ZCZ阵列偶及其构造方法研究.doc

第9期高军萍等：ZCZ阵列偶及其构造方法研究67ZCZ阵列偶及其构造方法研究高军萍1,2，李琦2，戴居丰1，刘丽2(1. 天津大学 电子信息工程学院，天津 300072； 2. 河北工业大学 信息工程学院，天津 300401)摘 要：提出一种新的具有良好周期相关特性的准最佳离散信号ZCZ阵列偶，并给出其构造方法。基于最佳阵列偶和正交矩阵，通过选择适当的移位序列，经行、列交织可以生成具有一定体积、阵列信号数目和零相关区的二维ZCZ阵列偶集合。除二元情况外，此方法还可应用到多元ZCZ阵列偶集合的生成。所得ZCZ阵列偶扩展了二维最佳离散信号的选择空间，并可作为多用户信号应用到实际工程中。关键词：最佳信号；阵列偶；零相关区；交织中图分类号：TN918 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)09-0062-06Research of ZCZ array pair and its construction methodsGAO Jun-ping1,2,LI Qi2,DAI Ju-feng1,LIU Li2(1.School of Electronic Information Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. School of Information Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China)Abstract: A new quasi-perfect discrete signalZCZ array pair which has good periodic correlation property and its construction method was proposed. Based on perfect array pair and orthogonal matrix, ZCZ array pairs set with certain volume, family size and zero correlation zone can be synthesized through row or column interleaved technique when suitable shift sequences are selected. Except the binary case, the proposed technique can be applied to synthesize polyphase ZCZ array pairs set also. These ZCZ array pairs sets are feasible as multi-user signal, and extend the selectable scope of two-dimension perfect discrete signal.Key words: perfect signal; array pair; zero correlation zone; interleave1 引言收稿日期：2007-11-26；修回日期：2008-07-02基金项目：国家自然科学基金资助项目（60502016）Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (60502016)具有良好相关特性的二维最佳离散信号在信道编码、同步信号处理、图像编码、数据压缩、模式识别、密码学及组合设计与分析中有着十分广泛的应用。在二维阵列信号的应用中通常要求较大的零相关区，近年来范平志等学者提出了广义正交或零相关区（ZCZ）的概念，并得到了多种ZCZ序列的构造方法1,2。此外，采用交织方法3,4 也可生成ZCZ序列5。ZCZ的概念还可扩展到二维情况，并基于互补码提出了ZCZ阵列的构造方法6。在传统的序列和阵列设计理论中，序列集的相关函数、序列长度、数目受到一定的理论限制，从而限制了序列的存在空间。这是由于传统序列或阵列的自相关均以序列或阵列与其自身时延信号的内积来进行研究，为了克服这一限制，赵晓群等学者提出了阵列偶的概念7，以阵列偶中2个阵列的互相关函数定义为阵列偶的自相关函数，并相继研究了最佳二进阵列偶7,8、差集偶9、准最佳二进阵列偶10、最佳屏蔽二进阵列偶11等。由于阵列偶具有良好的相关特性，因此可以应用于通信、雷达、信道编码等工程领域。其方法是当系统采用阵列偶中的一个阵列作为传输信号，而用另一个阵列作为接收机的本地阵列，通过计算阵列偶的自相关函数来达到提取信息的目的。本文在结合零相关区和阵列偶概念的基础上，提出一种新的二维准最佳离散信号ZCZ阵列偶。基于最佳周期自相关阵列偶和正交矩阵，采用交织方法得到了几类矩形零相关区ZCZ阵列偶集合，对构造方法进行了理论证明，并给出了实例和相关函数。由于可以采用复合构造方法生成体积更大的最佳二进阵列偶8，以及利用差集偶、准最佳二进阵列偶与最佳二进阵列偶的关系生成大量的最佳二进阵列偶9,10，通过这些方法得到的最佳二进阵列偶较最佳二进阵列具有更大的存在空间，因此本文提出的方法可以拓展ZCZ阵列偶的存在范围。2 基本定义2.1 序列偶、阵列偶的定义令，为2个长序列，则、组成序列偶，记为。其周期自相关函数定义为(1)其中需要对求模，*表示复数共轭。对于2个长序列偶，它们的周期互相关函数定义为(2)将以上定义扩展为二维情况，就得到二维阵列偶的定义。令和为2个阶的阵列，其中，；则、构成阵列偶，其周期自相关函数为(3)若，为2个阶的阵列偶，则其周期互相关函数为(4)若阵列偶的周期自相关函数满足以下条件，则称为最佳阵列偶。(5)设为阶的阵列偶，若将看作2个分别由个长序列组成的序列集，如下所示 则的周期自相关函数可以表示为(6)同理，、的周期互相关函数可以表示为(7)2.2 零相关区阵列偶的定义给定阵列偶集，其中，为阶阵列偶，则零相关区的定义如下所示(8)当时，称为阵列偶集。2.3 交织阵列的定义文献5中提出了交织序列的定义，如下所述。设一长为的序列，可由一个矩阵表示若中的每一列等于一个长序列的移位序列，则称为一个交织序列。若用表示的第列，则如下所示，其中为移位序列， 表示的第位循环移位。 如果将交织序列的概念推广到二维情况，就可以得到交织阵列的定义。设为一阶阵列为移位序列，应用序列交织的定义可以得到阶交织阵列。而交织阵列的相关函数满足以下关系。设、为2个阶阵列，、为移位序列，、为交织阵列，其中 若，则由交织序列的相关函数性质可得、的互相关函数满足以下等式(9)3 ZCZ阵列偶集的交织构造基于第2节给出的交织阵列，可以生成具有一定阵列偶数目、体积和零相关区的ZCZ阵列偶集。设为阶的阵列偶，为一阶正交矩阵，为长移位序列，运用交织方法可以生成阶交织阵列偶，将的第行乘以和，可以得到一扩展阵列偶集，其中，如下定义 表示的第行，如下定义(10)则为一ZCZ阵列偶集，当选取不同的移位序列时，可以得到不同的ZCZ阵列偶集，移位序列的选择可由以下定理得到。定理1设为阶的最佳阵列偶，为长移位序列，若，且，则为ZCZ阵列偶。证明若，并且，则下面分4种情况：1) 当，时，则。因为，得到，2) 当，时，3) 当，时，则 ，因此4) 当，时，由以上结果可得为一 阵列偶。定理2若，且，则为一阵列偶。证明若，且，则下面分4种情况：1) 当时，则 ，或，且。当且时，则，由此可得2) 当，时，则 3) 当 ，时，则，则4) 当，时，则 由以上结果可得为一 阵列偶。定理3若，且，则为一阵列偶。证明若，且，则下面分4种情况：1) 当，时，则，因此2) 当,时，则 3) 当，则，因此，4) 当，时，则由以上结果可得为一 阵列偶。当，时，按照相同的证明，以上定理也成立，由此可以得到一个阵列偶数为1的ZCZ阵列偶集。当将此ZCZ阵列偶与正交矩阵各行相乘后，就可得到阵列偶数为的ZCZ阵列偶集。定理4设为阶的最佳阵列偶，为一阶正交矩阵，为长移位序列，运用交织方法可以生成阶交织阵列偶，将的第行乘以和，可以得到一扩展阵列偶集，其中1) 若，且，则F为ZCZ阵列偶集。2) 若，且，则F为一阵列偶集。3) 若，且，则F为一阵列偶集。证明对于F中任意2个阵列偶和，由式（9）可得当，且时，因为、正交，则。当，时，由定理1、2、3可以得到在和的零相关区内自相关和互相关函数均为0。以上为采用行交织方法得到的ZCZ阵列偶集，此方法还可以推广为列交织或行列均交织方法，通过选择适当的移位序列可以生成体积更大的ZCZ阵列偶集。举例：为阶的最佳二进阵列偶，为一阶正交矩阵，如下所示 移位序列为，运用交织方法，可得如下所示ZCZ阵列偶集F。其中的自相关函数，与的互相关函数为由此可见，F为阵列偶集。4 结束语本文提出了一种新的阵列相关信号，即ZCZ阵列偶，并给出了其交织构造方法。基于最佳阵列偶和正交矩阵，通过选择不同的移位序列，可以生成具有一定体积、阵列偶数以及零相关区的ZCZ阵列偶。这种方法还可以推广到三元、四元或多元ZCZ阵列偶的构造中，从而为实际工程应用提供更多的可选阵列信号。参考文献：1FAN P Z, SUEHIRO N, KUROYANAGIN, et al. 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