数学解题策略的几条原则.pdf

瓠 l 数学解 题策略 的几条原 则 永定坎 中学 刘 顺 林 卢 树 先 一 妙计 可 以打 牲 仗 良策有 利于解题 当学 生对 数学 知 识 数 学 思 想方 法 的学 习 和运 用 达到 一定 水平时 应该 把 一般 的思维 升华 到 计策谋 略 的境 界只有 掌握 r一 定 的解 题 策 略 会在遇 到问题 时 找到 问题的 思考 点和 突破 迅 速 正确 地解 题因此 在教 学 巾要 适当 加强 数学 解题 策略 的指 导 优 化学 生的 思维 品质 提 高解 能力以下探 讨数学 解题 维策略 的几条重 要原则 1 目的性 原则 解 题 须有 明确 的 目的 如 何实 现 问 题 的 鼻 J j 撕 7 L f I L I 2 2 0 a b l J r 0 b一口 0 b 2 a b 当且仅当 n 6 即 j 一 n 6时 等 号 成立 当 r 口 6时 t g AC B取得最大 值 从 而 AC B 取 得 最 大 值 即 站 离 墙 脚 n 6时 观察 效果最 好 2全面 性 原 则 解题 时要 善于 全 面 思 考 抓 住 问题 的 各 种情形 特 点 和联 系 弄 清问题 内 在 实质 应 用 多方面 的知识 设计 出多 种解题 方 案 防止 只想到 用 某 一 方面 的 知 识 和 方 法 来 解 决 问 题 因为 有时用某 一知 识和方 法解题 很繁 甚 至不可行 若 能 全面思考 问题 可 能 会得 到 多 种解题方 案 而后择 优解之 竺 三 矍 冀 要 的 要 目 分 析 此 题 若 仅 限 于 三4 e o角 s O公 式 4 化 为 一 个 昱 譬 誊 角 的 兰 函 些 墓 耋 抓 磊 芸 IM 住关 键 逐步转化变形 以使题顺利解决 2 sin O 3 分 析 要 求 参 观 者 可 视 为 帝 L 站在离墙脚多远地方观 I l o 譬 苫 求 站 在 哪 里 视 角 最 大 1 苫 一 一 即 口 B 0 b 口 o 则 B c 一 一 规 角 AC B为锐 角 要 使 AC B最 大 只须 t g AC B最大 而 t g AcB 一 旦 一 一 旦 1 一 旦 一 立 r 一 1 6一 图所示 设 切线 AB 的斜 率 为 易知 U 且AB 的 切 线 方 程 为 1 6 4 又 A B 经过 A 4 一3 从而 一 3 4 1 6 4 一5 2 4 故所 求 函数的值 域 为 一O 0 一5 2 4 3熟悉 化原则 熟 悉化 原则 就是 在解题 过程 中不 断地 变 换 问题 把 问题 化归为熟 悉的基 本 问题 或 已 维普资讯 经 解决 的 问题 或 易于 解决 的 问题 例 3 已知关于 的实系数方程 n b 0 有两个实数根 a 口 证 明如果 I 口I 2 1 口1 2 那 么 2 1 a 1 4 b 分析 从表面 看 本题是 从 不等式 出发证 明不等式 陌生难于 下手 但 由于 I n I 2 I 卢I 2可化 为 一2 2 2 卢 2 由此联 想到 一元 二次 方 程 实 根 的分 布情 况 本题可 化 归为 若关于 的实 系数 方 程 a x b 0有两 个实数 根 n 口均 在 一2 2 内 求证 2I a I O 其 中 f x r a x b 知 一 4 b 2口 4 b 又 l b I I I 4 2 I a I 4 b 4简单化原则 复杂 问题 的特 征是 式 子 结 构 复 杂 逻 辑 推理严 谨 问题 中的 未 知 量 较 多 运 算 量 较 大等 解题 时把 复 杂问题 转 化 为简单 问题 或 考 虑它 的 简单情 形 有利于 问题 的顺 利解决 例 4 已知 0 a b f d 1一 a b f d 分析 本题 有 5个 变 元 较 为 复 杂 先 考 虑 两个 变 元 的较 简单 的 情 形 已知 0 n b 1 一 口 b 这 时 1一 a 1一 b 1一 a b 口 6 1一 a b 如果变 元增加 到 3个 上 式 两 边 同 乘 以 1一 c 得 1一 a 1一 b 1一 c 1一 a b 1一 c 1一 a b f 依此类 推 便可 解决原 命题 5具 体化 原则 抽 象的 问题 总 是 难 以理 解 因而 也难 以 解决 如 果将抽 象 的问题具 体 化 或将 抽象的 语 言 转 化为通 俗 具 体 直 观 的语 言 则 问题 的 数 量关 系 和 空 间形 式 就 容 易暴 露 出 来 也 就 容 易制订解 题 策略 简捷 解题 例 5 设 2是 任意 两个 复数 求证 I l l I Z 2 I I 1 2 I I 1 I I Z 2 I 分析 若 令 l j Yl i 2 2 2 i l Y l 2 Y 2 R 则 要 证 明 j 一 j I 2 1 Y 2 i j i i Y 上述不 等 式 数量 关 系复 杂 甩 代 数 方 法 证 明较 为繁 难 若 利用 复 数的 几何意 义 用 几 何 方法证 明 则 证 明过 程 十 分 简 洁 事实 上 根 据复 数的几 何 意 义 j 二 2表示 以 l 2 相 应 向量 为 邻 边 的 平 行 四边 形 对 角 线 的 向 量 如下 图所 示 从 而 1 2与 l 2相 应的 向量是 同一三 角形 中的三 边 这 样 利用 三 角形 中的三边 关 系证得 原不 等式 6正 难则反 原 则 在 解决某 一 问题 过 程 中 当按 照 习掼 忍 维方 式 从 正面 进 行 思考 而遇 到 田难 甚 至 不 可 能时 则应考 虑 从相 反方 向去思 考 问题 往 往容 易得到解 决 例 6设三 个方 程 一 4mx 一 4m 3 0 T m 一 1 T m 0 2mx 一 2m 0 至少有一个方程有实根 求 m 的 取值 范围 分析 从正 面 考 虑 要分 三 类 七种 情况 讨 论 繁 琐复 杂 若 能 从 三个 方 程 至 少有 一 个 一 1 7 维普资讯 方 程有实 根 的反面 三 个 方程均无 实根 思 考 这样 可 从全悻 实数 中除 去 三个方 程 均 无 实根时 的值 便得 所求 的 的值 达到 化 难 为易 简 洁解题 目的 f 4 4 一4 3 0 由 P q 1 一4 r ff 0 4 1 4 一2 0 得 一3 2 O 是 一 兼开 口向上的 抛物线 l 2 R 且 1 r 若 I 比 r 2 离对 称 轴 一 远 则 r 1 f z2 利 用这一性 质可 以简 明扼 要 的解 答 一类 有关 二次函数最大值 的 习题 例 l r r 一2 a r 4 一l r 1 求 函数的最大值 g a 对 于此题通 常是 分 口 一l 一1 n 0 0 a 0时 点 r 一1 到 对 称轴的 距 离 显然大于 点 l到对 称 轴 的距 离 所 以 由性质 1 知此 时 g n 一1 5 2 n f 5 2 口 0 耳 5 2 4 4 0 例 2 巳知 r r一1 2 一l 求 r 的景大值 g t 对此题 通常 的解 法也是 利用 函敬 的单 塥 性 把 R分 成 四个范 围讨论 求解 现 再 利 用性 质 l给 出其简 便 的解 答 解 设 点 r 一l 与 r t 的 中点是 r 一 抛 物线 ff z r 1 2的 开 口向上 1 当 詈 时 r i1 i3 21 1 点 一l到对称 轴 l 的距 离 不大 于 点 r 到 对 称 轴 r 1的 距 离 g f t 一