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控制系统的稳定性分析 2011年5月16日 2 Lyapunov稳定性定义系统状态的运动及平衡状态稳定性的定义Lyapunov第一法Lyapunov第二法 第三章控制系统的稳定性分析 对非线性系统 一般有多个平衡点 1系统稳定性概述 一 稳定性的基本概念 1 平衡状态 设为方程的解 如果存在 对所有的t使得成立 称状态为上述系统的平衡状态 对 若A非奇异 唯一的平衡点 线性定常系统 若A奇异 平衡点 非唯一 有则称是Lyapunov意义下的稳定 如果系统的初始状态在内 任意时刻状态都在内 即 2 稳定的概念 以平衡点为球心 取和为半径 在n维状态空间作出两个球域 任意取的正数 可以任意小 是取定后看能否找到的 1 Lyapunov意义下的稳定 其中 一般应与有关 如与无关 称为是一致稳定 定常系统是一致稳定的 若且与无关 则为全局一致渐近稳定 若 则为全局渐近稳定 不管初始值偏离平衡点多大 状态空间中任意点 都具有渐近稳定特性 状态空间中只能有一个平衡点 不仅具有Lyapunov意义下的稳定 并且 则为渐近稳定 若与无关 则为一致渐近稳定 定常系统是一致渐近稳定 2 渐近稳定 线性系统若是渐近稳定 必为全局渐近稳定 非线性系统一般只能是小范围渐近稳定 3 不稳定 则平衡点是不稳定的 无论取得多小 从球域出发的运动轨迹都会越出球域 单摆是渐近稳定的例子 从上述定义看出 球域限制着初始状态的取值 球域规定了系统自由响应的边界 如果为有界 则称稳定 如果不仅有界而且有 收敛于原点 则称渐近稳定 2Lyapunov第一法 基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性 1 对于线性定常系统 只需解出特征方程的根即可作出稳定判断 2 对于非线性不很严重的系统 则可以通过线性化处理 然后再根据其特征根来判断系统的稳定性 2 1线性系统的稳定判据线性定常系统 平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部 如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的 则称系统为输出稳定 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数 的极点全部位于s的左半平面 例题4 1设系统的状态方程为 解 1 有A阵的特征方程 系统的状态不是渐近稳定的 2 由系统的传递函数 传递函数s 1位于s的左半平面 故系统输出稳定 2 2非线性系统的稳定性 设系统的状态方程为 平衡状态 为与x同维的矢量函数 且对x具有联系的偏导数 为讨论系统在处的稳定性 可以将非线性矢量函数在领域内展开成泰勒级数 有 在线性化的基础上 1 如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部 则原非线性系统在平衡状态是渐近稳定的 而与R x 无关 2 如果A的特征值至少有一个具有正实部 在原非线性系统的平衡状态是不稳定的 3 如果A的特征值至少有一个的实部为零 系统处于临界情况 原非线性系统的平衡位置的稳定性不能由A的特征值符号来确定 将取决于高价导数项R x 例4 2设系统状态方程为 2Lyapunov第二法 Lyapunov第二法 间接法 基本思路是从能量的观点进行稳定性分析 如果一个系统被激励后 其储存的能量随着时间的推移而逐渐衰减 到达平衡状态时 能量达到最小值 那么这个平衡状态就是渐近稳定的 由于系统的复杂性和多样性 不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系 Lyapunov定义了一个正定的标量函数V x 作为虚构的广义能量函数 然后根据标量函数的导数的符号特征来判别系统的稳定性 二 函数的定号性 正定 仅当时 有时 负定 仅当时 有时 正半定 时 不定 时 可正可负 负半定 时 二次型函数 为实对称矩阵 是的权矩阵 函数的定号性 其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的 而P的定号性由Sylvester准则确定 P为正定的充要条件为 P的各阶主子式大于0 即 P为负定的充要条件为 P的各阶主子式负 正相间 P为正半定的充要条件为 P的各阶主子式为正或零 即 P为负半定的充要条件为 P的各阶主子式满足负定的条件 但其中可以有等于0的 线性系统 通常可取二次型函数为Lyapunov函数 2 Lyapunov稳定性定理 Lyapunov第二法 直接法 一 Lyapunov函数 二 Lyapunov稳定性定理 设系统 假设为它的一个平衡状态 如果标量函数在一个邻域内存在连续一阶偏导数 定理1 若正定 负定 则原点是渐近稳定的 定理2 若正定 负半定 在时不恒为零 则原点是渐近稳定的 定理3 若正定 负半定 在时能恒为零 则原点是Lyapunov意义下的稳定 能量函数 标量函数 定理4 若正定 正定 则原点是不稳定的 推论1 若正定 正半定 在时不恒为零 则原点是不稳定的 推论2 若正定 正半定 在时能恒为零 则原点是Lyapunov意义下的稳定 Lyapunov函数的选取不是唯一的 为负半定 由上述定理 应考察时是否恒为0的情况 可见只有平衡状态时 符合定理2 为渐近稳定 3 选 负定 为渐近稳