新课标下学生数学认知结构的探讨.doc

新课标下学生数学认知结构的探讨 内容提要：良好的数学认知结构的特征（1） 逻辑结构与学生的心理作用的产物（2） 已有的数学知识、经验在头脑中的组织形式（3） 个性特征（4） 层次性（5） 再构性（6） 有序性、广阔性、建构性、策略性构建良好的数学认知结构：（1） 激发学生的学习动机（2） 掌握概念、公式、定理（3） 培养数学能力（4） 掌握数学方法数学认知结构的优化：（1） 帮助学生搭建起新的知识结构（2） 帮助学生对新的数学认知结构加以巩固（3） 在知识学习中强调有意义学习（4） 要循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良性发展（5） 利用迁移理论发展认知结构（6） 注意整体性教学学习的基础是学习者内部心理结构的改组，而不是刺激-反应联结的行为习惯的改变。刺激-反应论者是通过动物实验研究来推断人类复杂的学习过程陷入了以偏盖全的拟人论，认知心理学者则克服了行为主义者的这一缺陷，将学习研究的重点转移到人类学习的研究，尤其重视解决教育实践中的问题。因此，探索学生的认知结构非常必要。一、认知结构的概念认知：所谓“认知”，是指由感知到的信息在头脑中被转化、简化、储存、恢复、应用的全过程。比如学习不等式，了解了不等式的定义、性质、同解、解法及怎样加以应用，就是掌握了、认知了不等式。认知结构：是指学习者头脑里的知识结构，他们已有的全部观念内容和组织。 认知结构，简单来说说是学生头脑中的知识结构。广义上，认知结构是学生已有的观念的全部内容及其组织；狭义地说，它是学生在某一学科的特殊知识领域内的观念的全部内容及其组织。奥苏贝尔提出了三个主要的影响有意义学习和迁移的认知结构变量：观念的可利用性、观念的可辨别性和观念的稳定性与清晰性。个人的认知结构是在学习过程中通过同化作用，在心理上不断扩大并改进所积累的知识而组成的，学习者的认知结构一旦建立，又成为他学习新知识的极重要的能量或因素。 xyOxyO观察由图象法（图1-5）给出的五个不同函数，这些函数性质上的共同特征是yxO 图1 图2 图3xyOxyO 图4 图5数学的认识结构：我国数学教育界，具有代表性的看法有下面两种：(1)数学认知结构，即学生头脑中的知识结构，它由两个元素组成，一是最基本的知识，二是其它知识与最基本的知识的联系。(2)数学认知结构，是学生头脑里数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成一个具有内部规律的整体结构。数学认知结构=数学知识结构+主体人的主观能动性。 实现由知识结构向认知结构的转化。认知结构需要由学生主动的认知结构内化而来，即使是完善的认知结构，也只有通过学生自己的主动认知，才能转化为他们头脑里的认知结构。数学认知的核心是思维，只有把学生的思维启动起来，作为客体的知识才能转化为他们自身的知识。二、良好的数学认知结构的特征数学教学的重要任务就是造就学生良好的数学认知结构，以满足其后继学习的需要，最终促进学生的全面发展。那么，良好的数学认知结构具备什么特征?（1）数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物一方面，数学认知结构的形成过程，是学生对数学知识的逻辑结构进行加工的心理活动过程，受到学生的观察、注意、感知、理解、记忆、思维等心理因素的影响，学生心理素质的水平决定着所形成的数学认知结构的质量；另一方面，形成数学认知结构的过程，也是创造心理价值、改善心理素质的过程，对于提高学生的心理品质有着重要的作用因此，数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用和协调发展的结果（2）数学认知结构是学生已有的数学知识和数学经验在头脑中的组织形式它既可以是学生头脑里的所有数学知识、经验的组织，也可以是特殊数学知识内容的组织前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响着他在数学学科中的一般学习后者所指的是某一数学知识、经验(如方程)的组织特征这就是说，数学认知结构既是专门的概念，如“有理数认知结构”、“方程认知结构”，又是一个普遍性概念它体现了数学知识与数学认知的统一（3）数学认知结构具有个性特征数学认知结构受多种心理因素的影响，每个学的认知方式和认知水平表现出很大的差异，因而他的认知结构往往表现出自身的个性特征例如，有学生习惯于知识经验的纵向组织，有的则偏重于横的编排；有的学生善于知识经验的概括和整理，有则习惯于知识的堆积，所以学生认知结构的状况往因人而异，从而导致了他们在学习上的差异（4）数学认知结构具有层次性数学认知结构有不同的水平和层次，既有小生直观水平上的认知结构，也有高度抽象化、形式基础上的认知结构，即数学认知结构是一个有层的阶梯最高层次是由所有数学知识、经验有机地合而成的认知结构数学知识、经验按性质的类似区分为不同种类，不同的内容逐渐分化成不同层的数学认知结构因此，数学认知结构可以在各种平的抽象上来表征数学知识如学习三角形，学生首先获得的是“由三条线段围成的封闭图形”、“三角形有三条边、三个角”的笼统认识。随着学习过程的不断深入。学生会逐步发现：就角来讲，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；从边来看，三角形有等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。这一过程的完成，标志着学生对三角形有了比较精确的认识。第三方面是学生的数学认知结构是逐步扩充和完善的。 （5）数学认知结构具有再构性数学认知结构在数学认知活动中，乃至一般认知活动中发挥着主动的作用形成了一定的数学认知结构后，一旦出现新的数学信息，人们总是立用相应的数学认知结构对所面临的信息进行科学加工处理，从而表现出数学认知结构的能动性，这活动如图l所示同化和顺应是学生原有数学认知结构和新的习内容相互作用的两种基本形式所谓同化，就是利用自己已有的数学认知结构，对新学习的内容进行加工和改造，并将其纳入到原有的数学认知结构中去，从而扩大原有的数学认知结构所谓顺应，就是当原有的数学认知结构不能接纳新的学习内容时，必须对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应新的学习内容的需要认知发展理论认为学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着同化和顺应不断再构过程是在新水平上对原有认知结构进行延伸、改组而成的新系统。学生只有积极地、自觉地进行认知活动激活大脑中原有认知结构使具有逻辑意义的新知识与认知结构中有关旧知识发生相互作用(同化或顺应)才能实现在内化中再建构。如：数系的发展自然数集-正有理数集-有理数集-实数集-复数集已知：如图，在ABC中，AB=c, BC=a, CA=b,且 ，求证：ABC是直角三角形证法1：在ABC的边AB上取一点D，并使BCD=A，在BCD和BAC，由B=B，BCD=BAC知 BCDBAC，故 即，在边AB上取一点D ，并使ACD=B,同理可证： 于是:所以AB=AD+BD ,又AB=AD+BD ,故AD=AD,从而点D与D重合，BCD=A，ACD=B ,在ABC中, B +A+BCD+ACD=1802（BCD+ACD）=180 , 故2ACB=180即ACB=90因此，ABC是直角三角形证法2：过C作CDAB于D点，设BD=m, AD=n ，CD=h，在RtBDC中， ，在RtADC中， c=m+n ， , ,又BDC=CDA=90 故 BDCCDA , BDC=A, ACD=BB +A+BCD+ACD=2(BCD+ACD）=2ACB=180,即ACB=90 因此，ABC是直角三角形。证法3：过C作CDAB于D点，设BD=m ，CD=h， 则在RtADC中 ， 在RtBDC中 ， + ： 代入中： ，C=90 ，ABC是直角三角形证法4: 在ABC的边AB及其延长线上分别取点D、E，并使BE=BD=BC=a，连接CD 、CE, 显然ECD=90 ,且AD=c-a ，AE=c+a， 从而 即 ， 又 A =A,ACEADC , 故ACD=BCE=E ，ACB=BCD+ACD=E+DCB=90故ABC是直角三角形。证法5：假设C90，则C为锐角或钝角1） 当C为锐角时，如图，作ADBC于点D，设AD=h，CD=m （m0） ，则BD=a-m，在RtADB中， ，在RtADC中， 又 故， a 0m=0与m0矛盾，故C不可能为锐角。2） 当C为钝角时，作ADBC交BC的延长线于D点，设AD=h，CD=n （n0），则BD=a+n，同理得：n=0与n0矛盾，故C不可能为钝角故由1）、2）可知，假设不成立，即ABC是直角三角形。证法6：取AB中点D，连接CD，则cosADC=- cosCDB 设CD=h，由余弦定理即 CD=AD=BD ADC、BDC是等腰三角形ACD=A ，DCB=BB +A+BCD+ACD=2(BCD+ACD）=2C=180C=90 ，ABC是直角三角形。证法6：过C作CDAB于D点，设BD=m ，CD=h， 则在RtADC中 ， 在RtBDC中 ， + ： 代入中： ，C=90 ，ABC是直角三角形 (6)从教学要求出发学生良好的数学认知结构还应该包括：1有序性，指学生的知识具有内在条理性而不是知识杂乱无章的堆砌；2广阔性，指学生数学知识的量和质应达到一定规模和程度。知识量要点多、线长、面广，知识的质应是高级别的知识组块，“内化”程度高、理解程度深；3建构性，指学生的数学认知结构具有良好的“生长点”，学生能按照自己的“思维构造”和客观要求去建构新的知识；4策略性，指学生的数学认知结构中含有比较多的有关知识策略方面的能力，这些能力有利于学生在数学学习和解决数学问题时，减少盲目性尝试，保持学习的高效率等。最重要的是，良好的数学认知结构能使学生在学习过程中产生概括性更强的、层面更高的、新的数学认知结构。这是判断学生是否具有良好的数学认知结构的最重要的标准，也是学生后继学习的重要基础，因而也是数学教学最重要的任务。三、构建良好的数学认知结构数学教学的根本任务就是造就学生良好的数学认知结构，那么，在教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构呢？1激发学生的学习动机是建立良好认知结构的前提。认知结构离不开学习数学的情感、兴趣、意志等非智力因素。激发学习者的动机、兴趣和追求的意向，加强教育者与学习者的情感交流，是促进认知发展的内部动因。为此我们在教学中应做到：重视设疑、引疑，使学生处于迫切需求的学习状态；重视学习情感的激发，学生对数学学习的情感往往取决于对教育者的情感，所以数学教学中要把学生的学作为教师教的出发点与归宿。2掌握概念、公式、定理是建立良好认知结构的基础。根据学习认知理论，概念学习是新概念与学习者原有认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程，这就是奥苏伯尔的同化理论。原有认知结构中的概念成分在对新知识的学习中的同化作用表现在下列三种学习模式：(1)下位学习模式。学生学习的新概念、新定理、新公式处于较低层次，可以直接与原有认知结构中处于较高层次的有关知识建立联系，从而形成新的知识结构。(2)上位学习模式。学生学习的新概念、新定理、新公式处于较高层次，这就需要学生在原有认知结构基础上做出抽象概括，从而将新知识纳入原有认知结构中。(3)组合学习模式。所学的新知识与原有认知结构中的知识没有直接联系，但可以通过类比、联想等方式，建立新知识与原有认知结构的联系，从而形成新的认知结构。由此可以看出，数学概念、公式、定理确实是良好认知结构的基础。分析新材料与已有数学认知结构中相关观念间的关系是非常重要的。因为关系不同，其同化模式也不同，而教师必须根据不同的同化模式采取不同的教学策略。按照奥苏伯尔的观点，这两者的关系主要有以下三种。（1）下位关系。当新学习的知识从属于学生数学认知结构中已有的、包含较广的知识时，构成下位关系。下位关系又可以分为派生下位关系和相关下位关系。派生下位关系是指新的知识仅仅是学生已有、包含较广的知识的一个例证，或是能从已有命题中直接派生出来。相应于派生下位关系，出现派生下位学习。例如，当学生学习了“不在同一直线上的三个点确定一个平面”这一公理以后，接着学习“两个相交直线确定一个平面”“一条直线和直线外的一个点确定一个平面”“两条平行直线确定一个平面”三条推论，就属于派生下位学习。这些推论可以直接从公理和学生已有的知识中派生而来，因此，学习起来就会比较容易。在派生下位学习中，要学习的新规则整合到原有认知结构的有关内容中去，新规则对原有知识只起支持或证实的作用，新规则通过新旧内容的相互作用而获得意义，原有认知结构不发生质的变化。如学生学习圆柱体的体积计算方法，由于他们在前面学习长方体的体积计算方法中已经知道了长方体的体积等于底面积乘高，并且掌握了其计算公式Vsh，所以学习时就可以将它作为前面已有计算方法的一种特例，通过派生下位学习的形式加以掌握。相关下位学习是指将要学习的新规则整合到原有认知结构中的有关内容中去，新旧内容整合的结果不但使新规则获得意义，并且原有认知结构被扩充或修改，使原有认知结构发生变化。如梯形面积计算公式虽然不能直接由平行四边形面积计算公式派生出来，但是它可以通过割补、拼合转化成平行四边形，从而得出其面积计算公式S（ab）h2。很明显梯形面积计算方法就可以通过相关下位学习的形式去掌握（2）上位关系。当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、包容范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，新旧知识之间便构成了一种上位关系。而通过对原有认知结构中有关内容的归纳和综合，概括成新的数学规则的学习形式叫做上位学习。例如，根据长方体的体积计算公式Vabh、正方体的体积计算公式Va3、圆柱的体积计算公式Vr2h等概括出计算公式VSh的学习过程，就属于上位学习。上位学习所采用的思维方法主要是概括与综合，由于它主要通过归纳和综合原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构，因此上位学习必须具备两个基本条件：一是所学习的数学规则在概括层次上一定要高于原有认知结构中的已有知识；二是原有认知结构中一定要有可供归纳和概括的内容，即头脑里必须具有比新的数学规则层次低的相关内容。如要概括加法交换律abba时，学生头脑里必须有3553，25757525，500400400500可供概括的内容。从学习的认知方式来看，下位学习依靠的是同化，上位学习依靠的是顺应，它要通过改造原有认知结构才能获得新规则的意义，因此一般来讲，上位学习比下位学习困难。（3）并列结合关系。如果新旧知识之间既不产生下位关系，又不产生上位关系，但新知识是由已有认知结构中某些观念的合理组合而构成的，那么新旧知识之间会产生并列组合关系。这时的学习称为并列结合学习。其一般模式如图103所示。其中，A表示新知识，B、C、D表示学生认知结构中已有的知识。例如，数学中数与形之间的关系，一般数学思想方法与具体问题的解决，就常常表现为并列结合关系。通过并列结合学习，学生能够从貌似无关的两个事物中发现它们某些共同的关键特征，从而获得对知识的一种全新理解，有时甚至能开辟一个新的研究领域。因此，并列结合学习需要学生有较强的创造力。4阅读材料：把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即例如：、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；（2）将配方(至少两种形式)；（3）已知，求的值已知a,b,c是非零实数，a+b+c=0,求的值看完题目，如果基础好的同学，对绝对值了解很清楚的，很快就能求解出来。然后基础不是很好的，就会觉得很复杂，甚至不知道从哪下手，已知条件太少了。现在我们来分析一下该题：要求的式子中都是包含绝对值，在解含绝对值问题时，我们首先想的应该就是去掉绝对值，因此需要我们讨论绝对值中数与0之间的大小关系。在学绝对值时，我们知道，对于任意实数a,|a|0, 所以现在我们要做的工作是找出a,b,c,abc 与0的大小关系。已知给出的a+b+c=0,则a,b,c中必有一个大于0，一个小于0.（若都大于0，则a+b+c0；若都小于0，则a+b+c0），不妨设a0,c0,则abc0,则，故=1+1+(-1)+(-1)=0b0,则，故=1+(-1)+(-1)+1=03数学能力是建立良好认知结构的核心。学习的深入离不开学生的能力发展，这一点已经是数学教育工作者所认同的。那么良好的认知结构包含哪些基本能力呢?就中学数学教学而言，至少包含如下几种能力：(1)自学能力；(2)逻辑思维能力；(3)运算能力；(4)空间想象能力；(5)分析问题和解决问题的能力。我们要在传授知识的过程中重视对学生能力的培养，因为归根结底，学生要靠自己的能力去解决问题，也只有靠自己的能力才能获得更多的新知识。所以，培养数学能力是数学教学的根本，也是形成良好认知结构的核心成分。4数学方法是建立良好认知结构的灵魂。由于数学是一门科学，数学知识的掌握、数学的证法、数学的发现都有其自身的规律，所以，良好的数学认知结构还要求学生掌握一些基本的数学方法。虽然在中学数学教学中也有可能系统地讲授理论方法，但鉴于学生年龄及认知特点，以螺旋上升的形式逐步渗透分析法、综合法等一些基本数学方法，更有利于学生新知识的掌握和分析问题、解决问题能力的提高。所以，掌握一些基本的数学方法对完善数学认知结构是十分有益的。例如：求函数值域的方法：（1）直接法 （2）判别式法 （3）换元法 （4）单调性法 （5）求导法例、如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P为AB上任意一点，Q为OC上任意一点，已知：AC=2，BC=1。（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置。（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试卷16题）首先看第一题，第一题要求折线OPQB的长的最小值。咋一看不知从何下手，因为P,Q位置都不定。可是我们仔细回想我们过去做关于最小或最大的问题的思想。我们最熟悉的问题：例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。我们的做法是过直线做A 的对称点，然后连接AB，AB与直线的交点P即是供水站的位置。我们再回到本题，我们就可以分析如下：分析：（1）作B点关于AC的对称点B/，作点O关于AB的对称点O/，连结AB/，QB/，AO/，PO/，B/O/，则QB=QB/。OP=O/P。折线OPQB的长=OP+PQ+QB= O/P +PQ+ QB/ 所以折线OPQB的长的最小值为B/O/ 计算得最小值为2。（2）设B/O/交AC于点Q/，在直角三角形AO/B/中，AO/=1，B/O/=2，所以AB/O/=300，则AO/B/=600。在AO/Q/中，Q/AO/=Q/AB+BAO/=600，所以AQ/O/是等边三角形。所以AQ/=AO/=1=AO，所以点Q/就是AC 的中点。所以折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点。 四、优化认知结构1、帮助学生搭建起新的知识结构。新的学习需求产生之后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就会产生相交和相融的交互作用。在此阶段，教师在讲授新知识时，应当让学生明白自己将要学到什么、达到什么样的目标、将要具备什么能力。教师在讲授新知识的过程中，要充分体现数学思维的过程，引导学生积极地参与知识发生和发展过程，突出数学思想方法的教学，实施由整体到部分，再由部分到整体帮助学生在头脑中搭建起扎实的知识结构，为学生产生新的数学认知结构奠定良好的基础。新旧知识相互作用阶段的关键是，教师要充分掌握学生原有数学认知结构是否能与新的知识相衔接，要采取有效措施，促进两者之间顺利融合、吸纳和重组，从而使学生在后继学习中，能够独立顺利地接受新知识，加工新知识，并充实自己的知识结构，实现“教是为了不教”的教学目标。一个待学的新知识，往往和许多过去学过的旧知识有着密切的联系。我们要精心选取那些易于揭示新知识的形成和发展过程、便于充分调动学生积极性、全面地参与教学全过程的相关知识作为新旧知识的结合点。就一个具体的新知识的学习而言，良好的数学认知结构有以下三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可变性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的根据认知学习的理论可知，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程依据学生数学认知结构的变化情况，可以将数学学习的一般过程划分为三个阶段，如图2所示：从图2可以看出数学学习的过程包括3个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作运用阶段如果把数学学习内容分为3个层次：数学知识、数学活动的经验和创造性数学活动的经验，那么新的数学认知结构就是在完成这3个层次的学习内容的基础上形成的数学学习的这一过程向我们展示了两条学生成长的途径：从新的学习情境到预期的学习目标，一是学生的数学认知结构由“旧”到“新”，学生的数学认知结构不仅是“量”的变化，我们更注重的是“质”的飞跃；一是学生以数学知识的学习为载体，形成了数学能力，而这正是我们进行数学教育所追求的目标之一这就是说学生在数学学习的过程中，随着新的数学认知结构的形成，学生的数学能力同时也得到了提高例如：在设计一元二次不等式的解集的教学过程时，我选择了学生非常熟悉的二次函数作为新旧知识的联结点。先让学生在二次函数的基础上分析一元二次方程的内涵,从而来得出一元二次不等式的解法。通过新旧知识点的结合，使之形成一个优化的知识块，便于学生清晰地理解他们三者间的本质联系，有利于良好的数学认知结构的塑造。2、帮助学生对新的数学认知结构加以巩固。新的数学认知结构刚诞生之初，极不牢固，知识链容易断裂，知识体系紧凑性不足，需要教师精心设计层次性数学练习，反复强化，使学生巩固和完善新的认知结构。在课堂教学中，教师设计练习时应明确每次练习的目的，引导学生积极主动地进行练习；注意解题方法的优化，达到举一反三的效果；练习形式力求多样化；不断加大练习的密度；切实地做到循序渐进。在课堂教学结束之际，要指导学生进行反思并且归纳整理认知结构。另外，在整个教学过程中要充分激发非智力因素的动力和支撑作用，使非智力因素与智力因素交互促进，最大限度调整巩固学生新的认知结构。数学学习过程的三个阶段是紧密联系的，任何一个阶段出现纰漏，都会影响学生学习的质和量。要经常检查学生在数学学习中形成的良好数学认知结构的巩固情况，有针对性地引导学生强化这个新的良好的数学认知结构。并以此促进学生整体知识水平和智力素质、能力素质全面发展并不断达到更高水平。3、在知识学习中强调有意义学习就数学认知结构的组成因素来看，主要由数学概念、定理、公式、法则、定义等以及它们之间的联系方式，数学思想方法，数学观念以及作为数学认知活动动力系统的非认知因素数学思想方法融合于数学概念、定理、公式、法则、定义之中，是它们的精神和灵魂。同时，数学思想方法又是形成数学观念的前提由于数学知识具有内在的逻辑性、系统性，并隐涵着丰富的思想方法，这从客观上决定了数学学习主要是有意义学习从认知结构的观点来看，有意义学习的实质，就是符号所代表的新观念(概念、公式、定理等)与学习者认知结构中已有的适当观念之间建立起的实质性的、非人为的联系新的数学认知结构的形成就依赖于这种新观念和学习者已有的适当观念之间的关系是否“融洽”经过有效的同化或者顺应，二者之间一旦建立起实质性(并非外因强加)的联系，则新的观念就被原有的数学认知结构内化成一种内在的知识结构，从而形成一种比较完善的数学认知结构可见，加强有意义学习是确保数学认知结构不断发展的个重要途径4、要循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良性发展。数学是一门系统性很强的学科，前后内容紧密联系，一环紧扣一环。当中间缺了一环，或者对某一环学习得不扎实、模糊不清，就会直接影响认知结构的建立以及良好发展。如果不及时解决，那么认知结构中出现的都是一些孤立的“点”，不仅容易遗忘，而且会失去应用的价值，结果导致学习的失败。因此，在学习每一个定理、公式时，应该清楚地知道这些定理和公式是怎样一步步地导出结论的，运用了哪些已知的概念、公理、定理或者公式，使用的又是什么样的方法等等，并非仅仅记住结论与条件。命题的学习过程是一个积极的思维活动过程。在这思维活动中，不仅在于理解证明的过程，更主要的是从中学习到解题途径以及数学的思想和方法。这对认知结构的发展，更具有重要意义。学习者还必须对所获得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识基本模块，并对这些知识基本模块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。找到问题解决的有效途径，也就是我们所说的有了解题的思路5、利用迁移理论发展认知结构。迁移是一种心理现象，是已有的知识，智力，技能，学习方法等对学习新知识，新技能的影响。起干扰作用的叫作负迁移，比如乘法分配率对学习对数产生的负影响，如有错误结论起积极作用的叫做正迁移。在数学学习中，要及时对原有的旧知识进行同化或者调整。例如，在数的概念的扩展过程中，学生在他自己的已有的数学认知结构中没有适当的知识能用来加工所学习的新的数，需要通过实例来引进。这样就促