复杂网络研究的一些统计物理学方法及其背景.pdf

第卷第期 年月日 力学进展 复杂网络研究的一些统计物理学方法及其背景 何大韧 刘宗华 汪秉宏 扬州人学物理科技学院 扬州 华东师范 人学理论物理研究所及物理系 上海 中科技大学近代物理系 合肥 摘要介绍近年来 复杂网络似 究中常用 的几种统 计物理学方法平均场理论 主方程 率方程 生成函数 的物理背景 发展历史 观点 思想 和方法回顾了物理学在研究连续相变 自组织临界现象 流 行病传播等 问题 时是如何发展 运用平均场理论 以及平均场理论的思想 方法在从 平衡态向卜平衡态研究的延仲过程中 的演化过程简介了主方程 率方程和生成函数的相关物理思想和概念在最 后一节介绍了一些运用这些方法 研究复杂网络的成 果 包括一此最著名 以及值得注意的网络演化模型的 平均场方法 主方程和率方程方法求 解 一此网络统计性质 的解析求解 以及 一此网络卜物理 过程特征描述的解析分析等 关键词复杂网络 统计物理学 平均场近似 生成函数 引言 复杂网络 研究热潮是 由与年发表 的两篇著名 论文 引起 的 这两篇文章报道许多 实际 网络的共同拓扑统计性质 即 小世界性 和 无标度性 同时 论文作者提出了思想深刻的网 络演化模型 而且运用统计物理学方法从这些模型 解析地得出这些独特规律这是第次把统计物理 学引进网络或者 图 一 沦的研究 因此 与传统的图论 或网络理 论相比 可以说 当前的复杂网络研究的特 征就是统计物理学 的介入 所以复杂网络研究的基 础知识中应该列入统计物理学然而 统计物理学 博大精深 其基础和前沿 的介绍需要若干本学术专 著 的篇幅我们在本文中仅能够根据 白己的理解 挑选很少儿个已经被证明与复杂网络 研究密切 相 关的统计物理学思想 概念和方法 予以简略介绍 介绍的重 点在于物理背景 物理思想 以及这些思 想提出的历史关于这些 方法在求解网络演化模 烈中如 何运用 史定华 教授己经在本期 中专 文 介 绍我们仅 在 本 文最后对这些方法在复杂网络研 究 中得到的成果做简 单 的综述 收稿期 一 一 修 旧 期 一 一 阅家自然科学华金屯点从金资助项目 一 一刀 平均场理论 发展 的物理背景 连续相变及其平均场理论 平均场理论是伴随对连续相变的研究发展起 来的 所以从物理角度介绍平均场理论要先介绍 连续相变常见的一级相变例如物质气 液 司 二态之间的转变的一个特征是具有两相共存的 临界变化阶段 另一个特征是相变时有一些 物理 量会发生突变而二级相变或所谓 连续相变 则 不可 能有两相共存 任何物理 量也不会发 生突变 相变在驱 动参量常常是温度达 到一个 临界值 时 在物质各处 同时突然发生 所以也称为 临界 现象 连续相变的例子有铁磁相变 超导相变 超流 相变 以及合金的有序 一 无序相变等我们用黄铜 作为例 子来说明合金的有序 一 无序相变图显 示 了黄铜的有序图和无序图结构引 自文献在完全有序状态 铜 原 子 处在屯方品 格的中心图中黑点 锌原子 处在立方晶格的角 上图中空 心圆当温度达到临界值绝对 温标 以上 两种位置突然变成完全等价 达到了 图所示的无序状态世纪年代 布喇格提 第期何大韧等复杂网络研究的一些统 计物理学方法及其背景 出 序 参量 来描述这种相变 序参量的定义是 一不 币 尸 下 不 厂 其中是正确位置的原子数 是错误位置的原 子数在完全有序状态 苟一 在临界点 以卜 并 石在临界点以上 二 凡 石一对于所有的连续相变 都可 以定义一个序参 量 使它在临界点的一边 为零 表示相对的无序状 态 而在临界点的另一边 不为零 表示相对的有序 状态卜序参量成为描述连续相变 的最 重要参 月轰 实验科学家们 早就发现连续相变的序参量在 临界点 附近都遵循普遍的幂律无标度律 石汉 亡一 口 而且对许多不同物质 的连续相变 幂律的标度因 子口是相同的式中 是归一化无量纲的温度或 其他驱动参量 亡 是相变的临界参量值 比较 早被用来解释式的统 计物理学 一 具 是所谓 的 平均场理论 其中影 响最人的是前苏联 科学家朗道在年建立的连续相变理论 一 朗道理论 为儿十年后威尔逊用重正化群理 论严格 证明式 井且为解析地得到 实验符合 的标度 因护口数值做好了准 各 丫丫丫丫丫丫 一一 义义义 喊喊喊喊丫丫丫丫丫丫 弄弄弄 父父父父 可可 有书无 了 图黄铜 的无序和有序结构引白文献 一级相变不连续相变具有两相共存 的临界 变化阶段 所以相 变具有清 晰 的界面 只在界面附 近发 生这说明这种相变中 物质分子与其近邻的 其它分 户如何互 相作用 结合 成什么相 主要取决 于分子之间的近邻相 互作用性质所有 分子之间 的 相 互作 用 的总 体效果井不 重 要侮个 分子 周围 环境的 局 部信息 例 如品格常数 晶格 结构 等 对 相变 的性质起了关键作用 与此不 同 三 级 相变连续相变不 具有两相 共存 的临 界 变化 阶段和清 晰 的界面 相变在物质 各处 同 时突然发 生如果相 变状 态只 是很 接近 并不严格 等于连续相变 的临界点 那么两相仍然 可以区分 但相变是 同时在很人一个范围 内发生 的在旧相中各处同时出现 的新相 与旧相互相嵌 套 形成所谓 花斑 这就是一种分形大家知 道 分形的关键特性是显示 一种 跨越 一 切尺度 的 构造法则 所以才具有跨越一 切尺度的统计或 严格 的白相似性这说明这种相变中 物质分 子与其近邻的其它分子如何互相作用 结合成什 么相 主要 取决于跨越一 切尺度的所有分子之 间 的相 互作用的总体效果 而甸个分子周围环境的 局部信息 例如品格常数 品格结构等对相变的 性质井不重要 这也就 是物理学家所说 的 在 连续 相变 的临界 点 关联长度趋于无穷 因此 在二级 相变连续相变中 可 以把跨越一 切尺度 的所有 分子之 间的相互作用 的总体效果等价于一个 平 均场 不去计算局部 的 处处不 同的相互作用情 况这就是平均场方法 的核心思想我们 强调 在 儿十年来许 多问题的平均场方法应用中 重 要的 正是这个核心思想 具体的方法和计算形式常常 随问题而变化 以铁磁相变 为例 实验上旱就知道 当温度 高于 居里点 时 铁磁体中大量的 白旋磁矩 的热运动占土 导地位 使它们 混 乱取向排列的趋 势压倒有序排列的趋势 导致宏观 磁 化强度 拼 为零而当温度低于 居 里点 时 铁磁体 中 大量的 自旋磁矩 的相互作用占土导地位 使它 们有序排列的趋 势 占优 因而 宏观 磁化强度 拜 不为零 出现宏观 尺度卜自旋 磁矩有序排列 形成 的 磁畴 高于 界的相 相对无序而低于 的相中出现了白旋磁矩 有序排 列宏观区域 相 对有序因此 宏观 磁 化强度 拼 就可以被定义为 铁磁 相变 的序参举温度就可 以定义为热力学 相变驱动 参量 朗道理 论 的核心假设是 系统白由能在相变 临界点 附近可 以展 开为序参量的幂级数 只考虑 一个宏观的 势 而 不 是 从微观上讨论近邻分子 相互作用 这正是平均场的思想将白由能展开式 代入热 力学平衡过程要求 的 自由能取极小值条件 就得到序参军 拼 对于热力学相变驱动参髦的依赖 标度律可 以更 一般地把序参量表述 为石 热力学 驱动量表述为 从而把它写成与式类比 石汉 一亡 口 其中标度因 子 口详细的解析可以参看文 力学年 第卷 献 个世纪 年代得到的标度因子精确实 验值是口二威尔逊用重正化群解 析得到的标度因子口的数值是口 士 由此可以看出平均场方法 的近似性 因此 平均场 理论更应该称为 平均场近似 平均场方法在连 续相变的研究中出现在先 只能得到 与实验 定性符合的结论 而重正化群方 法出现在后 得到了与实验精确定量符合的结论 然而 有趣 的是 近年来 的复杂网络研究广泛 地采用了近似的平均场方法 而更现代的 更精确 的重 正化群方法却很少被用到这说明了平均场 方法的强大生命力它 易懂 易算 覆盖面广虽 然是近似 但是常常能得到很不错 的结果实际上 儿十年来 平均场方法被运用在除了相变和网络 的其他许许多多不同的理论和实际问题 的分析上 都取得了重要 的成果 自组织临界现象及其平均场理论 年巴克 汤超和威森非尔德进一步提出 自然界可以白发地 自组织 向一个稳定的临界状态 这个临界状态对微扰显示最丰富的反应 而且 自 然界经过亿万年 的演化 大多数系统己经达到 自 组织临界状态 所以世界才如此丰富多彩 一 这 个理论得到了大约篇论文的响应包括实际 证据 追踪研究等这些论文涉及非常广泛的科 学领域 说明自组织临界现象确实广泛存在 说明自组织临界现象的最简明例子可能是沙 堆沙漠中 沙堆 的斜率常常大致相同这是由于 如果斜率太大 沙子就会滑落到地面而如果斜率 太小 沙漠中的风沙又会使沙子不断地沉积因此 存在一个沙堆斜率 的稳定阂值沙堆 的斜率小于 值时 不会显示宏观 的流动 运动无序 斜率大 于闽值时 一 定显示宏观 的流动 表示有序运动 系统会白己组织 向它 的闽值 并且这个闽值对应 的状态是稳 定的如果微扰使系统偏离这个状态 偏离会自动地逐渐消 失所以被称 为 白组织临界 现象 沙堆上每粒沙子的局域状态都是非常不同的 有 的摇摇欲坠 有 的相当稳定在不同地方加一粒 沙 子可能完全没有任何影 响 也可能 引起一 大堆 沙 子从顶部一直滑落到底不难想象 当沙堆的斜 率小于闽值时 只可 能有比较小的雪崩 大的雪崩 很少反之 当沙堆 的斜率大于闭值时 大的雪崩 很多 而小的雪崩很少只有当沙堆 的斜率等于闽 值时 各种大 小的雪崩才都会出现也就是说 沙 堆在所有偏离临界的状态下对微扰 的响应都不够 敏感 丰富 只有在临界状态时才能够对微扰显示 最敏感 最丰富的响应 既然是临界现象 可能不可能用上一节所介 绍的平均场方法 对沙堆模型解析得出序参量随 驱动量变化 的幂律必须注意 连续相变都被认 为假设是理想的热力学平衡准静态过程 因 此才能使用自由能等热力学势的概念 以及平衡 态下热力学势取最小值的判据 而自组织临界现 象却是远离平衡开放系统 的特征这 时自由能 热力学势等概念 以及平衡态的各种判据都不存 在因此 上面介绍的计算方法和过程对自组织临 界现象根本不能使用 在平均场方法应用中 重要的是核心 思想 具 体的方法和计算形式常常随 问题而变化汤超和 巴克在 年发表论文报道了沙堆模型序参量随 驱动量变化的幂律的解析 他们把 平均 自发 流密度 定义为序参量 把沙堆的 平 均斜率 定 义为广义 的 热力学驱 动量 从概率角度列出各 类格点处沙子流动的 反应方程 自然 实际上 的 沙子邻座之 间相互作用情况千变万化 取决于每 个格点周围环境 的局部信息汤超和巴克不 去管 各种局部情况 直接从平均的 概率的角度考虑 把演化 的机制简化 为一个非常简单的表示式 相 当于只考虑相互作用的总体效果这就 是平均场 方法核心 思想 的体现详细的解析过程请参看文 献 他们用平均场方法得到的序参量随驱动 量变化 的幂律标度因子为对 更高的维数可 以 得到二维标度因子为 三维标度因子为 流行病传播及其平均场理论 虽然从年以来就有人试探运用简单的数 学模型来建立流行病传播 的模型并进 行预测 然 而直到个世纪的四五十年代以微分方程为主 的 模型才开始受到重视 工叼 其中最有影 响的是所 谓和模型 模型是和 在年的一篇未发表论文中首先提出的它把 人群分为组未患病但可感染 病人 且可传染别人 治愈且终生免疫 麻疹是最典型的这类流行病传统 的 模型假设一个未患病但可感染者以均匀儿率 口被任一个病人闰感染 一个病人以一个常 第期何大韧等复杂网络研究的一些统计物理学方法及其背景 数比例 守随机地康复且变为终生免疫 这样 类人的演化方程为 代犷 二二 一口艺占 亡 坛 下丁二户吕一甲 石 丽 也有一些流行病在治愈后并不 能免疫 可能 立即再次感染肺结核和淋病常用作这样的例子 这时人群也可分为组未患病但可感染 病人且可传染别人 治愈但仍可 感染 这就是模型类似地 模型的演化方程为 瓮 一 豁 一 一 样 对于病人可治愈且终生免疫的情况 显然可感 染人群 病人和治愈且终生免疫人群分别的人数 变化率的最简化线性 相 当于级数展开后取一阶 近似表述就是模型而治愈后并不 能免疫 可能立即再次感染情况的最简化表述就是模 型所以 传统 的模型或模型就是流行 病传播 的平均场方程它们可 以用大家熟悉的微 分方程解法来求解 但是并不代表还原论方法论 框架下的系统动 力学机制其微分方程形式 当然 是决定论 的 但 是意义与诸如牛顿第二定律这样 的还原论方法论框架下的系统动力学方程完全不 同 许田等用模型模拟了北京年 月日到月日的每天新增病例统计数 据的研究结果作者得到的结果清楚地显示模 型模拟结果相 当于实际数据的一种 平滑 化 也 就是说 模型模拟的结果相 当于全局的 平均 的描述 我们 强调过连续相变是一个理想的平衡过 程然而 以广义的序参量随驱动量变化的幂律 为标志的临界现象涉及远 为更广泛 的领域这些 现象都可以看作某种广义相变 但 是大多数是远 离平衡的 例如流行病的全局传播的开始 生 物集体运动 的形成等等因此 广义的序参量 随驱动量变化 的幂律是跨越平衡 一 非平衡边界的 普遍规律 在流行病停止流行 的状态 病人 的 密度 为零 系统相对无序 而在流行病正在流行的状态 大于零 系统相对有序 所以可以把定义为广 义 的序参量对于流行病的传播 大量的实验和理 论结果都证明存在一个传播速率 入的阂值 只 有在 入一入 时 流行病才能全局传播 因此可 以把 入一入 定义为热力学驱动量现在的问题就 是利用我们在前两节中介绍的平均场近似方法的 思想 写 出这类活动传播问题 的平均场方程 然后 在一定条件 一 卜求解 平均场方法的核心 思想是把相 互作用 的总体 效果等价于一个 平均场 不 去 计算局部 的 处 处不同的相互作用情况流行病的传播过程 中显 然充满了基本单元周围局部信息的影 响 平均场 方法的思想就是抛开这些具体细节 仅仅考虑全 局的 平均的传播可能性 也就是仅考虑被看作常 参量或者是依赖于某儿个全局因素 的可变参量 的传播概率或者传播速率 入 以及康复概率 甲 这 主方程 主方程是统计物理学中描述一大类问题 的重 要方法 在复杂网络研究中已经有比较多的应用 在本节中我们将简单地介绍这种方法的由来与思 想 不注重一些证 明 推导的细节如果有些读者 希望作更严格 仔细的了解 请参阅文献 马尔可夫过程 马尔可夫过程 定义为演化过程 中大部 分记 忆效应可以略去的过程 健 忘过程 或者说 假 定演化每一步 时的状态已知 则在 时的 状态与 亡 之前 的状态无关 马尔 可夫 过 程更准确 的数学 定义为设 艺 科 为一个随机过程 为其状态空间 若对任意 全 亡 侃 亡任 有 纵 任 且川在己知条件 亡 云 亡 件概率分布满足 尸 一二 一二 尸一 一二 则称 为一个马尔可夫过程 卜的条 马尔可夫链 马尔可夫链是马尔可夫过程最简单的例子之 一 它的准确数学定义为设司 二 力学年第卷 为一个随机过程 其状态集合为 乞 乞 乞 若对任意以及 乞 乞 乞 乞 二十 对应的随机变量 满足 乞 二 一 乞 一 坛 乞 乞 其中 尸坛 表示系统处在状 态 的概率 则称 为一个马 尔可夫链也就 是说 在上述 马尔可夫过程数学定 义中 如果参数集 一 仁 为离散的 状态 集 也 是离散的 这个马尔可夫过 程就称为一个马尔可夫链 一个确定状态的马尔可夫链 主方程 为 一 亡一 其 中 表示时刻取 状态 艺 时亥 取 状态的转移概率密度 尸 约表示时刻取状 态的概率密度 对于一般的情况 甸个时刻可能有若干个以 不同儿率出现的状态 而且 时间可 能准连续地变 化 这时更一般的主方程形式为 亡 一 艺 一 亡 步转移概率 一个马尔可 夫链在时刻处 于状态 乞 而在 步之后时刻处于状态的条件概率 几 尹几 参数集和状 态集 都准 连 续 的 马尔 可 夫过程 不是马尔可夫链的主方程 为 夕 一 尸 亡 一 心 一 一 一 夕 称为它的步转移概率规定零步转移概率为 衅 一 氏 占 一 若 一 兴 若 兴 切普曼 一 柯尔莫哥洛夫方程 一 方程 设 为一个马尔 可夫链 它的状 态空 间为 二 士 士 则其步转 移概率满足 玲伙 一 艺 二 心 心 一 间 乞 任 三二丛 任 相应的步转移矩阵满足 其中 脚 表示 在到 十二 时刻内从 状态变化到状态 的 单位时间转移概率密度 尸 约表示时刻取状态的概率密度 如果我们建议一个网络演化模型或其它模型 并且可 以证 明模型中某种统计性质的演化过程构 成 一个马尔可 夫链 就可 以列出此过程遵循的主 方程求解 生成函数 尸 几 尸 尸 一 也 就 是说 马尔可夫链上的步转移概率等于先 转移步 再转移 二一 步 的转移概率乘积 一 方程 的严格证明需要比较大的篇幅 本文 从略有兴趣的读者请参看文献 主方程 对 一 方程 积分 并利用统计 物理学中的约 化条件 可以得 到详细证明从略有兴趣 的读者 请参看文献 对于 虽然每一个演化 时刻都 可 能 在 若 干 可 能状态中随机选抒 但是最终会选定 生成函数是复杂网络 研究中应用比较多的另 一种统计物理学方法我们举一个简单的例子来 说明生成函数的思想如 果有一个养鱼专家 他把 某种待研究 的鱼一代一代地培养 同时在每一代 的人量样本中严格挑选少数优秀的 作为繁殖卜 一代的种群为了不断扩大种群数量 同时保证其 中个 体 的质量 他严格 保持每一代的个数和 上一 代个数的关系 用递推公式甄甄 全 氏 来表 示如果我们需要知道任何 一代的 个数 由此公式可以逐 步推算得 到 但是如 果要求 拿出来一个第代个数甄的显函表示式 可 能一 时还比较困难生成函数 方法就是试图构造一个 形式幂级数 二 艺甄 然后 由此来解 出 的显函表示式 第期何人闭等复杂网络研究的一些统计物理学方法及红 背景 考虑到艺 甄 沙 一 一 兄 二 及艺 几 最 二 一 一 我们得到 血 一 一 一 于是得到 广 一 一一 一 艺 一 一 艺 得 一 艺 一 一 艺 故 艺 二 一 令 二 就得到数列和 若要进一步得到数列的表达式时 可进行如 代入尹 可得 卜操作 幻 二 一一 石二丁二 不厄石丫丁不不不下丁二 不万 下丁于 二 山 上 自山 工山 上 山 将 一 展成儿何级数时 其 系数 为 对级 数 一一 参照上 面艺 二 的做法 可得 广的系数为 一 于是序列的表达式第代 个数 二 的显 函表示式为 二几 一一 全 所以 一个离散数字序列 的生成函数的 定义就是一个形式幂级数 通常可表示为形式变 量的封闭形式 其系数包含序列甄 的信息由 于生成函数为形式幂级数 它不需要 对所有的值 收敛上面介绍的是单序列的一般生成 函数 它可以表达为单变量的多项式双序列的一 般生成函数 则可表示 为两变量序列即 鲡 二 功 一 艺 蝙 几 尹沪 一 一 生成函数是求解 分立问题的有力工具本节 所介绍的仅是生 成函数 应用 的一小部分 内容除 此之外 生成函数可用于发现序列的递推关系 发 现序列 间的关 系 探索序列的渐进 行为 解决组 合 数学 的枚举问题 以及估计无穷求和等 在组合 数 学 儿率理论 统计学 链及数论中有 泛 应用对于各具体问题 存在着不同的生成函数构 造方法 如 上 面介绍的一般生成函数 此外还有指 数生成函数 序列 序列 及 序列等 率方程 几 在复杂网络研 究中 生成函数主要 用来求分 布函数 的平均 值 均方差及 其他高阶矩比如考虑 一个整数时 间序列 假定其取的儿率为代 表一个网络 统计参量 的分布函数 则有 又 率方程 是 另一个在 复杂网络研 究中得到应用 的统计物理 学方法率方程也称 为速率方 程 在化 学 各个工程 学科和社会科学 学科 中都有广泛的 应用其思想和 方法相当简 单易懂 就是 用微分方 程 的形式表示某个过程 的演化速 率与某一 个或者 某儿个演 化因之间的关系使用这种方法的关 键在于分析演化速率 主 要演化 因子之 间关系的 具体函数 以化 学反应 为例 反应速率与反应参数浓 度 温度等的关系一般可 写为 拼 艺 艺 一拜 艺 一拼 其中 拼 与分别为平均值与均方井定义生 成函数又 二 则平均值可表示为 拼 其 中为反应物浓 度 为它 的一个函数 由具 体反映特征和考虑 的精度 决定 我们将在最 后 一竹中介绍率方程在复杂网络 研究中得应用 的例子 力学年 第 赶弓卷 统计物理学方法在复杂网络研究中的应用 叭 一 小世界模型和 一 无标度模型 在本文 开始提到 的两篇复杂网络研究经典文 献周中 提出的著名小世界模型 和 无标度模型都是 以平均场 解析为基础的哪 等在年报 道了他们使用平 均场 近似对小世界模型平均距离的解析推 导 等阵在年报道了他们使用平 均场近似对无标度模型度分布的推导在这 两项 研究 中 平均场方程的思路与第节介绍的 流行病传播的平均场方法类似 即估计相关量演 化规律的儿率表 示 找到合适的近似 归结到一个 白组织稳 定临界演化方程来求解 而且这些方程 都表述为微 分方程的形式这 里井没有强调序参 量 驱动 量 的概念 以及在临界点附近把序参量展 开取近似的方法这提醒我们 平均场近似 的应用 范围是 非常 泛的 虽然它 从连续相变和临界现 象的研究开始 但 是并不限于用在那些领域只要 平均场方法的核心思想适用 都可以应用这种方 法来求解各种各样 的问题 无标度模型度分布的主方程阵 和率方程 解析哪 思路与前面 的介绍类似史定华教授已经 在本文集 的另一篇文章中仔细地讨论 对小世 界模型 和无标度模型的这种解析方法以及 更 多方法 这 里不再赘述 无标度模型中考虑新节点在选择旧节点时部分优 选 部分随机选择 并且做出了平均场解析这篇 论文提出支配实际网络演化 的机制不仅仅是优选 即所谓 富者更富 法则 至少还应该考虑 随机 选择的可能实际中节 点之间的联系常常来 自于 许多互相不关联 的原因 道理太多就 相 当没有道 理所以随机选择是很符合实际的考虑他们还在 同一年发表文献 用主方程方法解析了非线性优 选 的无标度模西另一篇是和 在年发表 的文章 他们建议了一个 局域世 界 模烈 其中最可贵 的思想 是认 为优选 需要 对 网络的全局信息 而一个节 点往往只可 能掌握它 所在 附近 的局域信息 因此合 理的演化机制是节 点在一个局域中优选 而哪些节 点构成局域世 界 是随机的这可能是第个把网络的无标度 胜与 基本单元的集 团性结合 的演化模型作者 也 用 平 均场方法作了解析 等困在年建议 了一个包含两类 不 同节 点 和两类不 同边 的网络演化模型 井且作 了平均场 解析作者们是从事包括生物系统 的复 杂系统研究的 他们很清 楚在典型的复杂 系统中 基本单元和它 们之间的作用都是多类刑的这篇 论文提出的重要 问题恐怕至今还 没有受 到足够亚 视 小世界模型和无标度模型 的改进模 型 小世界模型和无标度 模刑在科学 界 特别 是理 论物理 学 界产生 了很人影响 有不少 人追随他们 提出改进 的模型或进行进 一步 的研 究 咚 我们注意比较早 也比较有影响 的两篇论 文其中之一 是不一在发表 的文献 其中特别值得注意 的是讨论了小世 界 模型上信息或流行病传播的逾渗相 变及其临界性 质另一篇是不 在年 发表 的文献 建议在无标度模型中增加对节点 活性随年龄衰 减 的考虑这 两位作者还在年 建议在无标度模型中考虑节点数目加速 增 加 的情况 这 篇论文都作出 了平均场解 析 我们 认 为有独特意义 的工作也有两篇其中 之 一是等在年的文章 建议在 一些网络拓扑统计性质的解析求解 表征复杂网络拓扑结构的统计性质己经建议 了儿十种 是复杂网络 研究的重要方 向 其中提出 最早 最受注意的可能是度分布 集群 系数 和平 均距离用上述方法解析这些性质的论文也己经 发表不少 我们比较注意等哪在年的 论文 其 中报道了他们建议 的一个考虑节 点不 同 活性 井且其活性可以改变 的网络演化模型 井且 用主方程和平均场 方法解析得到了模型产生网络 的度分布和集群 系数论 文不但提出 了很有创新 思想的模型 恰 当运 用本文介绍方法作了漂亮 的 解析 而且得出 了例如 集 群系数随标志 网络 节点 活性参数变化 的标度律 这样 的新规律 并且列举 了可能的实际证据 此外 等 在年报道了他们在 义无标度模型中用 平均场方法和率方程对集 群度分布以及集群度与度 的相关性所作的解析研 究这篇论文的特色在于作者 贡献 的详尽 规范 具有普遍价值的解析思路和过程和 访 第期何 人韧等复杂网络付究的 一 此统 计物理学方法及其背景 在年建议了一个考虑 竹点之间物理位置及其 距离的网络演化模烈 并且用 平均场方法作了解 析这类网络 是 非常值得注意的研究对象 含权网 网络演化模型 实际网络中 一节点 之间 的相 互作用 强度都是不 同的 把 作用强度作为边权是合理的考 虑 所以 含边权网 比不含权网含有更多 的信息这方 向的 重要论文有等在年的论文 等 首先提出 了含权 的无标度网络演化模型 并且 作了平均场分析 娜 等在年对 含权网的研究所作的综述 非常有参考价值 等在年报道的对含权局域世界网络演化 模烈的平均场近似解析随着对网络中边和节点 拓扑性质之外 的更深 入描述 含权网的研究必将 有更深刻地进展 合作网络演化模型 仅仅考虑 竹点之 间 合作关 系 的网络在 复杂 网络研究 中片有重要地 位电影演员 合作网和 科研人员合著网是 最 经常研究的两种合作网 等 阵 在年建议的科研合著网演化 模烈可 能是最 旱的旨在描述合作网络演化 的模型 模型用 平均场解析成功地解释 了这类网络度分布 常常在一定程度上偏离幂律的原因 然而 这个模 型没有脱离模型的基本框架 没有抓住合作网 络中 一个一个合作项目建设 这个演化特征 等哗在 年建议的合作网络演 化模型是第个抓住合作网络中 合作项日建设 演化特征的模烈 作者 用平均场 方法解析地得 到 了一个极端情况网络 演化中完全优选连接情况 的度分布 项 日度分布和集群系数 等阳年建议了另一个考虑 合作 项口建设 演化特征的合作网络演化模型 井且用 平均场方法解析地得到了两个极端情况 即网络 完全优选连接或者完全随机连接演化的度分布和 项目度分布等哗在年报道了这个 模烈一般情 况部分优选 部分 随机选择的平均 场解析 得到 了所谓 漂 移幂 律 的度分布和项日 度分布 并且建议了 同类性 与项目度分布 之间的 相关关系 等 在年建议了 另 一个合作网 络演化模烈 在解析 中用 到 了平均场方法 率方程 和其它方法 解 析得 到了更多 的网络拓扑统计性 质 生成函数的应用 等在年发表预 印乎 建议 了一个节点在进行某种任务时形 成集体行为的模 刑 在解析中用到许多方法作者们强调生成函数 方法十分有用 生成函数的应用 十分 泛 卜一小节还 要举 出和用生成函数方法求解流行病传播模 型的例子 复杂网络上流行病的传播 复杂网络上物质 信息 或者能量的传播是具 有重要 理论和实际意 义的研究课题为了和前面 关于流行病 传播 的介绍相呼应 我们在此仅介绍 儿篇讨论流 行病在网上传播的论文 和在年报道了他