A1，0，1B1，0C1，1D0【答案】D1设全集U=Z，集合M=1，2与P=x|x|2，xZ关系的韦恩（venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为A1，0B2，1，0C0，1，2D0，1【答案】A【解析】P=x|x|2，xZ=1，0，1，阴影部分所示的集合为P（UM）=1，0故选A2已知全集U，集合M，N关系的韦恩（Venn）图如图所示，则CU（MN）=A1，8，9B1，2，8，9C3，4，5D1，2，6，7，8，9【答案】D【解题技巧】元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题3已知全集U=R，集合M=xZ|1x12和N=x|x=2k+1，kN*的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A2个B3个C4个D无穷多个【答案】B【解析】由题意M=xZ|1x12=0，1，2，3，N=x|x=2k+1，kN*=3，5，7，9，故（CUN）M=0，1，2故选B【解题技巧】注意集合N中是大于1的奇数，要注意到kN*4. 已知U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，B=3，4，5，6，则Venn图中阴影部分所表示的集合为A3B4，5，6，7，8C7，8D1，2，7，8【答案】C【解析】由题意，Venn图中阴影部分所表示的集合为CU（AB），U=x|x是小于9的正整数=1,2,3,4,5,6,7,8，因为AB=1,2,3,4,5,6，所以CU（AB）=7,8故选C5. 已知全集U=R，则正确表示集合M=0，1，2和N=x|x2+2x=0关系的韦恩（Venn）图是ABCD【答案】A6设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为：MP=x|xM，且xP，则M(MP)等于APBMPCMPDM【答案】BMPMP【解析】当MP时，由右图知，MP为图中的阴影部分，则M(MP)显然是MP当MP=时，MP=M，此时有M(MP)=MM=x|xM，且xM=MP综上，应选B【思路点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题，“MP”是学生们在课本中不曾学过的一种集合运算关系，根据它的元素的属性，可以用Venn图的方法把问题转化1已知全集UAB中有m个元素，(UA)(UB)中有n个元素若AB是非空集合，则AB的元素个数为AmnBmnCnmDmn【答案】B【解析】画出Venn图，如图UAB中有m个元素，(UA)(UB)U(AB)中有n个元素，AB中有mn个元素2设全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=1，2，4，B=1，3，5，则下列Venn图中阴影部分表示集合3，5的是ABCD【答案】B3/若全集U=R，A=0，1，2，3，B=2，3，4，5，则Venn图中阴影部分表示的集合为（红色部分为阴影部分）A0，1B2，3C4，5D0，1，4，5【答案】B【解析】由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素构成，所以用集合表示为B（UA）全集U=R，A=0，1，2，3，B=2，3，4，5，B（UA）=4，5故选C4已知集合A=x|x是面积大于5的正方形，B=x|x是面积大于9的矩形，C=x|x是面积大于10的正方形，D=x|x是面积大于7的矩形，试用维恩图表示这些集合的关系【答案】见解析故用维恩图表示这些集合的关系如下图所示：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，以及用以表示集合之间关系这种图称为韦恩图(也叫文氏图)考点11 集合中元素个数用card来表示有限集A中的元素个数，如：A=a,b,c则card（A）=31card(AB)=card（A）+card（B）card(AB)2card(ABC)=card（A）+card（B）+card（C）card(AB)card(AC)card(CB)+card(ABC)【例】已知集合A=1，3，4，7，B=x|x=2k+1，k属于A，则集合AB中元素的个数为_【答案】61设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，集合U（AB）中的元素共有A3个B4个C5个D6个【答案】A【解析】UAB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9，U（AB）3，5，82已知集合A=x|x=3n+1，nN，B=4，6，8，10，12，则集合AB中的元素个数为A1B2C3D4【答案】B【解析】A=x|x=3n+1，nN，B=4，6，8，10，12，AB=4，10，则集合AB中的元素个数为2故选B【易错易混】此类问题最主要是理解集合A的含义，判断B中的元素哪些属于A3已知集合A=1，2，3，4，则集合B=xy|xA，yA中元素的个数是A8B9C10D12【答案】B4已知集合,则中的元素个数为A0B1C2D3【答案】D【解析】联立方程得，消去得，两边平方解得，或，对应的值分别为，故中的元素个数为3个【解题技巧】单纯的集合的交集不难求，但是集合的题目大都与解不等式、函数结合着考理解集合的含义并将其化简是解决这类问题的关键5学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人两次运动会中，这个班参赛的人数为【答案】17【解析】设A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，那么，AB=两次运动会都参赛的学生，AB=参赛的学生card（AB）=card（A）+card（B）card（AB）=8+123=17【解题技巧】分析AB、A、B、AB中元素个数的关系，利用card(AB)=card（A）+card（B）card(AB)可求6已知集合A=1，2，3，4，BA且B，定义新集合C=（x，y）|xB，yAB，则集合C中的元素个数为【答案】3或4【解析】由BA且B得：B=1，2，3，4，1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，1，2，3，1，2，4，1，