最大流最小割定理.docx

最大流最小割默认分类 2010-06-20 15:39:10 阅读293 评论0 字号：大中小订阅 最大流问题最大流问题是一类极为广泛的问题。不仅在交通运输网络中有人流、车流、货物流、供水网络中有水流、金融系统中有现金流、通讯网络中信息流等。五十年代，Ford(福特)、Fulkerson(富克逊)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。网络与流的概念对于有向图D=(V,A)，如果V中有一发点vs（亦称源还有一收点（亦称为汇）记为vt其余均为中间点，且对A中的每条弧均有权W(vi,vj)?0（简记为Wij，并称为弧容量），则称这样的赋权有向图D为容量网络，记为D=(V,A,W)。通过D中弧(vi,vj)的物流量fij，称为弧(vi,vj)的流量。所有弧上流量的集合f=fij称为该网络D的一个流。最大流最小截量定理： 任一网络D中，最大流的流量=最小截集的截量。最大流算法的邻接阵实现1. 最大流最小割定理介绍：把一个流网络的顶点集划分成两个集合S和T，使得源点s S且汇点t T，割(S,T)的容量C(S,T) =Cuv, 其中uS且vT。从直观上看，截集(S,T)是从源点s到汇点t的必经之路，如果该路堵塞则流从s无法到达t。于是我们可以得到下面的定理：最大流最小割定理：任意一个流网络的最大流量等于该网络的最小的割的容量。这个定理的证明这里就不给出了，可以参考图论方面的资料。2. 求最大流的Edmonds-Karp算法简介：若给定一个可行流F=(Fij)，我们把网络中使Fij=Cij的弧称为饱和弧，FijCij的弧称为未饱和弧。如果流网络中从i到j没有弧，我们添加一条从i到j且容量Cij=0的弧，这样整个流网络变成一个完全图。如果从i到j有流量Fij，则从j到i的流量定义为Fji = -Fij 。考虑一条从源点s出发到汇点t的路径p，如果对于每一段弧(i,j)属于p都有Fij Cij，即每一条属于p的弧都是未饱和弧，则我们可以向这条路径上压入更多的流，使得其中的一条弧达到饱和。这样的路径p叫做可改进路，可压入的流量叫做该可改进路的可改进流量。重复这个过程，直到整个网络找不到一条可改进路，显然这时候网络的流量达到最大。Edmonds-Karp算法就是利用宽度优先不断地找一条从s到t的可改进路，然后改进流量，一直到找不到可改进路为止。由于用宽度优先，每次找到的可改进路是最短的可改进路，通过分析可以知道其复杂度为O(VE2)。Edmonds-Karp算法的伪代码如下：设队列Q-存储当前未检查的标号点，队首节点出队后，成为已检查的标点；path - 存储当前已标号可改进路经；repeat path置空; 源点s标号并进入path和Q; while Q非空 and 汇点t未标号 do begin 移出Q的队首顶点u; for 每一条从u出发的弧(u,v) do if v未标号 and 弧(u,v)的流量可改进then v进入队列Q和path; end while if 汇点已标号then 从汇点出发沿着path修正可改进路的流量;until 汇点未标号;Edmonds-Karp算法有一个很重要的性质：当汇点未标号而导致算法结束的时候，那些已经标号的节点构成集合S，未标号的节点构成集合T，割(S,T)恰好是该流网络的最小割；且这样求出的最小割(S,T)中集合S的元素数目一定是最少的。寻找最大流的基本方法是Ford-Fulkerson方法，该方法有多种实现，其基本思想是从某个可行流F出发，找到关于这个流的一个可改进路经P，然后沿着P调整F，对新的可行流试图寻找关于他的可改进路经，如此反复直至求得最大流。现在要找最小费用的最大流，可以证明，若F是流量为V(F)的流中费用最小者，而P是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路，则沿着P去调整F,得到的可行流F一定是流量为V(F)的所有可行流中的最小费用流。这样，当F是最大流时候，他就是所要求的最小费用最大流。注意到每条边的单位流量费用B(i,j)0，所以F=0必是流量为0的最小费用流，这样总可以从F=0出发求出最小费用最大流。一般的，设已知F是流量V(F)的最小费用流，余下的问题就是如何去寻找关于F的最小费用可改进路。为此我们将原网络中的每条弧变成两条方向相反的弧：1。前向弧，容量C和费用B不变，流量F为0；2。后向弧，容量C为0，费用为-B，流量F为0；每一个顶点上设置一个参数CT，表示源点至该顶点的通路上的费用和。如果我们得出一条关于F的最小费用可改进路时，则该路上的每一个顶点的CT值相对于其它可改进路来说是最小的。每一次寻找最小费用可改进路时前，源点的CT为0，其它顶点的CT为+。设cost为流的运输费用，初始时由于F=0,则cost=0,我们每求出一条关于F的最小费用可改进路，则通过cost cost + B(e)*d, （其中eP,d为P的可改进量）来累积流的运输费用的增加量。显然，当求出最小费用最大流时，cost便成为最大流的运输费用了。另外设置布尔变量break为最小费用可改进路的延伸标志，在搜索了网络中的每一个顶点后，若break=true表示可改进路还可以延伸，还需要重新搜索网络中的顶点；否则说明最小费用的可改进路已经找到或者最大流已经求出。这个模版的代码完全按照BFS从源点逐个遍历增广路径,得到最大增广容量,通过不断调整,最后求得最大流量,值得注意的是,最后一次BFS后所标的路线即为最小截集,即所谓的瓶颈,据此很容易求出最小截集的容量。#include #include using namespace std;/邻接阵实现const long MAXN=1000;const long lmax=0x7FFFFFFF;long NetMAXNMAXN;/残余网络long PathMAXN;/增广路径long LvMAXN;/增广路径通过容量queue q;long m,n;/点，边long Start,End;void init()while (!q.empty() q.pop(); memset(Path,-1,sizeof(Path);long Min(long a,long b)return ab?a:b;long bfs() init(); PathStart=0; LvStart=lmax; q.push(Start);while (!q.empty()long t=q.front(); q.pop();if (t=End)break; long i;for (i=1;i=m;+i)if (i!=Start&Pathi=-1&Netti) Lvi=Min(Lvt,Netti); q.push(i); Pathi=t; if (PathEnd=-1)return -1; return Lvm;void print(long n) printf(%ldn,n);void Ford_Fulkerson()long i;long Max_Flow=0;for (i=0;in;+i)long from,to,cost; scanf(%ld %ld %ld,&from,&to,&cost); Netfromto=cost;/cost为剩余量/如果在现有网络上扩展 剩余量为容量-已占用量/最大流结果要加上已流入的量 scanf(%ld %ld,&Start,&End);long step;while (step=bfs()!=-1)/反搜增广路径并调整流量 Max_Flow+=step;long now=End;while (now!=Start)long pre=Pathnow; Netprenow-=step; Netnowpre+=step; now=pre; print(Max_Flow);int main()while (scanf(%ld %ld,&m,&n)!=EOF) Ford_Fulkerson(); return 0;经常看见论文里面提到max flow/min cut theory，总是不太明白，今天花了点时间好好学习了一下，发现其实也就挺简单的两概念。首先说说什么是流（flow） 在一个有向图中，只有出去的边没有进来的边的节点叫做源(source)，只有进来的边没有出去的边的节点叫做汇(sink)，其它的节点进来的边和出去的边应该是平衡的。 边上可以加权值，假设对于一个交通图来说，可以认为边上的权重为一条道路上的最大流量。那么对于图中任意两个节点来说，他们之间可以存在多条路径，每条路径上可以负载的最大流量应该是这条路径上权重最小的那条边所能承载的流量（联想一下“瓶颈”这个词，或者木桶理论）。那么所有的路径上所负载流量之和也就是这两个节点之间所能通过的最大流了（max flow）。 Ford 和 Fulkerson 的算法很简单，把两个节点之间所有路径找到，然后 很直观，很简单。不知道这么简单的算法怎么就用他们的名字命名了，明显谁都想得到的。 此外，介绍一下什么是割。 对于一个图中的两个节点来说，如果把图中的一些边去掉，刚好让他们之间无法连通的话，这些被去掉的边组成的集合就叫做割了。最小割就是指所有割中权重之和最小的一个割。 OK，现在开始进入正题，其实很easy。 最大流-最小割定理（max flow/min cut theory）：对于任意一个只有一个源和一个汇的图来