第九章习题解答.doc

习题9.1（A）1. (1)；(2)曲线上所有点.2. (1)；(2).3. (1)解:. (2)解:. (3)解:. (4)解:.4. 解:, , 则在点处连续.(B)1. (1)；(2)直线或上所有点.2. (1)；(2).3. (1)解: . (2)解：， .4. 证:当沿曲线趋于时,有 , 显然它是随着的值不同而改变的,故所给极限不存在.习题9.2(A)1. (1)；(2).2.(1)解:. (2)解:. (3)解:. (4)解:.3. 解:； ； .4. 证:.(B)1.解:, , , .2.解:, .3.解:设,则,代入即得, 于是.习题9.3(A)1. (1)；(2).2. (1)解:. (2)解: . (3)解: . (4)解:.3.解:, .(B)1. 解: . 由全微分与偏导数的关系可知,其中的系数就是,即, 再对求偏导数,得 .2.解:当时, , . 当时, , . 所以 ,. 因为当点沿直线趋于时, 显然它是随着的值不同而改变的,所以极限不存在； 同理可得极限不存在,故在点处不连续. 又, , 上述极限不存在,故在点处不可微.习题9.4（A）1. (1)；(2),.2. 解:令,则.3.解:令,则. 记, , , .(B)1.(1)；(2).2.解:由一阶全微分形式不变性,得 . 于是 ,故 ， ， 所以 . 3. 证:(1)因为, , 所以 . (2)因为() , () , 所以 .习题9.5(A)1.(1)；(2).2.解:设,则. , , .3. 解:, , 解得.4. 证:设,则 . , .(B)1. (1)；(2).2. 解:. (*) 由两边对求导,得 ,. 由又两边对求导,得 ,. 将其代入(*)式,得 .3. 解:在两边微分,得 , 故 . 由,得 .习题9.6(A)1. (1)；(2).2. 解:曲线在对应于的点为,该点处的切向量 , 于是曲线在该点处的切线方程为 ,即 . 所求法平面方程为 ,即 .3. 解:,曲面在点处的一个法向量为, 于是曲面在该点处的切平面方程为 , 即 . 所求法线方程为 .(B)1. 解:,设所求点对应的参数为,则曲线在该点处的一个切向量为 .已知平面的法向量为,由切线与平面平行,得,即 ,解得和,于是所求点为或.2. 解:设,则曲面在点处的一个法向量为 . 已知平面的一个法向量为,由已知平面与所求平面平行,得 ,即. 代入椭球面方程,得 . 解得 ,则. 所以切点为. 所求切平面方程为 , 即 .3. 解:所求曲线的切线,也就是曲面在点处的切平面与平面 的交线,利用曲面的切平面方程得所求切线为 即 这切线的方向向量为,于是所求法平面方程为 ,即.习题9.7(A)1. (1)；(2).2. 解:先求切线斜率:在两边分别对求导,得, 于是,切线方向. 又, 故.3.解:(1), 则. (2), 则.(B)1. 解:, 则.2. 解:设,则,于是球面在点 处的外法线方向向量可取为, 的方向余弦为, 又 ,故 .3.解:令,则 ， ， 则 .习题9.8(A)1. (1)；(2)小.2. 解:两边同时对求导,得 ,. 两边同时对求导,得 ,. 令,得驻点. , 在点处,为极小值； 在点处,为 极大值；3. 解:设椭球面方程为,是它的内接长方体在第一卦限内的一个 顶点,则此长方体的长,宽,高分别为,体积为. 作拉格朗日函数 , 令 ,代入 , 得, 即当长方体的长,宽,高分别为时体积最大. 4. 解:令,解得唯一驻点,. 要求在所给区域边界上的极值，即求在条件之下的极 值. 令, ,代入, 得, , 所以在所给区域上的最大值为,最小值为.(B) 1. (1)小；(2).2. 解:(1)先求. 由； 由. (2)求在内驻点及相应函数值. 令解得唯一驻点,且. (3)求在的边界上的最大值和最小值. 将 代入, 得,令,得. 在上的最大值为,最小值为. (4)比较函数值. 在上的最大值为,最小值为.第9章 自测题一、1.；2.；3.；4.二、1.解:, ,解得 . 2.解:, .3.解:(1)令解得驻点,所以是的极小值.(2)作拉格朗日函数,令 ,代入,得,故为条件极值.(3)是开口向上的抛物面,其顶点此处坐标最小.与的交线是平面上的抛物线,其最低点处值是条件极值. 4.解:设切点坐标为，则切平面方程为，即 .切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为.要使最小，即最大，问题转化为求当时的最大值，用拉格朗日乘数法。令, 解得