2010 日本奥赛题目及解析.doc

【低年级1】如图1，白、红、蓝三种颜色的骰子形的立方体积木有很多。它们的棱长都是1cm，但白色的每个重1克，红色的每个重5克，蓝色的每个重10克。用27个这样的立方体作成图2那样棱长为3cm的大立方体。回答下面的问题。(问1)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的最轻的重量是多少克？(问2)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的第二重的重量是多少克？(请把答案写在答题纸上)【解析】看到的白色的有14个，红色的有3个，蓝色的有2个。这些共重14+35+210=49克。最轻的话，剩下的8个都是白的，共重49+8=57克。第二重的话，剩下的8个中有7个蓝的和1个红的，共重49+107+5=124克。【答案】57，124【低年级2】你想要把一张细长的长方形纸ABCD从正中间折叠，使得AB和CD重合，却如图1那样错开了6cm。现在再次尝试，这次如图2那样错开了4cm。回答下面的问题。(问1)图1和图2的横向长度之差是多少cm？(问2)折叠两次后，将长方形展开，有两条折痕。这两条折痕的距离是多少cm？(把答案写在答题纸上)【解析】(1)如果把错开的部分也对折，则长度应该相等。图1对折后长度减少3cm，图2对折后长度减少2cm，所以相差1cm。(2)第一次的折痕在正中间右边3cm，第二次的折痕在正中间左边2cm，所以相距5cm。【答案】1；5【低年级3】图1中的天平是用来测量物品的重量的。在右盘里放要称量的物品，左盘里放砝码，两侧相平衡的时候，左盘里的砝码的重量之和就是物品的重量。例如，图2中，左盘放了2个1g的砝码1个8g的砝码，左右两侧平衡，就知道了物品的重量为1g+1g+8g=10g。现在，1g，3g，8g，12g的砝码各有足够多个。在下面的问题，请回答在“”和“”中填入的整数是什么。(问1)左盘总共最多只能放2个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是g；(问2)左盘总共最多只能放3个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是g。(把答案写在答题纸上)【解析】(1)经尝试，1g，2g，3g，4g都可以，5g不能两个砝码组成。(2)奇数克里面，三个奇数克可以组成3克，5克，7克，9克；一个奇数克可以是1克或3克，而至多两个偶数克的砝码的重量和可以是8克，12克，16克，20克，24克，这些可以组成9克到27克所有的奇数克的重量。偶数克里面，如果不用奇数克的砝码，至多用三个偶数克的砝码，可以组成8克，12克，16克，20克，24克，28克，32克，36克的重量，这都是4的倍数；如果用两个奇数克的砝码，可以组成2克，4克，6克的重量。除此之外至多再用一个8克或12克的砝码，所以被4除余2的最多能称出6+12=18克，下一个22克称不出。【答案】5克；22克【低年级4】如图，有从A到G的7个房间，28个孩子进入这些房间。调查后知道了下面的事情：7个房间的孩子数目互不相同，也没有房间空着；和A相邻的3个房间共有12个孩子；和D相邻的4个房间共有11个孩子；和G相邻的2个房间共有6个孩子；房间G的孩子数比房间E多。(问1)孩子数目最多的房间是哪个，有多少个孩子？(问2)孩子数目最少的房间是哪个，有多少个孩子？(把答案写在答题纸上)【解析】因为1到7之和恰好为28，所以各个房间的孩子数恰好就是1到7的某个排列。根据题目列出：B+C+D=12A+B+C+F=11B+F=6GE因为四个数之和为11，所以A，B，C，F是1，2，3，5的某个排列。因为B+F=6，这里面和为6的只有1和5，所以B和F是1和5的某个排列，A和C是2和3的某个排列。D，E，G是4，6，7的某个排列，下面根据B和C来讨论D可能的取值。B=1，C=2D=9，不符合；B=1，C=3D=8，不符合；B=5，C=2D=5，不符合；B=5，C=3D=4，符合。剩下6和7，所以G=7，E=6。【答案】G最多，7个；F最少，1个。【低年级5】在若干条竖线之间各画一条横线，作成“脚手架”。竖线有3条的时候，可以作出如下面的图1、图2的“脚手架”。图1中，到达C，到达A，到达B；图2中，到达B，到达C，到达A。这样，竖线有3条的时候，三者分别到达AC的哪个，这样的组合有2种。(问1)竖线有4条的时候，四者分别到达AD的哪个，这样的组合有多少种？(问2)竖线有6条的时候，四者分别到达AF的哪个(原文误做AG)，这样的组合有多少种？【解析】首先，n条竖线有n-1条横线，每相邻的两条横线谁在上谁在下有2种，总共n-2对相邻横线，有2n-2种可能。下面说明这2n-2种互不相同。从左到右，第一条横线有在第二条横线上方和下方两种可能。下面称为第一类和第二类。可观察到，第一类中肯定不会到达B，而第二类中肯定到达B。所以，不同类的脚手架结果一定不相同。另一方面，在同一类中，去掉第一条竖线和第一条横线，成为了一个少一阶的脚手架。容易发现如果去掉它们之后的两个脚手架的结果不同，那么去掉它们之前的结果也不同。所以，递推即可发现结论成立，是依次乘以2的关系。【答案】4；16【低年级6】盒子中有写有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9的卡片各一张。平太从盒子中每次拿出1张卡片，拿9次，根据拿出的卡片上的数，在图中的方格中，从起点向前进相应步数。(拿出的卡片不再放回。)走完第1步后，面朝东。第2步比第1步走的步数多，走完第2步后，面朝东。走完第3步后，面朝北。走完第4步后，面朝南。走完第5步后，面朝东。走完第6步后，面朝东。第7步比第6步走的步数多，走完第7步后，面朝东。走完第8步后，面朝西。走完第9步后，到达了写有的终点。途中一次也没有停留在拐弯处的红格里。请回答下面的问题。(问1)数字9的卡片是第几次拿出的？(问2)第8次拿出的卡片的数字是几？(请把答案写在答题纸上)【解析】因为没有停留在拐弯处的红格里，所以红格将除起点终点以外的格子分成8段，格子数依次从8个格递减到1个格。下面把它们称为“8格路”到“1格路”。因为走完第5，6，7步之后都朝东，所以一直在4格路上。但是这只有4格，所以一定是第6步走了1格，第7步走了2格。走第4步之后直接从面朝北变成了面朝南，也就是说走过了整条6格路，直接跳过6格路和两个红格，所以中间至少跳过了8格，至少走了9格。最多是9，所以恰好走了9格。这样，第5步走了6格，第8步面朝西走到2格路上，只能走6格或7格，所以走了7格。【答案】4，7【中年级1】AD四个人现在的年龄之和是72岁。若干年前（至少一年前）A是22岁的时候，B是16岁。而且，当A是19岁的时候，C的年龄是D的3倍。另外，AD四个人的年龄全不相同。AD现在的年龄的组合共有多少种？无论是中的哪种组合，现在的年龄都相同的人是哪个人，多少岁？【解析】A是19岁的时候，B应该是13岁，设此时C为3x岁，D为x岁。则那时候四人的年龄和为(4x+32)岁，现在为72岁，所以经过了(72-4x-32)4=10-x年。因为是至少一年前A是22岁，所以现在A至少23岁，也就是说10-x至少为4。又因为四个人的年龄全不相同，所以x不会等于0，至少为1。也就是说，x可以取1到6共6个值。四个人现在的年龄：A为(29-x)岁，B为(23-x)岁，C为(2x+10)岁，D为10岁。也就是说年龄相同的这个人是D。【答案】6种；D恒为10岁。【中年级2】如图，有一个水槽，里面有两个可以不计厚度的挡板。两个挡板是和水槽的侧面平行的长方形的形状。在A和C两部分中，分别同时以每秒100cm3的速度同时注入水。测定B的部分的水的深度，开始注水50秒后是7cm，再过50秒后是29cm。求两个挡板各自的高度。另外，图画的不一定是准确的。【解析】三部分的底面积各为200cm2，而每秒向A和C各注入100cm3的水，也就是0.5cm高的水。第一个50秒后，A和C各注入了25cm高的水，因为B里面有水进入，所以右挡板高度小于25cm。第二个50秒后，A和C各注入了50cm高的水，因为B里面水的高度大于25cm，所以水已经超过右挡板，且还有一部分水是从左挡板流下的；但因为B里面水的高度小于100/3cm，所以水没有超过左挡板，也就是说左挡板高度大于29cm。所以，第一个50秒后，三部分水的深度依次为25cm，7cm，18cm；所以，第二个50秒后，三部分水的深度依次为42cm，29cm，29cm。【答案】两个挡板的高度分别为42cm和18cm。【中年级3】有个保险箱，它上面有数字盘。如下图，一开始指向数字0，如果让依次指向某4个数字，就可以打开保险箱。根据以下4人的话，依次求出第一位数字，第二位数字，第三位数字。矢泽：某个地方有数字6。最后一位数是0。另外，没有出现9。三田：转动数字盘的时候，有2次转动了4格，1次转动了3格，1次转动了1格。但我不记得分别是朝什么方向了。中山：第一次是顺时针，第三次是逆时针。八木：两次转动4格不是连续的。【解析】四次转动后回到0，说明1，3，4，4经过某种加减组合得到的结果是10的倍数，分别考虑0或10，只有一种可能，就是4+4+3-1=10。也就是说，只有转动1格那次是和其他三次方向不同的，第一次和第三次一定有一次是转动1格。如果第一次顺时针转动了1格，则转到了9，不符合；如果第三次逆时针转动了1格，则其他三次都是顺时针转动，而且前两次不能都是转4格，可以是“4格3格1格4格”或者“3格4格1格4格”，结果为6340或7340，因为有6，所以是前者。【答案】6，3，4。【中年级4】如下图，在四边形ABCD中，BC=13cm，从内部的点E向其顶点A，B，C，D分别做线段EA，EB，EC，ED。有AB=EC，EB=CD，ABE=ECD=45，AED=90。另外，四边形BCDE的面积为30cm2。求DE的长度。【解析】因为ABEECD，所以AE=ED，AED为等腰直角三角形。也就是说，绕AD中点将ABE逆时针旋转90就和ECD重合，如果继续旋转两次90并连接外围顶点，就形成了一个大正方形，由四个BCDE那样形状的四边形和一个小正方形组成。所以，小正方形的面积为132-430=49(cm2)，边长为7(cm)。【答案】7cm。【中年级5】有一个三位整数，各位数字都不为0。将这个整数的百位用A表示，十位用B，个位用C。现在，有个整数百位为10-A，十位为10-B，个位为10-C，它是原来整数的倍数。此时，求出原来的整数所有的可能性。【解析】两个整数之和为10(100+10+1)=1110，它也应该是原来整数的倍数。所以，现在需要求出1110的所有三位约数。1110是100的11倍多，是999的1倍多，所以是该三位约数的2倍到11倍。1110的约数中，2到11之间的有2，3，5，6，10，商分别为555，370，222，185，111。去掉含有0的。【答案】111，185，222，555。【中年级6】如图，有8个棱长为1cm的立方体。立方体像图里面那样3面是黑色，另3面是白色。现在，将颜色相同的面接合，组成一个棱长为2cm的立方体。此时，有多少种接合方式？翻转后重合的也分别算不同的一种。【解析】每个小立方体有8种朝向，相对的面颜色不同。将颜色相同的面接合后，得到的大立方体相对的面平行的位置上颜色将相同。反之，因为有8种朝向，所以只要是相对的面平行的位置颜色相同，这样的大立方体总能组合出来。所以，只需考虑这样的大立方体的数目，或者说只需考虑有一个公共顶点的三个面。12个格共有212=4096种。【答案】4096【中年级7】如图，30个方格中，填入满足以下条件的数字。6行中，每行填入1到6各一次；6列中，每列填入1到6各一次；2条对角线上也填入1到6各一次；另外，粗线围成的6部分填入的数字的乘积都相等。此时，回答下面的问题。求出粗线围成的部分的数字的积。求出两个方格内的数字。求出两个方格内的数字。求出两个方格内的数字。【解析】六行从上到下依次编号为A到F，六列从左到右依次编号为1到6。共有六个区域，每个区域6个格。1到6的乘积为720，所有数的乘积为7206，所以每个区域中数的乘积也等于720。四个数的乘积为720，其中必有一个5，其余三个数乘积为144，只能是一个4和两个6。因为行、列、对角线的限制，右下的4格区域的两个6只能是和E6，否则必冲突。同理，另一个4格区域中，两个6一个一定在C1，另一个在B2和B3之中。但E5和F6一定是4和5，所以B2不能是4或5，只能是6。剩余的两个6，一定在A、D两行，3、4两列。因为B2填了6，所以D4不能填6，只能是A4和D3填6。此时6已经齐了。所在的8格区域中，已经有了一个6，剩余120，必须有一个5，还必须有一个因子3，只能是一个3，剩下的5个数乘积为8，只能是1，1，1，2，4或1，1，2，2，2，也就是说一定有三个数相同。这三个数只能是C5，以及A1，A2，A3之一。另外对比此八格区域和A行，可得A6=B5C5。如果填1，则C5也填1，会导致A6=B5，矛盾。所以填2。C5也填2，这样B5只能填1，A6填4，F6填5，E5填4。观察B行可知，B6填3，C6填1，D6填2。观察A6所在的折角形区域，剩余两数乘积为5，而F6已填了5，所以D4填1，D5填5，填3。观察A行和主对角线，可得A1填2，填3。观察C行和次对角线，可得C4填5，C2填4。观察第1列和次对角线，可得F1填3，填2。观察D行和第1列，可得填4。【答案】720；6，2，2，3，4，3【高年级1】从1到9中去掉一个数字，还有8个数字。从这里面选出两个不同的数字排列起来得到的2位整数中，2的倍数有21个，4的倍数有12个，7的倍数有8个。此时，求最开始去掉的那个数字。【解析】如果去掉奇数，组成的二位偶数有47=28个；如果去掉偶数，组成的二位偶数有37=21个。可知去掉的是偶数。对于4的倍数，如果十位是奇数，个位是2或6；如果十位是偶数，个位是4或8。如果去掉2或6，组成的4的倍数有5+22=12个；如果去掉4或8，组成的4的倍数有52+2=12个。可知去掉的是4或8。7的倍数有14，21，28，35，42，49，56，63，84，91，98共11个，需要去掉3个，只能去掉8。【答案】8【高年级2】四边形ABCD和ECFD是平行四边形。E为AB上的点，使得AED=DEC。然后在EB上取点I。IF与EC，DC分别交于G和H。现在，CG:CH=8:5，EGI和DHF的面积的差为11cm2，求四边形EGFD的面积。【解析】因为AED=DEC，AED=EDC，所以CE=CD=DF。根据平行线分线段成比例，CG:CH=DF:DH=DC:DH=8:5，所以DH:HC=FH:HG=5:3，FH:GI=5:2。因此，SEGI:SDHF=4:25，SDHF=275/21，SDCF=SCDE=275/218/5=440/21，SCGH=440/213/8(3/88/5)=33/7，所求答案为275/21+440/21-33/7=88/3。【答案】88/3cm2。【高年级3】在三位数中，满足下面条件的整数称为“好数”。条件：将该三位数拆分成两个整数并相加后，总是原来整数的约数。（例）将330拆分成3和30或者33和0，和都是330的约数。所以330是“好数”。另外，702拆分成7和02的时候能够成为约数，但拆分成70和2的时候不能成为约数，所以702不是“好数”。求出4个：个位不是0的“好数”。【解析】设原来的好数为。注意到大于的十分之一，所以至多为的9倍。如果，则，即。依次检验162，243，324，405，486，567，648，729，可发现其中324，405，648为好数。如果，则。依次检验144，216，288，发现其中216为好数。至今已找到4个，但能否找到全部的呢？如果，则。依次检验105，126，147，168，189，发现其中没有好数。如果，则。只有108，是好数。显然不能继续下去了。【答案】108，216，324，405，648中任意四个。【高年级4】如下图，有两个旋钮，都有从0到5的刻度盘。现在，两个旋钮都在0的位置。同时掷大小两个骰子，按照下面的顺序旋转旋钮。顺序：1按照右旋钮指的数字，将左旋钮逆时针旋转相应的格数。2按照大骰子的点数，将左旋钮顺时针旋转相应的格数。3按照左旋钮指的数字，将右旋钮逆时针旋转相应的格数。4按照小骰子的点数，将右旋钮顺时针旋转相应的格数。例如，第一次掷骰子，大骰子出现4，小骰子出现3的时候：1左旋钮指向0，不动；2左旋钮顺时针旋转4格，指向4；3右旋钮逆时针旋转4格，指向2；4右旋钮顺时针旋转3格，指向5。将大小两个骰子掷3次，并旋转完毕后，使得两个旋钮都指向0，骰子出现的点数有多少种可能的排列？【解析】每个骰子看做0到5（旋转6格等于没旋转），掷3次共有66种可能。最后的结果有62种可能。猜答案是好猜的（64=1296），如何证明呢？如果能够证明无论前两次结果如何，第三次总有唯一一种骰子的点数组合使得两个旋钮都回到0，结论就得证了。设第二轮操作后，左右两个旋钮分别指向a和b，大小骰子出现的点数分别是c和d。因