材力讲稿ch82.ppt

1 版权所有 2000 2005 c 华中科技大学力学系 华中科技大学力学系 材料力学 Copyright 2000 2005 c Dept Mech HUST China Tel 027 87543837 MechanicsofMaterials 2 第八章能量法 8 1杆件的应变能克拉贝隆原理 8 2卡氏定理互等定理 8 3虚功原理 8 4单位力法图乘法 8 5超静定问题力法正则方程 8 6冲击应力 3 8 3虚功原理 一 可能内力可能位移 可能内力能与外力保持平衡的内力 称为可能内力 对于静定结构 可能内力就是真实内力 对于超静定结构 可能内力有无限多种 只有同时满足变形协调条件的力才是真实内力 可能位移满足位移边界条件和变形连续性条件的位移称为可能位移 4 8 3虚功原理 当如图结构承受外载荷作用时 如果不考虑物理方程和变形协调方程 支座反力有无数多组解 因而结构的内力也有无数多种分布 这些内力均满足力边界条件 都是该结构的可能内力 对于该结构 如果仅考虑梁的弯曲变形 则任一给定的挠曲线方程 如果满足 由于该挠曲线满足位移边界条件 所以都是该结构的可能位移 5 8 3虚功原理 二 虚位移虚功原理 下面用悬臂梁的受均不载荷作用导出虚功原理 6 8 3虚功原理 如图一悬臂梁 受均布载荷作用 处于平衡状态 现在给该梁一个充分小的可能位移 即虚位移 由于该虚位移很小 可认为它不影响梁的真实内力 根据虚位移的定义 它还满足位移边界条件 由梁微段的平衡微分方程 将上式两边分别乘以 并在整个梁上积分 7 8 3虚功原理 又有 将上式左边的第一个积分施行分部积分 有 利用梁端部的力边界条件和位移边界条件 A B 8 8 3虚功原理 梁的自由端 梁的固定端 将边界条件代入式 B 有 C 将式 C 代入 A 有 外力在虚位移上作的功 内力在虚变形上作的功 D 9 8 3虚功原理 外力虚功记为 内力虚功 忽略剪切力 记为 式 D 可写为 可变形固体的虚功原理 虚功原理 在外力作用下处于平衡的结构 任意给它一个虚位移 则外力在虚位移上所做的虚功 等于结构内力在虚变形上所作的功 外力虚功全部转化为结构的虚应变能 适用于一般变形固体 不要求线弹性条件 10 8 3虚功原理 如果一根梁承受多种 拉压 弯曲 扭转 类型的载荷 则内力虚功一般可表示为 相应的外力虚功为 则虚功原理的形式为 11 8 4单位力法图乘法 利用虚功原理可建立求杆件或杆系结构某点位移的一般方法 单位力法 利用虚功原理推导单位力法的思路 2 以杆件在外加载荷作用下的真实位移为虚位移 以施加单位力后的杆件为考察对象 应用虚功原理 3 根据虚功原理 外力虚功等于内力虚功 1 欲求杆件上某点沿某一方向的位移 则单独在杆件上施加一与待求位移对应的单位力 可求出在此单位力作用下的杆件内力 记为 外力虚功 以施加单位力的杆件为考察对象 内力虚功 是代求的位移 12 8 4单位力法图乘法 单位力法的具体公式 施加单位力的杆件的内力 在虚变形 实际载荷引起的变形 上所作的功为 上式就是求解位移的单位力法 又因为 所以有 适用条件 13 8 4单位力法图乘法 此式又称为莫尔定理 上面的积分称为莫尔积分 应理解为广义位移 如果求出的积分是负值 则表明位移与所假设的单位力方向相反 思考 莫尔定理的适用范围是什么 14 8 4单位力法图乘法 图示矩形截面悬臂梁 在自由端受横力F作用 材料的物理关系为 是材料常数 试计算其自由端的挠度和应变能 由莫尔积分 行不行 为什么 15 8 4单位力法图乘法 设梁中性层的曲率为 则有 根据平截面假设 又 所以 适用吗 材料非线性 不能使用莫尔定理 必须从单位力法的原始公式出发 16 8 4单位力法图乘法 距离自由端X处的弯矩为 又 所以 又 代入单位力法的公式 基于虚功原理 不受材料性质限制 有 根据单位力法 在梁自由端作用一向上的单位力 则有 17 8 4单位力法图乘法 结构的应变能为 所以 18 8 4单位力法图乘法 平面直角刚架两段的EI和EA分别相等 是求C点的铅直位移 解 采用单位力法 因为材料为线弹性 所以可以直接使用莫尔定理 在求解刚架时 一般假设使刚架内侧受压的弯矩为正 取如图坐标 刚架两段的弯矩 轴力分别为 BC段 AB段 由于要求C点的铅直位移 在C点施加铅直的单位力 则有 单位力引起的弯矩分别是 19 8 4单位力法图乘法 根据莫尔定理 正值表明 位移的方向与单位力相同 即向下 讨论 如果b a 且杆为圆截面 直径为d 则有 20 8 4单位力法图乘法 第一项是弯曲引起的位移 第二项是由轴力引起的 第二项相对第一项而言很小 所以在求刚架位移时 一般都忽略轴力的影响 21 8 4单位力法图乘法 如图 四分之一圆弧小曲率圆截面杆 圆半径为R EI GIP为常数 求B点的铅直位移和转角 解 对于小曲率杆