数学问题处理的方法——映射法.pdf

第34卷第4期 2004年4月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol134 No14 April 2004 数学问题处理的方法 映射法 孙宏凯 牛连杰 河北建筑工程学院 河北 张家口 075024 摘要 从方法论的角度来探讨了映射法及其在数学问题的处理中的作用 关键词 映射法 方法论 收稿日期 2001211223 21世纪的数学教育 强调渗透现代数学思想 培养数学素质 加强应用能力的培养 提 高理性思维及获得新知识的能力 不同的数学分支各有自己特有的方法 如分析数学中的 极限法 计算数学中的迭代法和有限元法等 而在现代数学中 各门知识相互渗透 其中反 映现代数学方法共性的最常用的方法之一 就是所谓的 映射法 1 映射法及其思想 大量的数学问题 很难直接得出结果 而必须经过迂回过程才能解决 映射法 就是通 过矛盾的转化求得问题的解决的方法 严格地讲 映射法包括所研究问题中的关系和解决 问题时所采取的两个步骤 映射和反演 这是两个恰好相反的过程 其一 通过映射 将问题 转化 使之容易解决 其二 再通过反演 将所得结果对应到原问题上 用映射法解决问题 有化繁为简 化难为易 化不可能为可能或化未知为已知的作用 在数 学发展历史上 解析几何学的产生 就是应用映射法的成功典范 它通过坐标系建立了数和点 方程 或函数 和曲线等的有机联系 使数与形达成统一 从而可以方便地应用分析的的方法研究 几何问题 如通过一元微分学研究平面曲线的单调性 凹凸性 切线 峰与谷等性态 下面通过几个具体的问题 从方法论的角度来展示映射法的思想和作用 2 同色三角形问题 问题1 平面上六个点 其中任三点不共线 若用两种不同颜色以直线连结各点 则必 出现一个同色三角形 这是一个几何问题 直接分析与证明 很不方便 但如果通过映射将问题转化 便可以 通过简单的组合论知识及逻辑分析将问题解决 事实上 将点映射为人 两点间的连线映射 为两人间的关系 不同的颜色映射为 认识或不认识 则原问题可重新叙述为 6个人来自 不同的地方 则要么有3个人相互认识 要么有3个人互不认识 证明 任选一人x 将其余5人分为两组 与x认识的记为A组 与x不认识的记为B 组 由鸽笼原理 则两组中至少有一组的人数不少于3 情形 A 组中人数不少于3 若其中有两人相互认识 则加上x 此3人间相互认识 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 否则 A 组中将至少有3人互不认识 情形 B 组中人数不少于3 若其中有两人互不认识 则加上x 此3人间互不认识 否则 A 组中将至少有3人相互认识 3 锁具装箱问题 问题2 某锁厂生产一中弹子锁具 每个锁具的钥匙有5个槽 每个槽的深度可取值为1 2 3 4 5 6个高度单位 如果两个锁具满足 1 两个锁的钥匙有4个槽深度相同 2 其余一槽 的深度相差1 则此两把锁可以互开 请确定方案 使能够互开的锁具分开装箱和标记 这是94年全国大学生建模竞赛B题中的关键性问题 直接分析与解决有一定的困难 如果 将每把锁具的钥匙映射为一个向量 则可以方便地用代数学知识来解决 设向量 a1 a2 a3 a4 a5 表示一把钥匙 ai为第i个槽的深度 向量的模用1 范数来定义 即 a1 a2 a3 a4 a5 容易证明 按模的奇偶性分锁具为两类 则同类中的锁具一定不能互开 事实上 就模为偶数而言 设m n为偶数且分别表示两个向量的模 若m n 则当两 个向量有4个元素相同时 第5个元素相差至少为2 显然一定不能互开 若m n 如果已 知有4个元素相同 则第5个元素也必相同 这是同一把锁具 否则 至少应有2个元素不 同 当然不能互开 对模为奇数可同样论证 广义上说 数学建模的过程或方法 也是映射法的一种形式 数学模型的建立 就是将 现实问题转化为数学问题 从而可用数学的各种方法进行求解或论证 如果把 由现实问题 原型 到数学模型的建立 看作是一种映射 则 将分析模型所得出的结果对应到现实原型 可认为是映射法中的反演过程 4 工科数学中的映射法思想 映射是现代数学中基本的概念之一 也是讨论问题的基本工具 如拓扑学 泛函分析 抽象代数等 在不同的数学分支中 根据集合X Y的不同情况 术语 映射 有着不同的惯 用名称 如 函数 泛函 变换 算子 等 411 对数求导法则 用对数 一种特定的映射 方法 可将原问题中的乘 除 乘幂及开方 分别化为较低层次 的四则运算 对于多因子相乘除 多重根式或幂指函数导数的计算 直接方法有时很繁琐 通过映射 取对数 可使其方便地应用导数的四则运算法则将问题得以解决 如 y x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 两边取对数 有 lny ln x 5 1 2 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 再求导则方便 412 重积分的计算 换元法 坐标变换法 多元函数的重积分计算中的极坐标 柱面坐标及球面坐标变换公式 实质上是重积分换 元法的几种特定形式 它通过引入特定映射 换元 亦即坐标变换 使得原直角坐标系中的 几何图形 积分区域 在新坐标系中易于分析和处理 以二重积分为例 考察 问题3 求由直线y x y 2x与双曲线xy 1 x y 2所围成的位于第一象限的 061数 学 的 实 践 与 认 识34卷 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 平面闭区域D的面积 问题的难点在于平面区域D 不规则 积分限不易确定 如果记 D x y 1 y x 2 1 x y 2 令u x y v y x 解得x u v y uv 在此变换 映射 下 与D对应的D 为D u v 1 u 2 1 v 2 而它是一矩形区域 其积分可方便求得 D的面积 Ddx dy D 1 2v dudv 1 2 2 1 1 v dv 2 1du ln2 2 4 3 变量代换的思想方法 变量代换 就是通过引入映射 函数关系 将矛盾转化 变未知为已知 变不可能为可能 仅以微分方程求解为例 通过映射法 可将齐次方程化为变量可分离方程 将伯努利方程化 为一阶线性方程 将高阶方程降阶 比如 形如y f y y 则通过引入y p 降阶并 转化为p dp dy f y p 进而解之 其它问题中的变量代换的作用与此类似 在此不再赘述 414 现代概率的有效工具 随机变量 随机试验的复杂性与多样性 决定了样本空间的多样性 通过建立样本空间S到实数 域R的一个映射 T S R e x T e 引入随机变量的概念 使得可以利用数学分析 的方法来研究随机试验 奠定了现代概率的基础 5 结束语 以上只是从几个不同的问题分析和探讨了数学中处理问题常用的方法 映射法 事 实上 映射法是数学各分支中的一种普遍的方法 而且在历史上 数学家曾利用映射和反演 解决了许多数学难题 如2的无理性 实数的不可数性及几何三大难题等 面向21世纪的数学教育 努力突出数学的基本思想和方法 加强数学方法的研究和运 用 并在教学中得以体现 将有其重要的现实意义 参考文献 1 同济大学应用数学系 微积分 上 M 高等教育出版社 1999 2 周述岐 数学思想和数学哲学 M 中国人民大学出版社 1993 MappingM ethod TheM ethod of Solving Mathematics Problems SUN Hong2kai N I U L ian2jie Hebei Institute of A rchitecture and Civil Engineering Zhangjiakou 075024 China Abstract This article has discussed the mapping method from the angle of methodology and analyz