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数字电子技术基础 第一章数字逻辑基础第二章集成逻辑门第三章组合逻辑电路第四章集成触发器第五章时序逻辑电路第六章脉冲波形的产生与整形第七章存储器和可编程逻辑器件 1 1概述1 2逻辑代数中的三种基本运算1 3逻辑代数的基本公式和常用公式1 4逻辑代数中的三种基本定理1 5逻辑函数及其表示方法1 6逻辑函数的公式化简法 代数法 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 图解法 1 8具有无关项的逻辑函数及其化简 第一章数字逻辑基础 1 1概述 1 1 1数字量与模拟量电子电路的信号分为两类 既模拟信号和数字信号 模拟信号指的是在时间上和数值上都连续变化的信号 如模拟声音的音频信号和模拟图像的视频信号等 处理模拟信号的电路叫模拟电路 数字信号是指在时间上和数值上都是离散的信号 如工厂中计件的信号等 处理数字信号的电路叫数字电路 1 1 2数制与编码 十进制数 二进制数 八进制 十六进制 一 数制 1 十进制数 计数规则逢十进一 借一当十 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如 666 66可以写成666 66 6 102 6 101 6 100 6 10 1 6 10 2 位权值 10n 10n 1 100 10 1 10 2 2 二进制数 计数规则逢二进一 借一当二 0 1 位权值 2n 2n 1 20 2 1 2 2 例 试写出二进制数11011 011各位的权和按权展开式 并求出其等值的十进制数 11011 011 2 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 1 2 3 27 375 10 3 八进制数 计数规则逢八进一 借一当八 0 1 2 3 4 5 6 7 4 十六进制数 计数规则逢十六进一 借一当十六 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 位权值 16n 16n 1 160 16 1 16 2 例 一个十六进制数 2AF 16的等值十进制数是多少 2AF 16 2 162 A 161 F 160 2 162 10 161 15 160 687 10 二 不同数制间的相互转换 任一进制数转换为十进制数十进制转换为二进制数二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与八进制数之间的转换 1 任一进制数转换为十进制数 666 66 6 102 6 101 6 100 6 10 1 6 10 2 11011 011 2 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 1 2 3 2AF 16 2 162 10 161 15 160 三码制 用文字 符号 数字等给特定信息起名字的过程叫编码 2 格雷码也叫循环码 它的特点是相邻的两个编码之间只有一个编码的取值不同 1 四位二进制代码来表示0 9十个数的编码方法叫二 十进制编码 二 十进制编码也叫BCD码 常用BCD码 1 1 3算术运算与逻辑运算 当两个二进制数码表示数量大小时 它们之间可以进行数值运算 称这种运算为算术运算 二进制数的算术运算法则和十进制数的运算法则基本相同 只是相邻两位之间的关系是 逢二进一 及 借一当二 位二进制数码0和1 还可表示两种不同的状态 即数字电路中的逻辑状态 此时 二进制数码0和1之间将按照某种逻辑关系进行逻辑运算 1 2逻辑代数中的三种基本运算 1 2 1逻辑代数 1 逻辑变量逻辑代数中的变量就是逻辑变量 逻辑变量分为两类 即输入逻辑变量和输出逻辑变量 无论是输入逻辑变量还是输出逻辑变量它们的取值都只有两个即0和1 这里的0和1没有数的含义 它们表示两种完全对立的逻辑状态 2 逻辑函数一般地说 如果输入逻辑变量A B C 的取值确定以后 输出逻辑变量Y的取值也就被唯一地确定了 那么我们称Y是A B C 的逻辑函数 A B C 是Y的逻辑变量 记作 Y F A B C 1 2 1逻辑代数中的三种基本逻辑运算 数字电路中 基本逻辑关系有三种 即与 或 非 对应了三种基本逻辑运算 即与运算 或运算 非运算 1 与运算只有当决定一件事情的条件全部具备时 这件事情的结果才发生 这样的逻辑关系称为逻辑与关系 简称与关系 也叫逻辑乘法关系 简称乘法关系 与关系所对应的运算称为与运算 也叫乘法运算 1 三种基本逻辑运算 与运算 a 电路图 b 逻辑符号 与运算真值表 逻辑式 Y1 A B 2 或运算当决定一件事情的条件有一个或一个以上具备时 这件事情的结果就发生 这样的逻辑关系称为逻辑或关系 简称或关系 也叫逻辑加法关系 简称加法关系 或关系所对应的运算称为或运算 也叫加法运算 或运算真值表 或运算 a 电路图 b 逻辑符号 逻辑式 Y2 A B 3 非运算当决定一件事情的条件具备时 这件事情的结果不发生 而当条件不具备时 事情的结果反而发生 这样的逻辑关系称为逻辑非关系 简称非关系 也叫逻辑反关系 简称反关系 非关系对应的逻辑运算称为非运算 也叫反运算 非运算真值表 逻辑式 Y3 1 2 3复合逻辑运算 1 五种常用逻辑运算的逻辑表达式 2 五种常用逻辑运算的逻辑符号 其中第一行为国标符号 第二行为惯用符号 第三行为国外常用符号 2 五种常用逻辑运算的逻辑符号 a 与非符号 b 或非符号 c 与或非符号 d 异或符号 e 同或符号 异或逻辑 若两个输入变量的值相异 输出为1 否则为0 同或逻辑 若两个输入变量的值相同 输出为1 否则为0 同或与异或逻辑的关系 1 3逻辑代数的基本公式和常用公式 1 3 1基本公式 1 3 2常用公式 证明 证明 证明 证明 1 4 1代入定理1 4 2反演定理1 4 3对偶定理 1 4逻辑代数中的三种基本定理 1 4 1代入定理把一个逻辑等式两边所有出现某一变量的地方都用同一个逻辑函数来代替 则等式仍然成立 A A B A将A都用Y A B来代替 则 A B A B B A B 即等式仍然成立 1 4 2反演定理 1 定义 对于任意一个函数表达式Y 如果把Y中的所有的 与 换成 或 或 换成 与 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量那么得到一个新的逻辑函数表达式 称为Y的反函数 和Y之间是互为反的关系 这样的规则称为反演定理 2 作用 利用反演定理很容易求一个函数的反函数 3 需要注意的问题 注意运算的顺序 先括号 再与 再或 不是一个变量上的反号保持不变 1 对于任意一个函数表达式Y 如果把Y中的所有的 与 换成 或 或 换成 与 0 换成 1 1 换成 0 那么得到一个新的表达式 称为Y的对偶式 这样的定理称为对偶定理 2 在使用对偶定理时和反演定理一样也要注意运算顺序 3 如果两个表达式相等 那么它们的对偶式也是相等的 1 4 3对偶定理 反演定理 对偶定理 0 1 1 0 原变量 反变量反变量 原变量 0 1 1 0 练习 1 求反函数 2 求对偶式 求表达式 的反函数和对偶式 5分 补充 异或的公式和定理 运算规则 00 001 110 111 0 一般形式 A0 AA1 AAA 1AA 0 1 5逻辑函数及其表示方法 1 5 1逻辑函数 1 5 2逻辑函数的表示方法 1 5 3逻辑函数的两种标准形式 1 5 1逻辑函数 1 逻辑变量逻辑代数中的变量就是逻辑变量 逻辑变量分为两类 即输入逻辑变量和输出逻辑变量 无论是输入逻辑变量还是输出逻辑变量它们的取值都只有两个即0和1 这里的0和1没有数的含义 它们表示两种完全对立的逻辑状态 2 逻辑函数一般地说 如果输入逻辑变量A B C 的取值确定以后 输出逻辑变量Y的取值也就被唯一地确定了 那么我们称Y是A B C 的逻辑函数 A B C 是Y的逻辑变量 记作 Y F A B C 1 5 2逻辑函数的表示方法 1 逻辑函数有四种表示方法 真值表 表达式 逻辑图和卡诺图设二个开关控制1个电灯 两开关状态不同时可使电灯发光 以此例说明逻辑函数的四种表示方法 真值表 表达式 逻辑卡诺图在1 7节介绍 1 逻辑真值表 是由输出变量取值与对应的输入变量取值所构成的表格 列写方法是 a 找出输入 输出变量 并用相应的字母表示b 逻辑赋值 c 列真值表 例如三人表决电路 当输入变量A B C中有两个或两个以上取值为1时 输出为1 否则 输出为0 2 逻辑函数式是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与 或 非等逻辑运算符号连接起来的式子 又称函数式或逻辑式 例如 三人表决电路的逻辑函数式 3 逻辑图逻辑图 是将逻辑函数中输出变量与输入变量之间的逻辑关系用与 或 非等逻辑符号表示出来的图形 三人表决电路的逻辑图 2逻辑函数几种表示方法之间的转换 逻辑真值表和逻辑表达式之间的转换 逻辑图和表达式之间的转换 1 由逻辑真值表求逻辑表达式 2 由函数表达式列真值表 1 由逻辑图写表达式 2 由逻辑表达式画逻辑电路图 1 由逻辑真值表求逻辑表达式 逻辑真值表和逻辑表达式之间的转换 a 找出真值表中使函数值为1的输入变量取值 b 每个输入变量取值都对应一个乘积项 变量取值为1 用原变量表示 变量取值为0 用反变量表示 c 将这些乘积项相加即可 例 列出下列问题的真值表 并写出描述该问题的逻辑函数表达式 有A B C 个输入信号 当 个输入信号中有且仅有一个为高电平时 输出高电平 其余情况下 均输出低电平 积之和 表达式 2 由函数表达式列真值表 逻辑真值表和逻辑表达式之间的转换 a 在表格左侧将个不同输入变量取值依次按递增顺序列出b 将每组输入变量取值代入函数式 c 将得到的函数值对应地填在表格右侧即可 例 列出Y AB C的真值表 逻辑图和表达式之间的转换 1 由逻辑图写表达式方法 在逻辑图中由输入到输出逐级写出逻辑表达式 最后写出输出逻辑表达式 例 由逻辑图写F表达式 根据与非门的逻辑关系 写出各输出端表达式 解 例 由逻辑图写F表达式 逻辑图和表达式之间的转换 2 由逻辑表达式画逻辑电路图方法 把逻辑表达式中各个变量之间的逻辑运算用基本的和常用的逻辑符号表示出来 就得到了对应的逻辑电路图 例 由表达式画逻辑图 1 5 3逻辑函数的两种标准形式 最小项表达式 2 最大项表达式 最小项与最大项之间的关系 两种标准形之间的相互转换 最小项表达式 1 最小项 设m为包含n个因子的乘积项 且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次 称m为n变量的一个最小项 n变量共有个2n最小项 三变量的最小项编号表 最小项的编号规则 使最小项值为1的输入变量取值所对应的十进制数既为该最小项的编号 记作mi 最小项的性质 a 对应任意一组输入变量取值 有且只有一个最小项值为1 b 任意两个最小项之积为0 c 全体最小项之和为1 d 具有逻辑相邻性的两个最小项相加 可合并为一项 并消去一个不同因子 最小项表达式的书写形式 2 最小项表达式全部由最小项相加而构成的与 或表达式称为最小项表达式 又称为标准与 或式 或标准积之和式 3 逻辑函数展开成最小项表达式方法 先变换成与 或表达式 然后将各与项中所缺的变量逐步补齐 任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式 2 最大项表达式 1 最大项 设M为包含n个因子的和 且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次 称M为n变量的一个最大项 n变量共有2n个最大项 三变量的最大项编号表 最大项的编号规则 使最大项值为0的输入变量取值所对应的十进制数是最大项的编号 记作Mi 最大项的性质 a 对应任意一组输入变量取值 有且只有一个最大项值为0 b 任意两个最大项之和为1 c 全体最大项之积为0 d 具有逻辑相邻性的两个最大项相乘 可合并为一项 并消去一个不同因子 最大项表达式的书写形式 2 最大项表达式全部由最大项相与而构成的或 与表达式称为最大项表达式 又称为标准或 与式 或标准和之积式 4变量最小项和最大项 最小项与最大项之间的关系 可以看出 编号相同的最小项和最大项具有互补的特性 如 两种标准形式之间的相互转换 最小项表达式 最大项表达式 例 将函数式化成最大项积的形式 1 6逻辑函数的公式化简法 1 化简的意义Y A ABY A A B 表示的就是同一个逻辑函数 2 目标 化简为最简的与 或表达式 乘积项的个数最少 每个乘积项中包含的变量数最少 3 化简的主要方法 公式法 代数法 图解法 卡诺图法 1 6 2逻辑函数的公式化简法 常用公式化简法 并项法 吸收法 消因子法 消项法 配项法 补充 由最简与或式转换成其它式的方法 1 对最简与或式两次求反 上面的反号不动 下面的反号用摩根定律 就可以得到最简与非 与非式 2 先将与或式化成最小项和的形式 然后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的与或非形式 3 对最简与或非式两次用摩根定律 可以得到最简或与式 4 对最简或与式两次求反 上面的反号不动 下面的反号用摩根定律 可以得到最简或非 或非式 1 对最简与或式两次求反 上面的反号不动 下面的反号用摩根定律 就可以得到最简与非 与非式 例 试将函数式转换成与非 与非式 2 先将与或式化成最小项和的形式 然后直接写成除了这些最小项编号以外的那些编号的最小项的与或非形式 例 试将函数式转换成与或非式 对最简与或非式两次用摩根定律 可以得到最简或与式 对最简或与式两次求反 上面的反号不动 下面的反号用摩根定律 可以得到最简或非 或非式 1 7逻辑函数的卡诺图化简法 图解法 1 7 1卡诺图 2 10 01 3 11 0 00 CD 00 AB 1 6 5 7 9 11 15 10 14 c 4 01 8 10 11 12 13 例 例 1 7 2逻辑函数的卡诺图化简 利用卡诺图合并最小项的规律 一合并最小项的规则2个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 2个相邻最小项的合并 2个相邻最小项的合并 2个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 个相邻最小项的合并 步骤 1 画出逻辑函数卡诺图 2 合并几何相邻的最小项 3 将合并最小项得到的所有乘积项加起来就得到了逻辑函数的最简与或式 二卡诺图化简逻辑函数 注意 1 合并最小项时 圈的个数要画的最少 2 合并最小项时 圈要画的最大 3 一个最小项可以多次被合并 但是每个合并圈里必须至少有一个属于自己的没被其它圈合并过的最小项 否则这个圈是多余的 4 必须把组成函数的全部最小项圈完 5 检查 主要项 在卡诺图中 把2i个相邻 格进行合并 如果合并圈不能再扩大 这样圈得的合并乘积项称为主要项 显然 主要项的圈不被更大的圈所覆盖 主要项 红色标出 必要项 如果主要项圈中至少有一个 特定 的 格没有被其他主要项所覆盖 这个主要项称为必要项 多余项 如果一个主要项所包含的 格都被其他的主要项圈所覆盖 这个主要项就是多余项 冗余项 必要项 红色标出多余项 深绿色标出 按卡诺图合并最小项