动力系统模型.doc

A First Course in Mathematical Modeling (Third Edition)Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. FoxChina Machine Press数学建模(原书第3版) 叶其孝 姜启源 等译 机械工业出版社第1章 对变化进行建模引言 为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模.简化 比例性 多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性.定义 两个变量和是(互成)比例的,如果,我们记为.从几何上看,关于的图形位于通过原点的一条直线上. 例1 测试比例性做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据表1-1 弹簧质量系统质量50100150200250300350400450500550伸长1.0001.8752.7503.2504.3754.8755.6756.5007.2508.0008.750弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线.图1-1 来自弹簧质量系统的数据看来该数据遵从比例性法则，伸长与质量成比例，或者说。该直线看似通过原点。在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于直线上的两点和来估计比例系数（直线斜率）：因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。图1-2来自弹簧质量系统的数据和比例性模型直线对变化进行建模对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：未来值=现在值+变化人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。在这种情形中，可以先按照公式：变化=未来值-现在值来研究变化。1.1 用差分方程对变化进行建模定义 数列的一阶差分是例1 储蓄存单考虑一开始价值为1000美元的储蓄存单在月利率为1%的条件下的累积价值。下面的数列表示该储蓄存单逐月的价值：其一阶差分为： 注意，一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化，在储蓄存单的例子中即是所得的利息。如果是月数而是个月后储蓄存单的价值，那么每个月价值的变化（或者利息增长）由第个差分来表示。即有如下的差分方程我们还知道一开始的存款（初值），于是就得出了以下动力系统模型其中，是个月后储蓄存单的价值。由于表示非负整数，故上面的方程可以表示为无穷多个代数方程，称为动力系统。动力系统能够描述从一个周期到下一个周期的变化。知道了该序列中的某一项，就可以通过差分方程算出紧接着它的下一项，但是不能直接算出任意特定项的值（例如，100个周期后的储蓄值）。修改一下这个例子，如果要从账户中每月提款50美元，那么一个周期里存款的变化就应该是该周期里挣的利息减去月提款：在大多数例子中，用数学方式描述变化不会像这里所说的那样精确，常常需要画出变化，观察模式，然后用数学术语来描述变化。即，试图寻求变化可能是数据序列中前一项的函数（就象没有月提款的情形），或者还包含某些外来项（诸如上面提到的题款数或涉及周期的一个表达式）。即例2 抵押贷款买房六年前，你的父母筹措月利率为1%、每月还款为880.87美元的20年贷款资金80000美元买了房子。他们已经还款72个月，同时想知道他们还欠多少抵押贷款，他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清欠款。或者他们可以重新根据偿还期长短，以不同利率偿还抵押贷款。每个周期欠款额因要付的利息而增加，又因每月还款而减少：求解并加进初始条件就给出了下面的动力系统模型其中表示第个月后的欠款.因此:就给出了序列该序列的前13项数据如表1-2所示表1-2 欠款额度表月012345678980000.0079919.1379837.4579754.9679671.6479587.4879502.4979416.6479329.9479242.37也可以用图1-3表示图1-3 逐月欠款额 我们来总结一下例1和例2中介绍的重要思路.定义 一个动力系统就是序列各项之间的一种关系.动力系统的数值解就是满足该动力系统的一张数据表.习题1写出能对所述情景的变化确切建模的动力系统的公式1.目前你在储蓄账户上有月付利息为0.5%的存款5000美元,你每个月再存入200美元.2.你的信用卡上有月付利息1.5%的欠款500美元.你每月偿还50美元并且不再有新的欠款.3.你的父母正在考虑一项贷款期限30年、每月要支付0.5%利息的100 000美元抵押贷款，试建立一个能够在360次付费后还清借款的用月供表示的模型。提示：如果表示n个月后的欠款，那么和表示什么呢？4.你的祖父母有一份养老金（年金）。每月把上一个月结余的1%作为利息自动存入养老金。你的祖父母每月初要取出1000美元作为生活费用。目前他们的养老金为50 000美元。试用动力系统对养老金建模。养老金会用光吗？什么时候用光？提示：当养老金用光时，的值为多少？研究课题你希望买一辆新车而且选择范围只限于Saturn、Cavalier和Hyundai三家公司。每家公司都向你提供其最优惠的交易条件：Saturn 车价13 990美元 预付定金1000美元 月利率3.5%直到60个月Cavalier车价13 550美元 预付定金1500美元 月利率4.5%直到60个月Hyundai 车价12 400美元 预付定金500美元 月利率6.5%直到48个月你每个月为买车最多能支付475美元。利用动力系统模型决定你应该买哪家公司的车。1.2 用差分方程近似描述变化在大多数例子中，数学地描述变化不会像前节给出的储蓄存单和抵押贷款案例中那样有确切的步骤。一般情况下，我们必须画出变化，观察模式，然后再用数学术语来近似描述变化：例1 酵母培养物的增长图1-4中的数据是从测量酵母培养物增长的实验收集来的。图形显示可以假设种群量的变化和当前种群量的大小成比例。即，其中表示n小时后种群生物量的多少，而是一个正常数。的值依赖于时间的测量。表1-3 酵母培养物随时间变化的数据时间n（以小时计）01234567酵母生物量9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3生物量的变化8.710.718.223.948.055.582.7图1-4 酵母培养物增长对以小时计的时间虽然该数据的图形并不恰好位于过原点的一条直线上,但是可以用一条过原点的直线来近似.我们估算出该直线的斜率大约为0.5.利用直线斜率的估计,我们假设比例模型为它给出预测.这个模型预测种群量总是增长的,这是可疑的.模型的改进:对出生、死亡和资源的建模如果在一个周期里出生和死亡都和种群量成正比，那么例1所说明的那样种群量的变化应该和种群量成正比。但是，某些资源（例如食物）只能支持某个最大限度的种群量而不能支持无限增长的种群量。当接近这个最大限度时，增长就会慢下来。例2 再论酵母培养物的增长表1-4 酵母培养物随时间变化的数据时间n01234567酵母生物量9.618.329.047.271.1119.1174.6257.38.710.718.223.948.055.582.793.4时间n89101112131415酵母生物量350.7441.0513.3559.7594.8629.4640.8651.190.372.346.435.134.611.410.34.8时间n161718酵母生物量655.9659.6661.83.72.2图1-5酵母生物量趋近一个极限种群量水平从上面的数据表可以看出当资源变得更为有限或受到更多限制时，每小时种群量的变化就变得比较小。从种群量对时间的图形看，种群量趋于一个极限值或容纳量，我们根据图形估计容纳量为665（实际上，图形并不能确切地告诉我们容纳量是665而不是664或666）。然而趋近665时，变化确实大大减慢了。因为当趋近665时，变得更小了，我们尝试以下模型这造成了当趋近665时，变化变得越来越小。数学上，这个假设的模型说明变化和乘积成比例。为测试模型，画出对的图形，看看是否存在合理的比例性，然后来估算比例系数。图1-6测试受限制的增长模型考察图1-6,我们看到对的图形确实合理地近似于过原点的一条直线.我们估计该直线的斜率约为,这样我们就给出如下的动力系统模型:上面的模型也可以写成该模型右边关于是二次的，这种动力系统是非线性的。而且一般不能求得解析解。即通常不能直接求出用来表示的公式解。但是，给定初值，我们可以依次代入该模型得出数值解（一张数据表）。模型的检验将模型预测的数值解与观察值在画在同一幅图形中比较，可以看出我们的模型很好地抓住了所观察到的数据的趋势。图1-7模型的检验 例3 接触性传染病的传播假定学院宿舍里有400个学生而且一个或更多个学生得了严重的流感。令表示n个时间周期后（例如n天后）受感染的学生数。假设在已经感染的学生和尚未感染的学生之间存在某种相互作用使疾病得以传播,如果所有人对于该传染病都是易感的,那么就表示易感而尚未感染的学生.如果已经感染的学生在继续传播疾病,那么我们可以认为变化的已感染者数量(新增的感染者)和已感染者与尚未感染者的乘积成比例:这里我们虽然没有数据,但从酵母生物量的例子中可以想到,感染者的数量曲线也是S形的.这个模型可以有许多改进.例如,我们可以假设一部分人不易被感染、或者感染周期是有限制的、或者为防止和未感染者的相互作用，已感染的学生都搬出了宿舍。更复杂的模型甚至能分别处理已感染人口和易感染人口。例4 血流中地高辛的衰减地高辛用于治疗心脏病，医生开的处方上的剂量应能保持血流中地高辛的浓度高于一个有效水平值而又不能超过一个安全水平值（对不同的病人，这些值会有所不同）。对于血流中初始剂量为0.5毫克的情形,表1-5展示了该病人n天后其血流中地高辛的剩余量,以及每天的变化量.表1-5 病人血流中地高辛的变化n0123456780.50.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026-0.155-0.107-0.074-0.051-0.035-0.024-0.017-0.011图1-8是根据上表数据画出的对的散点图.图形展示了在一个时间段里的变化和该时间段开始时血流中地高辛的含量大致成比例.过原点的比例直线的斜率,所以我们有.从而得到下面的动力系统模型:图1-8 对的图形表明其为过原点的直线习题21. 从引进到塔斯马尼亚岛的新环境里的羊群数量的增长得到下面的数据。年181418241834184418541864数量125275830120017501650 根据数据画出图形.能看出某种趋势么?画出1814年后数量变化对年份 的图形.构建一个能合理描述你所观察到的变化的离散动力系统.2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据年份人口年份人口17903 929 000190075 995 00018005 308 000191091 972 00018107 240 0001920105 711 00018209 638 0001930122 755 000183012 866 0001940131 669 000184017 069 0001950150 697 000185023 192 0001960179 323 000186031 443 0001970203 212 000187038 558 0001980226 505 000188050 156 0001990248 710 000189062 948 0002000281 416 000 求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。3. 社会学家识别出一种称为社会扩散的现象，即在人群中传播一段信息、 一项技术革新或者一种文化时尚。人群可以分为两类：知道该信息的人 和不知道该信息的人。在人群数目已知的情形下，可以合理地假设扩散 率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例。然后记 为总数为N的人群在n天后已经知道该信息的人数，构建一个能近似表 示人群中已经知道该信息的人数变化的动力系统。4. 虑在人口总数为N的孤岛上一种传染性很强的疾病的传播问题。一部 分岛上的人到岛外旅行并患上这种疾病回到岛内。构建一个能近似表示 患病人数变化的动力系统。5. 假设我们考虑鲸鱼的生存问题，如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平 的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于，因为环境无法支持，数量 将会下降。在下面的模型中，表示n年后的鲸鱼数量；试讨论模型 6. 假设存在某种药物,当其浓度大于100毫克/升时,可以治疗疾病,药物的 初始浓度为640毫克/升.从实验知道该药物以每小时现有量的20%的比 率衰减. (a)构造一个表示每小时浓度的模型. (b)建立一张浓度值表并确定何时浓度达到100毫克.7. 利用习题6研制的模型开一个初始剂量处方,以及一个能把浓度保持在 高出有效水平500ppm(即百万分之500或万分之五)但低于安全水平 1000ppm的维持剂量处方.用不同的值来做实验,直到结果满意为止.8. 附表的数据展示了一辆汽车的速率n(以5英里/小时的增量计)以及从刹 车到停止的(滑行)距离,例如,(表示65=30英里/小时)时所需 的停止距离为. (a)计算并画出变化对的图形,该图形能合理地近似表示一种线性 关系么? (b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型,通过画 出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型,讨论模型的正确性.13911226101403111117142112204532132416471428276515325887163761.3 动力系统的解法 例1 再论储蓄存单在储蓄存单例子中,储蓄存单一开始存有1000美元,每月按结存的1%付给利息.如果既不存款也不取款,那么就确定了以下动力系统.容易看出该动力系统的解为Th1 对为非零常数的线性动力系统,它的解为例2 污水处理一家污水处理厂通过去掉污水中所有的污染物来处理未经处理的污水,以生产有用的肥料和清洁的水.该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12%.1天后处理池中将留下百分之几的污物?要多长时间才能把污物的量减少一半?要把污物减少为原来的10%,要多长时间？，为常数时的长期行为(1)的情形;(2)的情形(3)的情形:此时序列是无界的（例如储蓄存单例子）(4)的情形：此时序列是振荡的（即相邻两项相差一个符号）例如：的图形(5) 的情形： 如果，那么，地高辛的例子提供了一个例证。 如果，那么，但此时序列将变号地趋于0。例如线性动力系统 (6) 的情形的动力系统，其中和均为常数定义：当时，如果对所有的有，则将数称为动力系统的平衡点或不动点。即是该动力系统的常数解。推论：是的平衡点的充要条件是当时，。例3 地高辛处方再次考虑地高辛问题。如何考虑地高辛在血流中的衰减问题，以开出能使地高辛浓度保持在可接受（安全而且有效）的水平上的剂量处方呢？假定开了每日0.1毫克的地高辛剂量处方，而且知道在每个剂量周期末还剩余一半地高辛。这就导致了下面的动力系统现在考虑三个初始剂量A：；B：；C：；表1-6以及图1-9给出了三种初始剂量下的数值解表1-6 三种地高辛初始剂量的数值解ABC00.10.20.310.150.20.2520.1750.20.22530.18750.20.212540.193750.20.2062550.1968750.20.20312560.19843750.20.201562570.199218750.20.2007812580.1996093750.20.20039062590.19980468750.20.2001953125100.199902343750.20.20009765625110.1999511718750.20.200048828125120.19997558593750.20.2000244140625130.199987792968750.20.20001220703125140.1999938964843750.20.200006103515625150.1999969482421880.20.200003051757813图1-9三种地高辛初始剂量的数值解 注意到0.2是一个平衡点，因为一旦达到了这个值，系统永远停在0.2处。此外，如果从低于平衡点或高于平衡点的初值开始，那么显然会趋于平衡点作为其极限。例4 投资年金讨论活期存款账户问题并考虑年金（养老金）问题。年金常常是为退休目的而规划的。年金基本上是活期存款账户，对现有的存款付给利息而且允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。一个有趣的问题是确定每月必须存入的存款数以建立一笔允许提款的年金，使得在账户中的存款用尽之前，能在计划的年数期间从某个年龄开始每月提取规定的款项。现在考虑月利率为1%以及月提款额为1000美元的情形。可以建立如下动力系统模型：我们考虑下面的三种初值情形A：；B：；C：；图1-10给出了三种情形下的数值解图1-10 三种初始投资的年金注意到是该动力系统的一个稳定点,因为一旦达到这个值,序列中的项将不再变化.但是如果我们的初值高于这个平衡点,就会导致序列中的项的数值将无限增长(试对的情形画出图形).另一方面,如果我们从低于100000美元的初值开始,那么存款将以不断增加的速率取尽(试对的情形画出图形).注意即使初值仅相差0.02美元,动力系统解的长期行为也会有巨大差异.在这种情形下,我们说该平衡点是不稳定的,而在地高辛处方的例子中,我们称0.2这个平衡点是稳定的.例5 活期储蓄账户大多数学生不可能在其活期储蓄账户中保持足够的存款以获取一点点利息.假定你有一个无息账户,而且每个月你只支付宿舍租金300美元,这就给出了动力系统:显然在初值的情形下,该动力系统的数值解图形如下图1-11 支付宿舍租金的活期储蓄账户现在把迄今的观察结果集中起来,按照常数的值来对三个例子及其长期行为进行分类.求平衡点并对其进行分类确定是否存在平衡点并将其分为稳定的或不稳定的,这将有助于分析该动力系统的长期行为.在例3(地高辛处方)中,怎么知道0.2的起始值会导致常数解或平衡点呢?类似地，怎么知道例4（年金问题）中对于投资100000美元的同样问题的答案呢？对于形为：的动力系统，如果存在平衡点的话，根据平衡点定义不难看出，平衡点必将满足由此容易求出如果，那么每个初始值都将导致常数解（平衡点）。因此每个值（起始值）都是平衡点。下面的定理总结了我们的观察。Th2 动力系统的平衡点就是，如果而且，那么每个数都是平衡点。如果而，那么平衡点不存在。并且有：有稳定平衡点；有不稳定平衡点；没有平衡点或者图形是一条直线。对动力系统的解的猜测在（有稳定平衡点）情形下，注意到因此我们猜测该动力系统的解为：其中c为依赖于初始条件的某个常数（在给定起始值的条件下，）。请同学们对这个解的正确性加以验证。事实上对于的情形也有类似结论。Th3 动力系统的解为，其中c为依赖于初始条件的某个常数。 例6 再论投资年金对于例4中建立过模型的年金问题，需要多少初始投资才能保证20年（240个月）才把它用尽？解：动力系统的平衡点为。设它的解是 ，令 ，解得。所以有因此，初始投资90819.42美元就能使我们在20年里从账户中每月提款1000美元（总的提款额为240000美元）。在20年的年底，账户中的存款就被取尽了。再次考虑酵母生物量的模型:做一些代数运算后,该动力系统可以改写为:其中.由该方程决定的序列的长期行为对参数r的值是非常敏感的.我们从开始,对不同的r值画出了数值解的图形.混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象。输入端微小的差别会迅速放大到输出端。习题31.建立下列初值问题的数值解.画出数据的图形以观察解的模式.存在平衡点吗?平衡点是稳定的还是不稳定的?(a) ;(b) ;(c) ;(d) ;(e) ;(f) .2.你目前有一个月付利息0.5%的活期储蓄账户，其中存款5000美元。你每月加进200美元。建立一个模型并求数值解以确定何时账户中的存款能达到20 000美元。3.你在一张信用卡上欠款500美元，每月要收取1.5%的利息。你可以每月付给50美元而不再对你有新的利息收费。什么是平衡点？有什么意义？求数值解，以确定什么时候能够还清欠款？最后付费为多少？4.求解习题1中的3、4两题的平衡点。研究课题1.你计划拿出一部分薪水作为子女的教育经费。你希望在账户里有足够的存款，使得从现在起20年后开始的8年里，每月能提出1000美元。账户每月付给你0.5%的利息。(a)为完成你的目标，从现在起20年里你总共需要积累多少钱？(b)在以后的20年里你每月必须存入多少钱?2.假设我们正在考虑鲸鱼的生存问题，又假设如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于，因为环境无法支持，数量将会下降。在下面的模型中，表示n年后的鲸鱼数量。对以及求数值解再对不同的M，m，k做实验。试着对若干个的起始值做实验。你的模型有什么预测？1.4 差分方程组例1 汽车租赁公司一家汽车租赁公司在奥兰多和坦帕都有分公司,这家公司是专门为满足在这两个城市开展旅游活动的旅行社的需要而开设的.因此,游客可以在一个城市租车而在另一个城市还车.游客可能在两个城市都有旅行计划.该公司想确定对这种方便的借还车方式的收费应该是多少.因为汽车可以在两个城市归还,每个城市就要有足够的车辆以满足用车需要.如果置放的车辆不够了,那么要从奥兰多运送多少车辆到坦帕或者要从坦帕运送多少车辆到奥兰多呢?对这些问题的回答 将有助于该公司计算出它的期望成本.在分析了历史数据后,可以确定约有60%在奥兰多出租的车辆还到了奥兰多,另外40%的车辆还到了坦帕.在坦帕分公司出租的车中,有70%仍旧还到了坦帕,另外30%的车辆还到了奥兰多.下图是对这种情况的总结. 动力系统模型我们来研究该系统的一个模型.令表示营业天数.定义:第n天营业结束时在奥兰多的车辆数 :第n天营业结束时在坦帕的车辆数因此历史记录显示该系统应该是平衡点该系统的平衡点就是使系统不再发生变化的和的值.如果它们存在的话,分别称之为平衡点和.同时有和.代入到我们的模型中,可以得出和应该满足的方程组:容易看出满足这个方程组.例如,假设公司有7000辆车而且开始时在奥兰多有3000辆车而在坦帕有4000辆车,那么我们的模型预测因此该系统如果在处开始,将保持不变.下面我们研究如果从不同于平衡点的值开始,系统将会怎样.我们取下面四种不同初始值的情形下图给出了四种情形下,系统的数值解.情形1 n01234567奥兰多70004200336031083032.43009.723002.9163000.875坦帕02800364038923967.63990.283997.0843999.125情形2n01234567奥兰多50003600318030543016.23004.863001.4583000.437坦帕20003400382039463983.83995.143998.5423999.563情形3n01234567奥兰多20002700291029732991.92997.572999.2712999.781坦帕50004300409040274008.14002.434000.7294000.219情形4n01234567奥兰多02100273029192975.72992.712997.8132999.344坦帕70004900427040814024.34007.294002.1874000.656从上面的数据及图形来看,四种情形在一周内都是和平衡点(3000,4000)很接近的,甚至在其中一个城市没有车的情形下也是如此.结果暗示平衡点是稳定的而且对起始值并不敏感.基于这些研究,我们倾向于预测该系统趋于平衡点,在那里3/7的车还到奥兰多而余下4/7的车还到坦帕.这些信息对该公司是有帮助的.知道了在每个城市的需求模式,该公司就能估计需要运送多少辆车了.例2 特拉法尔加(Trafalgar)战斗在1805年的特拉法尔加战斗中,由拿破仑指挥的法国、西班牙海军联军和由海军上将纳尔逊指挥的英国海军作战.一开始,法西联军有33艘战舰,而英军有27艘战舰.在一次遭遇战中每方的战舰损失都是对方战舰的10%.分数值是有意义的,表示有一艘或多艘战舰不能全力以赴地参加战斗.动力系统模型令表示战斗过程中遭遇战的阶段并定义:第n阶段英军的战舰数；:第n阶段法西联军的战舰数；于是在第n阶段的遭遇战后，各方剩余的战舰数为下图展示了起始值为和的战斗的数值解。阶段1234567891011英方2723.720.6717.87715.290712.883210.62858.50286.48324.54882.6791法方3330.327.9325.86324.075322.546221.257920.195119.344818.696518.2416上述图形及数据告诉我们，对于全部军力介入的情形，我们看到英军是全面失败，只剩3艘战舰而且其中至少1艘战舰遭到严重损坏。在战斗结束时，经历了11个阶段的战斗以后，法西联军的舰队大约还有18艘战舰。纳尔逊爵士的分割并各个击败战略拿破仑军队的33艘战舰是分成三个战斗编组沿一条直线一字排开的.依次是:A组3艘战舰;B组17艘战舰;C组13艘战舰.纳尔逊爵士的战略是用13艘英军战舰去迎战战斗编组A(另外14艘战舰备用).战斗后存留下来的战舰加上备用的14艘战舰去迎战战斗编组B.最后所有剩下的战舰去迎战战斗编组C.假设在三次战斗中,每一次战斗中每一方战舰损失都是对方战舰的5%.下面的数据展示了每次战斗的数值解.战斗A阶段1234英方军力1312.8512.732512.6471法方军力32.351.70751.070875战斗B阶段英方军力法方军力126.647118.0709225.743616.7385324.906615.4514424.134114.2060523.423812.9993622.773811.8281722.182410.6895821.64799.5803921.16898.49791020.74407.43951120.37206.40231220.05195.38371319.78274.38111419.56373.39201519.39412.41381619.27341.4441战斗C阶段英方军力法方军力119.273414.4441218.551213.4804317.877212.5529417.249511.6590516.666610.7965616.12689.9632715.62869.1569815.17078.3754914.75207.61691014.37116.87931114.02726.16071213.71915.45941313.44624.77341413.20754.10111513.00243.44071612.83042.79061712.69092.14911812.58341.5146我们利用分割并各个击败战略的模型的预测结果与历史上真正发生的战斗结果类似.在纳尔逊爵士领导下的英军舰队确实赢得了特拉法尔加战斗.尽管法西联军没有参加第三次战斗而是把约13艘战舰撤回到了法国.不幸的是,纳尔逊爵士在战斗中阵亡了,但是他的战略却避免了英军损失掉他们的舰队.(实际情况是我们无法得知每次遭遇战中的损失百分比)例3 竞争猎兽模型斑点猫头鹰和隼一种斑点猫头鹰在其栖息地(该栖息地也支持隼的生存)为生存而斗争.假定在没有其他种群存在的情形下,每个单独的种群都可以无限地增长,即在一个时间区间里(例如,一天)其种群量的变化与该时间区间开始时的种群量成正比.设表示猫头鹰在第n天结束时的种群量,表示与之竞争的隼的种群量,那么:, .其中表示增长率.第二个种群的存在将降低另一个种群的增长率.假设这种增长率的减少大约和两个种群之间的可能的相互作用成正比,我们研究下面的差分方程组模型:即, 我们选择特定的系数得到下面具体的方程组平衡点根据前面介绍过的平衡点概念,我们知道若该动力系统的平衡点为,则有,从而平衡点应该满足容易看出平衡点有两个,分别是.下面我们分析两种生物的种群量在平衡点附近时,种群量会有怎样的变化.考虑下面的三种情形:猫头鹰隼情形1151199情形2149201情形31010我们依次将上面三种不同情形对应的起始值带入到我们建立的方程组模型中,得到种群量的数值解,结果用下面的图形表示.对初始条件的敏感性和长期行为分析假定我们在栖息地中安置了350头猫头鹰和隼.如果150头为猫头鹰,那么我们的模型预测猫头鹰将永远停留在150头的数量上.如果从栖息地移走一头猫头鹰(剩下149头),那么我们的模型预测猫头鹰将会灭绝.然而,如果在栖息地安置151头猫头鹰,那么我们的模型预测猫头鹰将会无限增长而隼会消失.由此可见这个模型对初始条件是极其敏感的(不稳定的平衡点).例4 对政党的投票趋势考虑由共和党、民主党和独立派组成的一个三政党系统。假设在下一次选举中，曾经投票给共和党的选民中的75%仍将选票投给共和党，他们中的5%将投票给民主党，而20%将投票给独立派。曾经投票给民主党的选民中的20%将投票给共和党，60%将再次投票给民主党，而20%将投给独立派。曾经投票给独立派的选民中的40%将投票给共和党，20%投给民主党，而40%将再次投票给独立派。假设从一次选举到下一次选举都保持这种趋势，还假设没有额外的选民进入或离开该系统，如图所示令n表示第n次选举，并定义：第n次选举投共和党票的人数；：第n次选举投民主党票的人数；：第n次选举投独立派票的人数；则可以建立下面的动力系统模型：平衡点设平衡点为，则根据平衡点概念，应该有该方程组有无穷多解（为什么？）。就是它的一个解。假定该系统有399998个选民，那么就近似地应该是平衡点。下面我们分析在不同起始值情形下,选民数会有怎样的变化.考虑下面的四种情形:共和党民主党独立派情形1222 22177 777100 000情形2227 22182 77790 000情形3100 000100 000199 998情形400399 998 我们依次将上面四种不同情形对应的起始值带入到我们建立的方程组模型中,得到选票数的数值解,结果用下面的图形表示.对初始条件的敏感性和长期行为分析假定一开始该系统有399998个选民,而且全部留在该系统中.至少对于我们研究的起始值来说,