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文档简介

第十讲 证明专题 问题 一 函数性质的证明 问题 二 方程根的存在性证明 问题 三 不等式的证明 问题 四 有关中值的证明 定义 性质 图形 问题 一 函数性质的证明 证题依据 1 定义 将函数取绝对值 然后用不等式放缩法 或利用导数求最大 小 值 2 闭区间上的连续函数是有界的 3 有极限的变量是有界的 问题 二 方程根的存在性证明 证题依据 零点存在定理 微分与积分中值定理 函数的性态 增减 极值 凹向 图形 问题 三 不等式的证明 证明不等式大致有以下途径 构造辅助函数的关键是将不等式看做 化为 某个函数在某个区间的改变量与区间长度之比 然后经过适当放大缩小使之出现要证明的不等式 由于 只需证 单调增加 即 再证左边的不等式 令 3 利用积分中值定理对带的项作适当的放大缩小 例1 设在上连续且递减 证明 当时 证一 其中 因为递减 则有 又 因此 即 证二 令 则有 且 由于在上连续且递减 当时 故 2 常数K值法 此法适用常数已分离出的命题 以下给出了常见辅助函数F x 的形式 模型 其它情况 注 如果要证的式子是和的形式 则辅助函数一般是积的形式 如果要证的式子是差的形式 则辅助函数可以是差 积 商的形式 通常将差看成某个函数 辅助函数 的分子或其零因子 常用作辅助函数的因子 12 欲证存在点使 作辅助函数 分析 要证 即证 不难看出 辅助函数是的形式 现在的问题 可对函数在区间上应用罗尔定理 是在哪个区间上对该函数用罗尔定理 由积分中值定理知
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