第二章拉普拉斯变换.ppt

2 2拉普拉斯变换 前一页 后一页 常用信号的单边拉普拉斯变换 前一页 后一页 前一页 后一页 3 tn n为整数 4 脉冲函数 1 5 sin cos函数 前一页 后一页 Laplace变换的性质 线性性质 齐次可加性 时移 延时 特性位移特性时域微分特性 微分定理 时域积分特性 积分定理 卷积定理终值定理初值定理 一 线性 叠加 比例定理 其次性 可加性 二 时移 延时 特性 前一页 后一页 三 位移特性 前一页 后一页 四 时域微分特性 定理 前一页 后一页 前一页 后一页 Example1 Example2 Example3 Example4 应用Laplace变换的性质计算 说明 初始条件 若初始条件为零 用s替代微分 用1 s替代积分 五 时域积分特性 定理 前一页 后一页 六 卷积定理 前一页 后一页 卷积的定义 前一页 后一页 七 终值定理 八 初值定理 Laplace逆变换 方法 有理分式的Laplace逆变换 二 部分分式展开 F s 的n个极点 特征根 前一页 后一页 特征方程 F s 的n个极点 复数根 共轭成对 重根 重根 前一页 后一页 极点在复平面上的分布 F s 有单实极点F s 有共轭单极点F s 有重极点 F s 有单实极点 S1 S2 Sn 前一页 后一页 解法1 留数定理 复变函数论 解法2 前一页 后一页 前一页 后一页 Ki的求解方法二 例 前一页 后一页 解 A s S3 3S2 2S s1 0 s2 1 s3 2 2 F s 有单共轭单极点 前一页 后一页 F s 有一对共轭单极点S1 2 j 则 A s B s 为s的实系数多项式 前一页 后一页 例 前一页 后一页 解 令A s 0 前一页 后一页 3 F s 有重极点 前一页 后一页 F s 在S S1处有r重极点 前一页 后一页 f t F s f t 由F s 的极点 零点所确定 前一页 后一页 左半S平面的共轭极点对应衰减的振荡 右半S平面的共轭极点对应增长的振荡 虚轴上的共轭极点对应时间函数为等幅振荡 实轴上的极点对应时间函数按极点的阶数不同 具有e at te at 的函数形式 实极点之一 前一页 后一页 jw 1 s 1 s2 1 s3 t t2 t t t 0 t t t 0 t t2 t 1 实极点之二 前一页 后一页 jw 1 s a a 0 e at t 0 t 0 t 1 1 s a a 0 a eat t jw a 虚轴上的共轭极点 前一页 后一页 jw jw0 jw0 jw jw0 jw0 t 左 右半S平面的共轭极点 前一页 后一页 t 拉普拉斯变换在控制工程中的应用 复频域分析法 利用拉氏变换分析系统 前一页 后一页 求解微分方程 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型 在给定外作用和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 系统结构和参数变化时分析较麻烦 用拉氏变化法求解微分方程时 可以得到控制系统在复数域的数学模型 传递函数 求传递函数 前一页 后一页 y t T f t 微分方程 y t 拉氏变换 Y s N F s 代数方程 拉氏反变换 一 微分方程的变换解 例 解 前一页 后一页 求全响应y t 前一页 后一页 前一页 后一页 由系统的特征根 固有频率 确定 由F s 的极点确定 所以与f t 的函数形式确定 Re Si 0 瞬态响应 稳态响应 前一页 后一页 f t 因果函数 二 传递 系统 函数 若初始条件为零 t 1 g t G s G s 如何计算 1 根据定义 由微分方程入手 2 g t G s 前一页 后一页 微分算符用s来表示 性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数 m n 且所具有复变量函数的所有性质 性质2G s 取决于系统或元件的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 无关 传递函数的性质 性质3G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数 性质4如果G s 已知 那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应 性质5如果系统的G s 未知 可以给系统加上已知的输入 研究其输出 从而得出传递函数 一旦建立G s 可以给出该系统动态特性的完整描述 与其它物理描述不同 传递函数数学模型是 表示 输出变量和输入变量微分