2019届江苏高考数学二轮复习第二篇第18练导数与函数的单调性、极值、最值试题理.docx

第18练导数与函数的单调性、极值、最值明晰考情1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0；当x(2,0)时，h(x)0.则h(x)在(，2)上单调递增，在(2,0)上单调递减.当x(，0)时，h(x)h(2)10，即当x(，0)时，f(x)ex.证明原题即证exxsin x0，exxsin xexx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，当x0时，有g(x)0，g(x)单调递增；当x0时，有g(x)0，f(x)ex.3.已知函数f(x)lnx，其中常数k0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性.解因为f(x)1(x0，k0).当0kk0，且2，所以当x(0，k)时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k,2)上是增函数；当k2时，k2，f(x)2时，0，所以当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数.综上可知，当0k2时，f(x)在上是减函数，在上是增函数.考点二利用函数的单调性求参数范围方法技巧(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.4.设函数f(x)，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)ex.若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号.结合与条件a0知，ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0知，00)，则f(x)x3.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0，x0，0，令f(x)0，即x10，得x1，f(x)的单调递增区间为(1，).(2)由(1)可得f(x)，a1，即a0时，f(x)在(0,1)上是减函数，f(x)在上的最小值为f(1)1a；当1，即1a时，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，因此f(x)在上是减函数，在上是增函数，f(x)的最小值为f1ln(2a)；当，即a1.(1)求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)对任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna，由于a1，故当x(0，)时，lna0，ax10，所以f(x)0，故函数f(x)在(0，)上单调递增.(2)解由(1)可知，当x(，0)时，f(x)1)，则g(x)120，所以g(x)x2ln x在(1，)上单调递增，故f(1)f(1)a2ln a0，所以f(1)f(1)，于是f(x)maxf(1)a1ln a，故对任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|max|f(1)f(0)|aln a，即aln ae1成立，设h(a)aln a，则h(a)1，所以当a1时，h(a)0，h(a)单调递增.又aln ae1h(e)，所以1ae.即实数a的取值范围是(1，e.例(16分)设函数f(x)a2x2lnx(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)f(x)a2x(x0).1分当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.4分当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sina；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsinx)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sina.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sina.4.已知函数f(x)x2ax2lnx.(1)若函数yf(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1，且f(x1)tf(x2)恒成立，求实数t的取值范围.解(1)因为函数yf(x)在定义域上单调递增，所以f(x)0，即2xa0在(0，)上恒成立，所以a2x(x(0，).而2x24，所以a4，所以实数a的取值范围是(，4.(2)因为f(x)(x0)，由题意可得x1，x2为方程f(x)0，即2x2ax20(x0)的两个不同实根，所以ax12x2，ax22x2，x1,2，所以x1x21.由已知0x1，则x2e.而f(x1)f(x2)(xax12lnx1)(xax22lnx2)x(2x2)2lnx1x(2x2)2lnx2(x22lnx1)(x22lnx2)xx2(lnx