解数学竞赛题中的几何构造方法.pdf

Journal of Shenyang Normal University Natural Science 收稿日期 2003203214 作者简介 宇永仁 1947 男 辽宁沈阳人 沈阳师范大学副教授 文章编号 1008 374X 2003 03 0172 05 解数学竞赛题中的几何构造方法 宇永仁 沈阳师范大学 数学与系统科学学院 辽宁 沈阳 110034 摘 要 利用三角形几何性质探讨了如何通过构造三角形来解各种相关的数学竞赛题 并给 出了如何分析问题和构造三角形的具体方法 主要从数学竞赛中常见的求值问题 证明问题 求最 值问题等三个方面加以说明 结果表明利用几何方法可以为复杂的代数问题的解决提供简洁而有 效的方法 关 键 词 几何方法 数学竞赛 中学数学 解题训练 中图分类号 G 632 文献标识码 A 三角形是人们非常熟悉又常见的几何图形 三角形的有关性质 如内角和定理 内外角平分线性质 定理 三角形的三心 边角不等关系 正余弦定理及面积公式等等 许多问题都可以转化为具有某种特性 的三角形来解决 这其中要求对问题的潜在信息 隐含条件有敏锐的洞察力 善于联想 创造 常可以避 繁就简 独辟蹊径 化难为易 出奇制胜 使问题迎刃而解 它又是数形结合思想方法的巧妙体现 1 求值问题 例1 对任意正数x y z满足方程组 图1 例1求值图示 x2 xy y2 3 25 y2 3 z2 9 z2 xz x2 16 求xy 2yz 3xz的值 分析与解 注意方程组的左端均为x y z的二 次式 右端均为完全平方数 可联想到三角形的余弦 定理及勾股定理 依此将方程组变形为 x2 2x y 3cos 150 y 3 2 52 y 3 2 z2 32 z2 2xycos 120 x2 42 第21卷 第3期 2003年7月 沈阳师范大学学报 自然科学版 Vol121 No13 Jul 2003 1995 2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 因此构造Rt ABC 在 ABC内找一点O 使 BOC 90 AOC 150 则 AOB 120 再令OA x OC y 3 OB z 因为S ABC S AOC S BOC S AOB 所以 1 2 3 4 1 2 xzsin 120 1 2 y 3 z 1 2 x y 3 sin 150 整理得 xy 2yz 3xz 243 仿例1可解下题 例2 若x y z R 且 x2 y2 xy 1 1 y2 z2 yz 3 2 z2 x2 zx 4 3 求x y z的值 1988年西安市高中数学竞赛题 解法略 例3 求cos210 cos250 sin 40 sin 80 的值 1991年全国高中数学联赛试题 图2 例2求值图示 分析与解 因为 10 50 40 80 180 所以联想到构造一个以60 40 80 为内角的 三角形ABC 其三边分别为a b c 在 ABC中 运 用余弦定理得 a2 b2 2abcos 60 c2 即 图3 例4证明图示 a2 b2 ab c2 再由正弦定理得 sin280 sin240 sin 40 sin 80 sin260 即 cos210 cos250 sin 40 sin 80 3 4 2 证明问题 例4 设0 2 求证 1 1 sin 1 1 cos 3 22 证明 因为0 2 所以0 2 2 且 2 2 于是联想到构造以 2 2 为内角的Rt ABC 其三边分别为a b c 则 371 第3期宇永仁 解数学竞赛题中的几何构造方法 1995 2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 1 1 sin 1 1 cos 1 c a 1 c b c2 a b c ab ab a2 b2 a b a2 b2 ab ab 2 ab 2ab 2ab ab ab 3 22 当且仅当a b时 即 4 时等号成立 例5 正数a b c A B C 满足条件 a A b B c C K 图4 例5证明图示 求证 aB bC cA K2 第21届全苏中学生 数学竞赛题 分析与证明 抓住a A b B c C K且a b c A B C R 的条件构造以K为边长 的正三角形MNP 使得三边满足条件 如图 因为S RMQ S SQN S PRS S MN P 即 3 4 cA aB bC 3 4 K2 所以aB bC cA K2 仿此可证 若x y z 0 1 则 x 1 y y 1 z z 1 x 0 若a b c时 则 式右边 0 而左边 0 所以 式成立 若a b c时 构造以a b c为边长的 ABC 在 ABC中 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 即 a b 2 c2 2 ab 1 cos C 所以a b c 4abcos2 C 2 a b c 同理可得 b c a 4cbcos2 A 2 a b c c a b 4cacos2 B 2 a b c 三式相乘得 a b c c a b b c a 64a2b2c2cos A 2 cos B 2 cos C 2 2 a b c 3 因为A B C 所以易证 0 x z y z z x x y z x x y y z 由三角形中两边之和大于第三边定理可构造以x y y z z x为边的 ABC 由海伦公式得 571 第3期宇永仁 解数学竞赛题中的几何构造方法 1995 2007 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved S ABC xyz x y z 1 但S ABC 1 2 x y y z sinC 1 2 x y y z 所以 x y y z 2S ABC 2 当x 1 y 2 1 z 1时 取等号 所以 x y y z min 2 参考文献 1 余红兵 严镇军 构造法解题 M 合肥 中国科技大学出版社 1992 2 金朝枢 苏键一 宇永仁 高中数学解题方法与技巧 M 沈阳 辽宁人民出版社 1994 181 218 3 张理科 高中数学竞赛中常用的思想方法 J 中学数学 1993 4 41 43 4 杨新建 构造三角形解题 J 数学通讯 1994 1 20 22 5 王定国 罗会元 构造三角形解竞赛题初探 J 中学数学 1973 7 76 78 Geometry construction method in solving mathematics competition problems YU Yong2ren College of Mathematics and Systems Science Shenyang Normal University Shenyang110034 China Abstract Basing on the charactersof triangle we discussed how to solve mathematic competition problem by building a triangle presented the methods of analyzing problem and building triangle and applied these methods for three kinds of problems They are calculating proving and getting extremum problems The re2 sult indicates the way of geometry can provides us a simple and effective way to solve the complicated alge2 braic problem in mathematics competition Key wo