水电站过渡过程计算中的反击式水轮机边界条件及迭代收敛条件.pdf

2004 年 9月 水 利 学 报 SHUILI XUEBAO第 9 期 收稿日期 2003 06 30 作者简介 阮文山 1973 男 越南留学生 博士生 主要从事水电站水力过渡过程研究 文章编号 0559 9350 2004 09 0088 06 水电站过渡过程计算中的反击式水轮机边界条件及迭代收敛条件 阮文山 杨建东 李进平 武汉大学 水利水电学院 湖北 武汉 430072 摘要 探讨了水电站过渡过程数值计算中水轮机边界条件基本方程及其迭代算法稳定性问题 从理论上推导出两 种迭代算法的收敛判别条件 得到反映水流动能 或惯性 与势能比值的收敛判别变量 T 当水流势能占优势时 即 T 1 第一迭代算法收敛 当水流惯性占优势时 即 T 1 第二迭代算法收敛 这两个条件互补 从而证明反击 式水轮机边界条件是全范围内可求解的 该判别条件已经在实际工程计算中得到验证和运用 关键词 水电站过渡过程 边界条件 迭代算法 收敛条件 判别公式 中图分类号 TV136文献标识码 A 到目前为止 水电站过渡过程的数值仿真研究手段是依据一维有压管道非恒定流的基本方程及特 征线 1 求解方法 结合机组 调压室 岔管 水库等边界条件进行计算 其中机组边界条件是最复杂的 不仅方程个数多 而且水轮机综合特性曲线没有明显的函数表达式 仅是模型试验数据的统计结果 所 以在过渡过程的研究中需要不断探索水轮机边界条件的计算方法 如线性算法 迭代算法等 迭代算法 也有很多迭代方式 不同的程序采用不同的迭代公式和不同的计算顺序 时而发生不收敛的问题 从纯 数学角度来看 每个迭代方式都有一定的收敛范围 那么在什么范围内迭代方式能收敛 在什么范围内 迭代方式会发散 迭代方式在发散的范围内又如何处理 能否找到其它在该范围内能收敛的迭代方式 为了回答这些问题 本文通过理论研究 数学推导 分析了迭代方式的收敛性判别条件及其收敛范围 因此 可以根据各个迭代方式的收敛范围来变换相应的迭代方法 从而使程序计算在任何条件下均能得 到收敛的结果 1 反击式水轮机边界条件 1 基本方程 在过渡过程的分析中 反击式水轮机是作为一个边界点来处理的 其过流特性就是相应的边界条 件 反击式水轮机过流特性与水头 开度 机组转速等许多因素有关 非常复杂 该边界有上下游两个 节点 总共 10 个未知数 需要联立 10 个方程求解 数值计算中一般采用迭代方法 机组上游节点特征方程 C 2 Hp H1 a1 gA1 Qp Q1 Q1 A1 sin 1 t a1f1 2gd1A 2 1 Q1 Q1 t 0 1 式中 H 为测压管水头 Q 为流量 f 为摩阻系数 g 为重力加速度 A 为管道断面积 a 为管道波速 d 为管道直径 t 为计算时间步长 下标 p 表示机组上游节点号 下标 1表示蜗壳末端节点号 式 1 可改写为 Hp A1 B1Qp 其中 A1 a1 gA1 Q1 H1 Q1 A1 sin 1 t a1f1 2gd1A 2 1 Q1 Q1 t B1 a1 gA1 88 机组下游节点特征方程 C 2 Hs H2 a2 gA2 Qs Q2 Q2 A2 sin 2 t a2f2 2gd2A 2 2 Q2 Q2 t 0 2 式中 下标 s 表示机组下游节点号 下标 2 表示尾水管进口节点号 式 2 也可改写为 Hs A2 B2Qs 其中 A2 a2 gA2 Q2 H2 Q2 A2 sin 2 t a2f2 2gd2A 2 2 Q2 Q2 t B2 a2 gA2 水轮机过流量 Qt Qp Qs 3 水轮机工作水头 Ht Hp Hs 忽略速度头的影响 则 Ht A1 A2 B1 B2 Qt A BQt 或者 Qt A Ht B 4 其中 A A1 A2 B B1 B2 机组过流特性 Qt Q 1D 2 1Ht 或者 Ht Qt Q 1 D 2 1 2 5 机组流量特性曲线 Q 1 f1 n 1 a 6 n 1 ntD1 Ht 7 nt nt 0 0 1875 t GD 2 Mt Mt 0 Mg Mg 0 8 Mt M 1D 3 1Ht 9 机组转矩特性曲线 M 1 f2 n 1 a 10 大波动中机组开度是已知的 即给定开度曲线 a f3 t 式中下标 0 表示前一计算时段的值 f1 和f2是插值函数 由水轮机特性曲线离散化数据表获得 每个工作点在水轮机特性曲线上对应的 M 1 和 Q 1是唯一的 2 第一迭代方法 以上 10个方程中的 Ht和Qt是迭代方法求解的关键 这两个未知数的求解顺序对迭代过程是否收 敛具有很大的影响 迭代计算的初始值取上一计算时段的值 如选择 H 0 t Ht 0 n 0 t nt 0 于是可进行如 下的迭代计算 n 1 n k 1 tD1 H k 1 t a f3 t Q 1 f1 n 1 a Q k t Q 1D 2 1H k 1 t H k t A BQ k t M 1 f2 n 1 a M k t M 1D 3 1H k t n k t nt 0 0 1875 t GD 2 M k t Mt 0 Mg Mg 0 式中上标 k 表示迭代次数 下标 0 表示当前计算时段的前一个时段 结束迭代条件 H k t H k 1 t h 在不满足该结束迭代条件下 其迭代的结果形成如下系列 H 1 t H 2 t H 3 t H k 2 t H k 1 t H k t H m t 第 k 次迭代结果H k t与精确解Ht之间的误差值可以表示为 H k t H k t Ht 则误差值系列为 H 1 t H 2 t H 3 t H k 2 t H k 1 t H k t 为了使迭代结果系列越来越靠近Ht 则要求误差值系列越来越小 得收敛条件 H k t H k 1 t 1 假定迭代过程中 Q 1不变 则由式 5 得 Q k t Qt Ht H k 1 t Ht 因为 H k 1 t远小于Ht 可以近似得到 89 Q k t Qt 1 H k 1 t 2Ht 由于 Q k t Qt Q k t 所以上式可改写为 Q k t Qt H t 1 t 2Ht 又由式 4 可得 H k t B Q k t 即 H k t BQt H k 1 t 2Ht 则迭代收敛条件变为 H k t H k 1 t BQt 2Ht 1 因为时间步长比较短 可以用Ht Ht 1和 Qt Qt 1近似表达 并引入变量 T 得到收敛条 件如下 T BQt 1 2Ht 1 1 11 3 第二迭代方法 由上述的推导和分析已知 如果 T 1 就需要寻找第二种迭代方 法 在第一迭代方法中 对两个关键未知量 Ht和Qt的求解是先由水轮机工作点的过流特性预测流量 Qt 然后采用特征线方程计算工作水头Ht 在第二迭代方法中 则尝试将两者求解顺序颠倒来研究其 收敛条件 同样 迭代计算的初始值取上一计算时段的值 如选择 Q 0 t Qt 0H 0 t Ht 0 n 0 t nt 0 也可进行如下 的迭代计算 n 1 n k 1 tD1 H k 1 t a f3 t Q 1 f1 n 1 a H k t Q k 1 t Q 1D 2 1 2 Q k t A H k t B M 1 f2 n 1 a M k t M 1D 3 1H k t n k t nt 0 0 1875 t GD 2 M k t Mt 0 Mg Mg 0 式中上标 k 表示迭代次数 下标 0 表示当前 计算时段的前一个时段 结束迭代条件 Q k t Q k 1 t q 在不满足该结束迭代条件下 各个时间段的流量计算结果构成 如下系列 Q 1 t Q 2 t Q 3 t Q k 2 t Q k 1 t Q k t Q m t 第 k 次迭代结果Q k t与精确解Qt之间的误差值可以表示为 Q k t Q k t Qt 各个时间段的误差值也构成系列 Q 1 t Q 2 t Q 3 t Q k 2 t Q k 1 t Q k t 为了使迭代结果系列越来越靠近 Qt 必须满足以下条件 Q k t Q k 1 t 1 假定迭代过程中 Q 1不变 由式 5 得H k t Ht Qt Q k 1 t Qt 2 因为 Q k 1 t远小于Qt 可以得到 H k t Ht 1 2 Q k 1 t Qt 由于 H k t Ht H k t 所以上式可改写为 H k t Ht 2 Q k 1 t Qt 将 H k t B Q k t代入上式整体得到 Q k t 2Ht Q k 1 t BQT 此时的迭代收敛条件变为 Q k t Q k 1 t 2Ht BQt 1 12 4 全范围求解及工程算例 两个迭代方法正好都找到同一个无量纲的判别变量 T 在结合两种迭代计算方法对反击式水轮机 90 边界条件进行求解时 在每个计算时段 首先计算判别变量 T 如果 T 1 就采用第二迭代方法求解 也必然得到收敛结果 当T 1 时 由判别条件可知 H 2 t H 1 t Q 2 t Q 1 t 1 迭代过程是从两边逼近精确结果的 则只需要迭代两次就可得到结果 即 Ht H 1 t H 2 t 2 Qt Q 1 t Q 2 t 2 实际计算上很少碰到 T 1 的情况 因此 无论 T 等于多少 程序都能够获得 稳定的收敛结果 达到了全范围求解反击式水轮机边界条件的目的 从而避免了由于迭代方法的使用不 当而造成的数值不收敛问题 应用本文的迭代方法对YALY 水电站过渡过程进行了数值计算 验证了迭代方法的可行性和正确 性 其结果已经运用到实际电站的设计与运行中 其中某一典型工况结果如下 YALY 水电站共有4 台机组 分成两个水力单元 装机容量 4 180MW 720MW 水轮机型号 PO230 791Dm B 360 额定转速 250r min 计算工况为同单元两台机同时甩负荷 初始导叶开度 0 40mm 导叶直线关闭时间 Ts 8s 蜗壳末端初始测压管水头 H1 503 44m 尾水 管进口初始测压管水头H2 310 60m 水轮机初始流量 Qt 0 100 12m 3 s 水轮机初始工作水头 H t 0 192 84m B1 7 334 B2 0 934 A1 1236 A2 217 B B1 B2 8 268 A A1 A2 1019 初始判别 变量 T 2 1465 1 若按第一迭代方法计算 进行到第 9 次迭代时 迭代过程发散致使计算中断 迭代过程线见图 1 若采用第二迭代方法计算 则迭代过程是收敛的 迭代过程线见图2 图 1 采用第一迭代方法 水头和流量随着迭代次数的变化图 2 采用第二迭代方法 水头和流量随着迭代次数的变化 从图 1 和图 2 可以看出 由于初始迭代判别变量 T 2 1465 1 采用第一迭代方法计算 尽管其初 始值非常接近精确解 初始误差很小 迭代过程明显发散 而采用第二迭代方法计算 迭代初始值的给 定对迭代结果没有影响 即使初始误差很大 迭代过程都收敛很快 只要几次迭代过程就得到满足计算 精度要求的结果 下面根据每个时段的收敛判别变量 T 选择不同的迭代方法 对该水电站某工况整个过渡过程进行 了计算 其结果如图 3 和图 4 所示 在第 25 个计算时段 3 67s 时 由于 T 1 所以必须采用第一迭代 方法 否则迭代过程发散 得不出结果 图3 水轮机工作水头和引用流量变化的过程 91 图4 水轮机出力和转速变化过程 对迭代判别变量 T 进行分析 由于 T BQt 2Ht 1 2 a1 gA1 a2 gA2 Qt Ht 其中 Ht表示水轮机中水体所具 有的势能 而 1 2 a1 gA1 a2 gA2 Qt可以简化为 1 2 a1v1 g a2v2 g a g v 其形式正好与直接水击计算公式一 致 可以反映水轮机及上下游管道中水体的动能 由水的可压缩性和管道弹性所确定的水体惯性 因 此可以判断 变量 T 实际上反映了水体动能和势能的比值 说明当引水发电系统中动能占主导因素时 必须采用第二迭代方法 即先对 Qt进行求解 再用特征方程求解 Ht 而当势能占主导因素时 必须采用 第一迭代方法 即先对Ht进行求解 再用特征方程求解 Qt 5 结论 通过深入研究水电站过渡过程中水轮机边界条件的迭代计算方法 从理论上推导出迭代计算方法 的收敛性判别变量 T 根据变量 T 的计算值可以选取合适的迭代方法 从而保证全范围可以求解 该 结论已经在实际工程计算中得到很好的验证 并可以从理论上得到很好的解释 1 由于 H k t H k 1 t Q k t Q k 1 t 1 两者呈反比关系 水头迭代发散的时候 流量的迭代一定收敛 反之亦然 另外在 理论推导过程中发现 H k t H k 1 t 0 和 Q k t Q k 1 t 1 迭代方法二适用 对于低水头大流量电站多应采用第二迭代方法 这 可能是当前实际工程计算 多采用迭代方法一 中容易出现不收敛问题的原因之一 参 考 文 献 1 吴荣樵 陈鉴治 水电站水力过渡过程 M 北京 中国水利水电出版社 1997 2 Benjamin Wylie E Victor L Streeter Fluid transient M McGraw Hill Book Company 1967 3 沈祖诒 水轮机调节 第二版 M 北京 水利电力出版社 1988 下转第99 页 92 3 王明甫 高含沙水流 M 北京 水利电力出版社 1994 4 赵业安 费祥俊 等 黄河下游河道演变规律 M 郑州 黄河水利出版社 1998 5 河南黄河河务局 实用黄河浑水管道的阻力系数 R 郑州 河南黄河河务局 2001 Resistance and carrying capacity of hyper concentration sediment pipe flow SUN Dong po WANG Er ping YAN Jun XU J i gang North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power Zhengzhou 450011 China Abstract The flow properties and carrying capacity of hyper concentration sediment flow in pipe are analyzed according to the in situ observation data The variation law of flow resistance related to the Reynolds number and sediment concentration aswell as the relationship between resistance coefficient and comprehensive sediment factor are deduced On this basis the major factors affecting the carrying capacity are analyzed The concept of available carrying distance is proposed The relationship between muddy water discharge to be carried and the available carrying distance in which the silt deposition in pipe will not happen is established Key words hyper concentration sediment pipe flow resistance coefficient boundary shear resistance available carrying distance 上接第 92页 Boundary condition and convergence condition of iteration in numerical calculation of transient process for reactive hydro turbine system NGUYEN Vanson YANG Jian dong LI Jin ping Wuhan University Wuhan 430072 China Abstract The basic equations for boundary conditionsof reactive hydro turbine in numerical calculation of transient process and the stability of iteration are studied theoretically Two iterative methods