眼科病床合理安排模型的研究与设计__韦智芳.doc

眼科病床合理安排模型的研究与设计韦智芳作者简介：韦智芳（1988），女，广西人，北京林业大学计算机科学与技术系 万劼万劼 （1987），男，江苏人，北京林业大学数学系 （北京林业大学 北京 100083）【摘要】本文研究的是一个典型的运筹学问题。从分析“造成拥堵”的原因着手，得出“缩短术前实际准备时间是关键”的结论，提出“将术前准备效率指数(即，实际准备时间与必要准备时间的比值)最大化”的思想，建立出“效率指数模型”。在模型拓展时，以 “CPU进程调度算法”知识为出发点，先后拓展出“最短逗留优先模型”、“多级反馈队列模型”以及“高响应比优先模型”，并对其进行对比评价。对于 “建立病床比例分配模型”的要求，将其简化为一个以“需要等待入住概率最小化”为目标的、非线性整数规划模型，并通过使用matlab编程软件进行求解。【关键字】术前准备效率指数；优先级；CPU进程调度算法Model and Design of reasonable bed Arrangements for Ophthalmics Abstract: This study is of a typical problem in operations research.From the analysis of cause of congestion, the paper comes with conclusion of “key is to shorten the actual preparation time before surgery, with the thought of maximize the preoperative preparation efficiency index (i.e., ratio of the actual preparation time and the necessary preparation time), with the establishment of an efficiency index model. In model expansion, by starting from acquired “CPU process scheduling algorithm”, the paper mentioned clearly and commented briefly the three methods listed as minimum stay first model, multi-level feedback queue model and high response than the first model. Given the demand of “model of beds assignment proportion”, it will be simplified to a new non-linear integer planning model aimed at minimizing the rate of needed waiting time for be hospitalized and be worked out with the help of Matlab.Key words: Preoperative Preparation Efficiency Index;Priority;CPU Scheduling Algorithm一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、问题分析这是一道运筹学与概率统计相结合的规划模型问题。分析思路在于：首先应分析原模型先来先服务的弊端，由此引出模型评价标准，并在这一标准下确定建模的目标。然后应考虑如何在革除原有模型的弊端上，建立一个更加适应于建模目标的新模型，并与原模型进行对比，在新建的标准下评价新模型。最后应将模型付诸应用，检验其在实际问题中的运行效果。三、模型假设1）“白内障手术病人的术前准备时间只需1、2天”，假设白内障手术术前准备时间为2天；2）“白内障手术做两只眼的病人大约占到60%”，假设做双眼白内障手术患者占60%；3）“视网膜、青光眼疾病大致住院以后2-3天内就可以接受手术”，假设视网膜疾病、青光眼术前准备时间为3天；4）“视网膜、青光眼疾病由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症”，假设视网膜、青光眼疾病无急症；5）“外伤疾病通常属于急症”，假设外伤均属于急症；6）“视网膜、青光眼疾病一般不安排在周一、周三”，假设周一、周三只安排急症和白内障手术；7）每天每类病人就诊数都服从泊松分布，且各自两两相互独立。四、符号说明白内障单眼：A1型白内障双眼：A2型视网膜疾病：B型青光眼： C型外伤（急症）：D型五、模型建立5.1数据处理5.1.1数据分布直观图利用matlab软件编程模拟数据分布，制作出白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼以及外伤的术后观察时间分布图：下表为病例分布情况：数人数种病天白内障单眼白内障双眼视网膜疾病青光眼外伤1192519251921413121216312712445553531361171059710115.1.2数据初步分析1）单眼白内障病人每天人数在0-5之间浮动，其中来1或2人的天数占绝大多数；术后观察天数 在2-4之间浮动，其中2-3天的情形占绝大多数；2）双眼白内障病人每天人数在0-7之间浮动，其中来1-3人的天数占绝大多数；术后观察天数 在1-7之间浮动，大致呈均匀分布；3）视网膜病人每天人数在0-6之间浮动，其中来1-5人的天数占绝大多数；术后观察天数 在5-15之间浮动，其中8-11天的情形占绝大多数；4）青光眼病人每天人数在0-4之间浮动，其中来1-2人的天数占绝大多数；术后观察天数 在4-12之间浮动，其中7-9天的情形占绝大多数；5）外伤病人每天人数在0-4之间浮动，其中来0-2人的天数占绝大多数；术后观察天数 在3-10之间浮动，其中4-7天的情形占绝大多数；5.1.3数据统计病例总计病患类型平均入院等待时间术前准备必要时间实际平均手术等待时间平均术后观察时间平均住院时间最多占用床位时间100白内障(单眼)12.666722.33332.90285.23619=术前最久6+术后3133白内障(双眼)12.512223.59762.96348.561013=术前最久8+手术2+术后3233白内障(all)12.584423.00652.93517.006511.4=40%*单眼9+60%*双眼13170视网膜疾病12.544632.376210.168312.544614=术前最多等4+术后1063青光眼12.256432.41038.0769210.487212=术前最多等4+术后864外伤1116.036367.03647=术前准备1+术后均值6（时间单位：天）5.2 FCFS（First come, First serve）先来先服务模型优劣分析（问题一）5.2.1 问题一重述问题一：当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。5.2.2 FCFS模型分析5.2.2.1综述该FCFS模型思想，是按照确诊时间的先后次序来安排入院时间，直至出院才空出床位资源，有利于住院时间较长的患者，不利于住院时间较短的。原题使用的FCFS模型，类似于进程调度常用算法FCFS。在进程调度中，进程按进入就绪队列的先后次序来分配资源，属于非剥夺调度方式，直到该进程完成其工作时才释放资源。 说明：Ready表示已入院接受眼科治疗，Pi表示新确诊的第i号病例，Finish表示康复出院。5.2.2.2FCFS模型优点 该模型原理简单，易于实现； 各类病例平等分配医院资源；5.2.2.3 FCFS模型缺点 由于各类病例的实际情况不一，从而导致相对不公平现象的产生。 该模型有利于占用医院资源时间长的病例，不利于短的。 该模型使得病人术前准备时间往往长于必要时间。比如白内障患者周二进入医院，虽然在周四时术前准备就已充分，但必须到下周一才能做手术，这样他就多住了“不必要”的3天。而造成拥堵的最主要原因，就是术前住院时间过长。5.2.3 建立评价指标体系，评价FCFS模型5.2.3.1 指标体系所需参数分析术前准备实际用时：要缓解拥堵，就是要缩短住院时间。住院时间主要由术前准备时间和术后观察时间组成，其中术后观察时间视病人情况而定，不可调。多余的天数在术前，要缩短住院时间，就要缩短术前不必要的准备时间。标准总用时 / 实际总用时：由数学知识可知，比值比差值更为精准，更能反映误差的精确度，例如相对误差与绝对误差的比较。考虑以下两种情形：1.标准术前准备时间10天，实际术前准备时间15天；2.标准术前准备时间100天，实际术前准备时间105天。虽然两种情形实际时间都比标准时间多5天，但情形1超出50%，而情形2只超出5%。所以我们认为情形2较情形1更为理想。通过以上对比，我们发现用术前标准准备时间与术前实际准备时间的比值更能反映模型优劣程度。故将这一比值的概念映入，并将其命名为术前准备效率指数，该指数越大，则模型越理想，反之则越不理想。因此建立一个比值参数 标准总用时/实际总用时 。显然，这一参数是一个正实数，并且由于实际术前准备时间有可能小于标准用时（白内障的12天取成标准的2天；青光眼、视网膜疾病的23天取成标准的3天），所以，这个参数还可能大于1。5.2.3.2 指标体系所需参数建立术前准备标准用时：白内障2天、青光眼、视网膜3天；术前准备实际用时：第一次手术时间 - 入院时间；术前准备效率指数 = 标准总用时 / 实际总用时。5.2.3.3 利用指标体系评价FCFS模型以2008-7-25入院至2008-8-1入院该时间段（7天）为例，数据统计如下表：先进先出FCFS模型白内障（单眼）11白内障（双眼）19青光眼8视网膜疾病21处理的病例总数59术前准备(手术-入院)平均时间3术前准备标准总用时(白内障2天、青光眼视网膜3天)（11+19）2+（8+21）3=147术前准备实际总用时593=177术前准备效率指数(标准/实际) 0.8305 可计算出FCFS模型该时间段的术前准备效率指数为0.8305，效率低下。即术前准备实际用时远远超出标准用时，浪费医院病床资源，长此以往，将导致等待入住队列拥挤直至堵塞。 5.3 模型一“效率指数模型”的建立 （问题二）5.3.1问题二重述问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并利用问题一中的指标体系对模型作出评价。5.3.2 “效率指数模型”（未考虑急症情况）的总体原则总体原则：使术前病床效率指数最大化。5.3.3 “效率指数模型”的初步建立假定：由于青光眼和视网膜疾病需要的术前住院时间相同，所以两者优先级恒等。为了提高术前准备效率指数（即标准总用时 / 实际总用时 ），则需缩短实际术前用时（第一次手术时间-入院时间）。根据约束条件：术前准备标准用时：白内障（单A1、双A2）2天、视网膜疾病B、青光眼C 3天；周一、周三只安排急症和白内障手术；可计算出，各类病人（第一次手术时间-入院时间）的最小值：白内障（单A1）白内障（双A2）视网膜疾病B、青光眼C周一273周二663周三553周四443周五333周六223周日384于是可得初步模型（最小值优先）：优先级等级排列周一A1 B = C A2周二B = C A1 = A2 周三B = C A1 = A2周四B = C A1 = A2周五A1 = A2 = B = C周六A1 = A2 B = C周日A1 B = C A2在上述模型中，有些地方是不合理的，比如周六应当让双眼白内障患者优于单眼白内障患者先入院。因为双眼白内障患者只能周一手术，错过的话要再等一周，而单眼白内障患者周三还能手术，只需再等2天。可见在不违反总体原则的前提下，酌情考虑手术机会的问题会使模型更加合理，所以附加如下具体原则。5.3.4 “效率指数模型”的具体原则1）能使实际的术前准备时间 标准的术前准备时间（即白内障2天；青光眼、视网膜3天）的该类病人，优先级最高；2）若有至少两种病人满足条件1，则手术机会少者优先；3）若无病人满足条件1，则在超出标准时间相同的情况下，手术机会少者优先。4）若周一手术，双眼白内障优先于单眼。5.3.5 “效率指数模型”的建立与分析周一：A1 C =B A2（单眼白内障2天后手术，青光眼、视网膜疾病3天后手术，均符合原则1，但若单眼白内障周三不手术，则需再等5天，而若使青光眼、视网膜疾病为第二优先级，则最多只需再等1天，所以，根据原则2，单眼白内障最优先。）周二：C = B A2 A1（白内障患者下周一手术，实际术前准备（6天） 标准术前准备时间（2天）。而若安排青光眼、视网膜患者三天后手术，实际术前准备时间（3天）=标准术前准备时间（3天），符合原则1，所以优先。又因为白内障周一手术，所以双眼白内障优先于单眼。）周三：C = B A2 A1（与周二同理。）周四：C = B A2 A1（与周二同理。）周五：A2 A1 C = B（根据原则3、4）周六：A2 A1 C = B（由原则2、4。）周日：A1 C = B A2（由原则3。） 5.3.6 简化模型1）同种类型疾病患者，按先来先服务原则处理；2）不同种类型疾病患者，按如下优先级原则处理：优先级等级排列周一A1 C = B A2周二C = B A2 A1周三C = B A2 A1周四C = B A2 A1周五A2 A1 C = B周六A2 A1 C = B周日A1 C = B A25.4 模型检验与原模型进行数据对比检验。对比时间段：2008-7-25入院2008-8-1入院期间；按原（先来先服务）模型得出的住院安排如下，具体见附表 (双击可实现跳转)；序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1外伤2008-7-132008-7-142008-7-15/2008-7-192视网膜疾病2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-83白内障2008-7-132008-7-252008-7-28/2008-7-314视网膜疾病2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-45青光眼2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-56视网膜疾病2008-7-132008-7-262008-7-29/2008-8-117白内障(双眼)2008-7-132008-7-262008-7-282008-7-302008-8-28视网膜疾病2008-7-142008-7-262008-7-29/2008-8-69白内障(双眼)2008-7-142008-7-262008-7-282008-7-302008-8-110白内障2008-7-142008-7-262008-7-28/2008-7-3060白内障(双眼)2008-7-192008-8-12008-8-42008-8-62008-8-961视网膜疾病2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-862视网膜疾病2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-1163青光眼2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-1164白内障2008-7-192008-8-12008-8-4/2008-8-7按“效率指数模型”得出的住院安排表如下，具体见附表 (双击可实现跳转)；序号原序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间17白内障(双眼)2008-7-132008-7-252008-7-282008-7-302008-8-229白内障(双眼)2008-7-142008-7-252008-7-282008-7-302008-8-1312白内障(双眼)2008-7-142008-7-252008-7-282008-7-302008-8-2413白内障(双眼)2008-7-142008-7-252008-7-282008-7-302008-8-2520白内障(双眼)2008-7-152008-7-262008-7-282008-7-302008-8-2625白内障(双眼)2008-7-152008-7-262008-7-282008-7-302008-8-2730白内障(双眼)2008-7-162008-7-262008-7-282008-7-302008-8-2832白内障(双眼)2008-7-162008-7-262008-7-282008-7-302008-8-2938白内障(双眼)2008-7-172008-7-262008-7-282008-7-302008-8-11039白内障(双眼)2008-7-172008-7-262008-7-282008-7-302008-8-16044白内障(双眼)2008-7-172008-8-12008-8-42008-8-62008-8-106145白内障(双眼)2008-7-172008-8-12008-8-42008-8-62008-8-86247白内障(双眼)2008-7-182008-8-12008-8-42008-8-62008-8-106349白内障(双眼)2008-7-182008-8-12008-8-42008-8-62008-8-96455白内障(双眼)2008-7-182008-8-12008-8-42008-8-62008-8-86556白内障(双眼)2008-7-182008-8-12008-8-42008-8-62008-8-96660白内障(双眼)2008-7-192008-8-12008-8-42008-8-62008-8-96770白内障(双眼)2008-7-202008-8-12008-8-42008-8-62008-8-96879白内障(双眼)2008-7-212008-8-12008-8-42008-8-62008-8-96980白内障(双眼)2008-7-212008-8-12008-8-42008-8-62008-8-97083白内障(双眼)2008-7-212008-8-12008-8-42008-8-62008-8-97184白内障(双眼)2008-7-212008-8-12008-8-42008-8-62008-8-97285白内障(双眼)2008-7-212008-8-12008-8-42008-8-62008-8-97398白内障(双眼)2008-7-232008-8-12008-8-42008-8-62008-8-10可得出如下对比数据：（单位：天）先进先出效率指数模型入院-门诊12.312手术-入院32处理的病例总数 59 73 白内障（单眼）1120白内障（双眼）1926青光眼87视网膜疾病2120术前准备标准总用时(白内障2天、青光眼视网膜3天)（11+19）2+（21+8）3=147（20+26）2+（7+20）3=173术前准备(手术-入院)实际总用时593=177732=146术前准备效率指数(标准/实际) 0.8305 1.1849 对比结果分析1）新模型的术前准备效率指数要比原有模型高。在术前准备效率指数的评价体系下，新模型要更为优越。2）新模型在一周内就比原有模型多处理了14个病例，效率上升了23.73%，可见新模型确实缓解了拥堵状况。3）由于在新模型运行之前，原有模型已经导致了病人长时间等待入院的情况。所以新模型运行之初病人等待入院时间仍然较长。但是新模型的运行已经使入院等待时间不升反降，可以预见长期运作下来，新模型确实能起到减少入院等待时间的作用。5.5 误差分析 模型检验时只使用了1周的数据进行效果抽样检查，增大了效果估计的可能误差。5.6 模型评价5.6.1 模型优点(1)该模型建立了术前准备效率指数概念，围绕此概念建立了优化模型；(2)该模型很大程度上提高术前准备效率指数，大大缩短住院时间，接待效率较原模型提高了25%以上；(3)由60天院内提供的数据的观察与统计可知，白内障（单眼100例 + 双眼133例）共233例病患，其他非急症病例（视网膜疾病170例 + 青光眼63例）共233例，病患比例为1：1；而在模型一“效率指数模型”中，白内障（在周一、五、六、日优先级最高）与其他类病例（在周二、三、四优先级最高），最高优先级分配比例为4：3，最大程度的接近1：1。这样可最大程度的避免某类病症过度优先处理，导致其他病症等待阻塞，极端化后可导致该综合医院成为“某类病症的专科医院”，亦会破坏最底线的公平原则。5.6.2 模型缺点(1)操作相对复杂。可能会使少数某些病人等待时间大大延长，破坏公平性。(2)按照效率指数最大化的原则所建立的排队模型，并非只有一种，其中还有更为复杂的情况；5.6.3 模型改进方向5.6.3.1 考虑急症医院预留一批床位给急症者，这些床位与其它床位独立。预留床位数要使急症者不发生缺乏床位的概率小于某个定值p.由于外伤（即急症者）每天到来的人数服从泊松分布。已知在7月13日到9月11日每天入院的外伤者平均为63/60人。视这一平均值为期望值。又知一个外伤者平均住院时间为7天。则在7天中外伤总人数服从期望为7*63/60的泊松分布。要确定预留床位数x，即要找到满足P（kx）B3=C3A27周二B3=C3A26A16周三 A25A15B6=C6周四A24A14B5=C5周五A23A13B4=C4周六A22A12B3=C3周日A13B4=C4A287.4.2方案二：周二、周四安排白内障手术星期优先次序周一A13B4=C4A28周二 A12B3=C3A27周三B5=C5A26A16周四 B4=C4A25A15周五B3=C3A24A14周六A23A13B4=C4周日A22A12B3=C37.4.3方案三：周三、周五安排白内障手术星期优先次序周一A22A12B3=C3周二A13B6=C6A28周三 A12B5=C5A27周四B4=C4A26A16周五 B3=C3A25A15周六B3=C3A24A14周日A23A13B4=C47.5调整方案的确立与分析从实际数据观察可知，非最高优先级的病人入住的情形很少。所以要评价三种方案的优劣，只要看每种方案中最高优先级病人术前准备总时间TS。最优目标：总时间最少者最优。由分析可追加假设：每种病人只有在自身优先级最高的那天入院；若某两天接纳同种病人，则一个病人在这两天入住的概率相同。可得出最高优先级病人术前准备总时间 :TS1=100*2/2+233*3/1+133*5/4+133*4/4+133*3/4+133*2/4+3*100/2 =1415TS2=133*2/2+100*3/2+100*2/2+233*5/3+233*4/3+233*3/3+133*3/2=1515TS3=133*2/2+100*3/2+100*2/2+233*4/3+233*3/3+233*3/3+133*3/2=1359（即：TS3=A2病共133例*周一时上标2 / (周一、周日优先级最高)2种情况+ A2病共133例*周日时上标3 / (周一、周日优先级最高)2种情况）易得：TS2 TS1 TS3所以选方案三（总时间最少），即周三、周五安排白内障手术。7.6确立模型周三、周五安排白内障手术星期优先次序周一A22A12B3=C3周二A13B6=C6A28周三A12B5=C5A27周四B4=C4A26A16周五B3=C3A25A15周六B3=C3A24A14周日A23A13B4=C4八、模型五“病床比例分配模型” （问题五）8.1问题五重述问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。8.2问题分析逗留时间由等待入院和住院时间两部分组成。由于床位比例的分配不影响病人的住院时间，因此要使逗留时间尽量短，即要尽量减少等待入院时间。这一条件又可近似为：要使发生病人等待入院这一事件的概率尽量小。8.3模型假设假设单位时间内确诊人数成泊松分布。8.4模型的建立若术后观察时间和手术时间取已知数据的平均值，则白内障病人最长住院时间为11天（双眼周日入院，单眼周二入院）；视网膜疾病患者入院最长时间为14天；青光眼病人入院最长时间为12天，外伤者入院最长时间为7天。所以在第11天白内障病人人数达到最大，而视网膜疾病患者、青光眼病人、外伤者人数分别在第14、12、7天达到最大。 即为第i种疾病的患者在Ti天中人数小于等于k的概率。所以有如下非线性整数规划模型：Min ( )满足条件： 且 K为非负整数， ， ， 8.5模型的求解利用matlab软件，编程求解，程