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导导数的基本公式与运算法则数的基本公式与运算法则 基基本初等函数的导数公式本初等函数的导数公式 x x 1 ax ax lna ex ex 0 cc 为任意常数 ln 1 log ax x a 1 ln x x sin x cos x cos x sin x tan x sec2x cot x csc2x sec x sec x tan x csc x csc x cot x 1 1 arcsin 2 x x 另外还有反三角函数的导数公式 另外还有反三角函数的导数公式 1 1 arccos 2 x x 1 1 arctan 2 x x 1 1 cotarc 2 x x 定理定理2 2 1 设函数设函数 u x v x 在在 x 处可导处可导 0 xu xu xv 在在 x 处也可导 处也可导 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 2 xu xvxuxvxu xu xv 导导数的四则运算数的四则运算导导数的四则运算数的四则运算 且且 则它们的和则它们的和 差差 积与商积与商 推论推论 1 cu x cu x c 为常数为常数 推论推论 2 1 2 xu xu xu uvwu vwuv wuvw 乘法法则的推广 乘法法则的推广 补充例题 补充例题 求下列函数的导数 求下列函数的导数 解 解 根据推论根据推论 1 可得可得 3x4 3 x4 5cos x 5 cos x cos x sin x ex ex 1 0 故故f x 3x4 ex 5cos x 1 3x4 ex 5cos x 1 12x3 ex 5sin x f 0 12x3 ex 5sin x x 0 1 又又 x4 4x3 例例 1 设 设 f x 3x4 ex 5cos x 1 求 求 f x 及及 f 0 例例 2 设 设 y xlnx 求求 y 解解 根据乘法公式 有 根据乘法公式 有 y xlnx x lnx x lnx x x xln1 1 ln1x 解解 根据除法公式 有 根据除法公式 有 22 22 2 1 1 1 1 1 1 1 x xxxx x x y 例例 3 设 设 1 1 2 x x y 求求 y 22 22 1 1 1 1 1 x xxxx 1 12 1 1 2 1 22 2 22 2 x xx x xxx 教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函数的导数 求下列函数的导数 3 1 cosyxx 2 2 x yx e 2 3 1 x y x 32 4 23 sinyxxxe 解 解 332 1 cos cos 3sinyxxxxxx 2222 2 2 2 xxxxxx yx exex exex exxe 22 222 1 1 3 1 1 xxxxx y xx 2 22 1 2 1 xxx x 22 2 1 1 x x 32 4 2 3 sin yxxxe 0 sin 3 2 3 xxx cos sin36 2 xxxx 高阶导数高阶导数 高阶导数高阶导数 如果可以对函数如果可以对函数 f x 的导函数的导函数 f x 再求导 再求导 所得到的一个新函数 所得到的一个新函数 称为函数称为函数 y f x 的二阶导数 的二阶导数 d d 2 2 x y 记作记作 f x 或或 y 或或 如对二阶导数再求导 则 如对二阶导数再求导 则 称三阶导数 称三阶导数 d d 3 3 x y 记作记作 f x 或或 四阶或四阶以上导 四阶或四阶以上导 数记为数记为 y 4 y 5 y n d d 4 4 x y d d n n x y 或或 而 把 而 把 f x 称为称为 f x 的一阶导数的一阶导数 例例3 3 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数 1 cosyxx 2 arctanyx 1 cos sin cossinyxxxxxx xxxxxxxycossin2 cos sinsin 2 1 2 1 y x 22 2 1 1 x x y 22 1 2 x x 解 解 二阶以上的导数可利用后面的数学软件二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算来计算 2 2 4 复合函数的求导法则 2 2 dydy du dxdu dx dy fuu x d uu xxyf u uyf u x x x 定理若函数在点 可导 函数 在点 处可导 则复合函数 在点 可导 且 或记作 推论推论 设设 y f u u v v x 均均 可导可导 则复合函数则复合函数 y f x 也可导也可导 xvux vuyy 以上法则说明 复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明 复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 23 tan 4 1 31 2 sin 2 3 lncos 4 5 2 x x yxyx yxye y 例 求下列函数的导数 32 32222 2222 1 31 3 3 31 31 3 31 618 31 yux u xx yuxuxu xxx xxxx 解 函数可以分解为 2 2 cos 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2 x yxx x x x x 把当作中间变量 3 cos 1sin cos tan coscos x x yxx xx 把当作中间变量 tantan2tan 4 tan tan sec xxx x yeexxe 把当作中间变量 5 2 2 ln2 2 ln2 xxx x yx 把当作中间变量 先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数 或或 常数与基本初等函数的和 差 积 商常数与基本初等函数的和 差 积 商 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出法则求出 复合函数求导的关键复合函数求导的关键 正确分解初等函数正确分解初等函数 的复合结构的复合结构 求导方法小结 求导方法小结 2 322 1 1 2 cos3 3 32 4 lgcos 32 x yxyyxxx 练习 求下列函数的导数 课堂练习 22 2 22 22 22 1 6 1 2 3 ln3 sin3 23 3 232 cos 32 sin 32 4 32 4 tan 32 cos 32 cos 32 xx yxx y x y xx xx yxxx xx 解 例例5 5 求下列函数的导数 求下列函数的导数 1 2 3 4 2 cosxy 23 2 xx ey xylnlnln 1ln 2 xxy 2 2 5 隐函数的导数 0 0 yxF xy F xyyy x 与 的关系由方程 确定 未解出因变量的 方程 所确定的函数称为隐函数 6 1 y dy yy xyxe dx 例 设函数由方程所确定 求 1 1 1 y yyyy yy y y xyxe yexeex ey xeye e y xe 解 上式两边对 求导 则有 即 1 2 xy y y 隐函数的求导步骤 方程两边对 求导 求导过程中把 视为中间变量 得到一个含有 的等式 从所得等式中解出 22 7 cos dy yy xyxyx dx 例 设函数由方程所确定 求 2222 22 2222 2222 22 22 sin 1 sin 22 1 2 sin 2 sin 12 sin 1 2 sin 1 2 sin 12 sin x xyxyxy yxyxyy yxxyyxyy yxyyxxy xxy y yxy 解 方程两边分别对 求导 得 2 2 dy yy xxyyx dx 练习 设函数由方程所确定 求 2 2 2 2 2 2 2 2 x xyy yx yy y xyyy y y xy 解 两边分别对 求导 得 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法 求 对自变量 或 的偏导数时 只须将另一 自变量 或 看作常数 直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算 yxfz xy y x 例例1 1 设函数设函数 324 23 f x yxx yy 求求 x fx y y fx y 1 1 x f 1 1 y f 解 解 xyxyyxxyxf xx 43 32 2423 32423 122 32 yxyyxxyxf yy 111413 1 1 2 x f 14 1 1212 1 1 32 y f 例例2 2 设函数设函数 求 ln 2222 yxyxz x z y z 解 解 xx yxyxyxyx x z ln ln 22222222 222222 22 1 2 ln xxxyxyxy xy 22 2 ln 2xxyx 22 2 ln 1 xxy 类似可得类似可得 22 2222 2 ln 2 yx y yxyxy y z 22 2 ln 1 yxy 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数 函数函数 z f x y 的两个偏导数的两个偏导数 yxf x z x yxf y z y 一般说来仍然是一般说来仍然是 x y 的函数 的函数 如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x y 的偏导数也存在 的偏导数也存在 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f x y 的二阶偏导数的二阶偏导数 依照对变量的不同求导次序 依照对变量的不同求导次序 二阶偏导数有四 二阶偏导数有四 个 用符号表示如下 个 用符号表示如下 x z xx z x 2 2 x z yxf xx xx z x z yx z y yx z 2 yxf xy xy z y z xy z x xy z 2 yxf yx yx z y z yy z y 2 2 y z yxf yy yy z 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数 yxf xy yxf yx 类似的 可以定义三阶 四阶 类似的 可以定义三阶 四阶 n 阶偏导数 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 yxf y yxf x 而 称为函数称为函数 f x y 的一阶偏导数的一阶偏导数 注 当两个二阶导数连续时 它们是相等的注 当两个二阶导数连续时 它们是相等的 即即 yxf xy yx fx y 例例 3