二次函数中等腰三角形的存在问题.ppt

二次函数中等腰三角形的存在问题 执教者 陈开英 2013年3月27日 学习目标 1 会准确找到满足条件的点 2 会运用恰当的方法求出满足条件的点的坐标 学习重点 1 能准确找到符合条件的点 2 利用等腰三角形的性质 勾股定理和三角形相似等知识求点的坐标 学习难点 利用等腰三角形的性质和勾股定理等知识求点的坐标 课前热身 如图 直线AB交x轴于A点 交y轴于B点 过A B两点的抛物线交x轴于另一点C 问 1 在抛物线的对称轴上是否存在点M 使 ABM是以线段AB为底的等腰三角形 基本方法 线段AB为底 作线段AB的垂直平分线 垂直平分线与对称轴的交点 2 在x轴上是否存在点D 使 ABD是以线段AB为腰的等腰三角形 基本方法 以线段AB为腰 分别以点A B为圆心 线段AB长为半径画弧 与x轴的交点 3 在抛物线的上是否存在点P 使 ABP是等腰三角形 基本方法 分别以线段AB为底和腰 找出满足条件的点 数学基本思想 分类讨论 典例讲解 如图 已知二次函数y x2 x 3的图象与x轴的一个交点为A 4 0 与y轴交于点B 试问 在x轴的正半轴上是否存在点P 使得 PAB是线段AB为底的等腰三角形 若存在 求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 方法一 等腰三角形的性质和勾股定理解答 解 作线段AB的垂直平分线 垂足为D交x轴于点P 连接BP 设点P a 0 DP垂直平分AB AP BP 点P a 0 点A 4 0 点B 0 3 OP a OA 4 0B 3 AP BP 4 a 在RT OPB中 即 解得 D P 方法二 利用相似三角形解答 解 作线段AB的垂直平分线 垂足为D交x轴于点P 设点P a 0 点P a 0 点A 4 0 点B 0 3 OP a OA 4 0B 3 AP BP 4 a 在RT OAB中 即 AB 5 AD BD 2 5 PD AB ADP 90 AOB 90 ADP AOB OAB DAP 0AB DAP 即 D P 方法三 函数解答 作线段AB的垂直平分线 垂足为D交x轴于点P 设点P a 0 点A 4 0 点B 0 3 OA 4 0B 3 过D作DC OA于C OB OA CD OB 直线AB过点A 4 0 和B 0 3 两点 直线AB的解析式为设直线DP的表达式为 AB DP 直线DP过点 点P在DP上又在x轴上 D P C 变式练习 如图 抛物线交x轴于A C两点 交y轴于B点试问 在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使 ABQ是等腰三角形 若存在 求出符合条件的Q点坐标 若不存在 请说明理由 1 如图 抛物线与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 且x1 x2 与y轴交于点C 0 4 其中x1 x2是方程x2 2x 8 0的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点P是线段AB上的动点 过点P作PE AC 交BC于点E 连接CP 当 CPE的面积最大时 求点P的坐标 3 探究 若点Q是抛物线对称轴上的点 是否存在这样的点Q 使 QBC成为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点Q的坐标 若不存在 请说明理由 课后作业 2 如图 一次函数y 4x 4的图象与x轴 y轴分别交于A C两点 抛物线的图象经过A C两点 且与x轴交于点B 1 求抛物线的函数表达式 2 设抛物线的顶点为D 求四边形ABDC的面积 3 作直线MN平行于x轴 分别交线段AC BC于点M N 问在x轴上是否存在点P 使得 PMN是等腰直角三角形 如果存在 求出所有满足条件的P点的坐标 如果不存在 请说明理由 3 如图 抛物线y ax2 2ax c a 0 与y轴交于点C 0 4 与x轴交于点A 4 0 和B 1 求该抛物线的解析式 2 点Q是线段AB上的动点 过点Q作QE AC 交BC于点E 连接CQ 当 CEQ的面积最大时 求点Q的坐标 3