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2007浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1求解 原积分= =2求解 由洛比塔法则，原极限=而 3求p的值，使解：当取满足即时 积分4设，且，求的表达式解：由条件单调增。且易知，若不然，不妨设 则当时 矛盾 同理可让5计算，其中S为圆柱面，（0z1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数 原积分=二、（满分20）设 求（1） （2）解： （1） （2）ACBDE三、（满分20分）有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合， 与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。解：圆柱面为 D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0） （1）C点坐标为（0，4，4） 过C，E两点的直线方程为 放转曲面方程（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为四、（满分20分）求函数在的最大值、最小值。解：在D的最大、最小值即为在 的最大、最小值 ，而，即最大值为1，而即最小值为五、（满分15分） 求解： k0，b0）解：原积分= =2. 设幂级数的系数满足，n=1，2，3，求此幂级数的和函数。解：则 即，且解方程 由3. 已知二阶可导，且，R（1）证明 ， R（2）若，证明R证明：（1）记 则 即 即4求由洛比塔法则原极限=5设 ，求解： 6 ，（）解：记原积分为I则 7.设函数满足方程，R，求的极值。 解：由条件， 有解方程得 含 得可能极值点 k整数 当时有极大值 时极小值 8.证明当时， 证明令，则，要证不等式为，即要证，而且0，得证9求 解：原极限=10设，求a，b的值。解：当（时）即而11.设 ，求解： n212.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？2米1米解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为：其中 或盖住
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