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以某点为中点的弦一定存在吗？陕西省延安市宝塔区第二中学 张艳霞 邮编716000在圆锥曲线的学习中，常要遇到一类重要问题：求以某点为中点的弦所在的直线方程。那么以某点为中点的弦是否存在成为解决这一问题的关键，我通过本文彻底解决这一存在性问题同时也给出解决这一问题常用的一种方法。下面从一个具体问题说起。已知：双曲线的方程是，则以 为中点的弦是否存在？若存在求其所在的直线方程，若不存在请说明理由。这是一道散见于各种高三复习资料的一个题，其结果可由下面方法得出：假设以 P为中点的弦存在，其为AB，A、B在双曲线上，设 则 得 又 直线AB的方程为： 即 .由题意直线(3)要与双曲线有两个不同的交点,将(3)代入双曲线方程得: 有二不同的解,然而 ,因此上方程无解,所以以P(1,1) 为中点的弦不存在。由此可知在圆锥曲线中以某些点为中点的弦不一定存在。 那么，点P在那些位置时，以P为中点的弦是存在的，而又在什么位置时以其中的中点的弦不存在呢？对双曲线我们有如下结论：定理1：在双曲线中，当P位于双曲线与其渐近线（包括双曲线和渐近线上的点，中心除外）之间时，以P为中点的弦不存在，其它位置时以P为中点的弦一定存在。 此定理可证明如下: 设P（m，n）,以其为中点的弦为AB, ，双曲线方程为，将A、B的坐标代入并做差得：，当时，, P在轴上，如果，此时直线AB与双曲线无两交点，因此此时以P为中点的弦不存在，如果，过P垂直于轴的弦即为所求，当 时，此时弦所在的直线的斜率为 ，弦所在的直线方程是 ，将 代入 得： （1），当 或或以或时，方程（1）不能有二不等实根，即以P为中点的弦不存在，这时点P在双曲线和其渐近线（包括双曲线和渐近线上的点，中心除外）之间。当或 时方程（1）有两个不同的解，所以以P为中的弦存在，当P点为双曲线的中心时过P任做一与双曲线两支都相交的弦均为以P为中点的弦，这时点P所构成的集合是坐标平面内除去双曲线和其渐近线（包括双曲线和渐近线上的点，中心除外）之间点的所有点的集合。定理1得证。用同样的方法可以证明： 定理2：对椭圆、抛
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