关注特殊四边形中的最值.doc

资料收集于网络 如有侵权请联系网站 删除 谢谢 关注特殊四边形中的最值与特殊四边形有关的最小值（或最大值）问题，是特殊四边形计算问题的重要题型，它已成为中考中一道靓丽的风景线，现举几例供同学们参考.一、求两线段和的最值ADEPBC图1例1 如图1，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，则的最小值为_.解析：连接BP，由正方形的轴对称性知，PD=PB，由“两点之间，线段最短”知，当点P在线段BE上时，PB+PE最小，也即PD+PE最小，此时PD+PE=BE.因为ABE为等边三角形，所以BE=AB.又因为正方形ABCD的面积为12，所以AB=，PD+PE最小值为.说明：求两条线段和的最小值问题，通常是根据轴对称的性质，把两线段的和转化为某两点之间的连线，再运用“两点之间，线段最短”的性质求解.二、求周长的最值图2ABE图3DC例2如图2，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 解析：当两个矩形的一条对角线完全重合时，重叠部分的菱形的周长最大，如图3，这时只要求得菱形的边长即可.设BE=x，则AE=8-x,在RtABE中，由勾股定理，得22+（8-x）2= x2.解得x=.所以菱形周长的最大值为.说明：在解决与特殊四边形有关的计算问题时，经常要用到方程思想.三、利用最值解题图4例3 如图4，已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD的边AP上的高为_.解析：如图5，延长AB到A，使BA=AB，连接D A交BC于点P，作DEBC于E，DFAP于F.由轴对称的性质及“两点之间，线段最短”知，此时的点P，使得PA =PA，PA+PD取得最小值，其值为线段A A的长.ABCDPEFA图5因为梯形ABCD为直角梯形，所以四边形ABED为矩形，所以DE=AB= BA，BE=AD=2，EC=3.又PBA=PED=90，BPA=EPD，所以BPAEPD，所以PA=PD=PA，PE=PB=1.在RtCDE中，因为DC=5,EC=3,所以DE=4.在RtDEP中，因为DE=4,PE=1，所以AP=DP=.在APD中，由三角形面积公式，得APDF=ADDE，即DF=24.所以DF=.说明：本题以两线段和的最小值为载体，很好地考查了直角梯形的性质、轴对称的性质、全等三角形及勾股定理等诸多知识点，具有较强的综合性.解题的关键是确定使PA+PD取最小值的点P的位置.利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1（恩施自治州）如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） 图25201510CAB图1A.5 B.25 C.10+5 D.35分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图2所示的4种粗线情形，其中图中粗线的长度为的5，图中粗线的长度为的25，图中粗线的长度为的+510+5，图中粗线的长度为的5+20+1035，显然35510+525.故应选B.说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm.图2BABA6cm3cm1cm图1分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB10，即所用细线最短为10cm.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，即8n，由勾股定理，得，即所用细线最短为cm，或2cm.说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.例3（泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米时 (即米秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A.在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60方向上，点C在A的北偏东45方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据：1.7）（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.（2）由（1）可知BC的长度，进而利用速度公式求得并与比较即可.（3）为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶 了2x米，于是利用勾股定理可求出x的表达式进而求得.解（1）在RtAOB中，因为BAO60，所以ABO30，所以OAAB，而OA100，所以AB200，由勾股定理，得OB100.RtAOC中，CAO45，所以OCOA100，所以B(100，0)，C(100，0).（2）因为BCBO+CO100+100，所以18，所以这辆车超速了.（3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽车行驶 了2x米，且两车的距离为y，显然，当x60时，y有最小值是20米，即两车相距的最近距离为20米.说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x60)2的最小值是0.例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2PA+PB的值为最小；Gidentity n. 本身；本体；身份YXBAQPO图3AB（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.CBAPXA图2MBAPX图1C分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.解（1）如图1中，过B作BCAP，垂足为C，则由勾股定理，得PC40.在RtPBC中，由勾股定理，得BP40.所以S140+10（km）. 如图2中，过B作BCAA垂足为C，由轴对称知PAPA，则AC50，又BC40，所以由勾股定理，得BA10，所以S2BA10（km）.显然，S1S2.（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA，由轴对称知MAMA，所以MB+MAMB+MAAB，所以S2BA为最小.