2013年1月东城区期末高三数学(理科含答案).doc

2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 1 页共 7 页 东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学高三数学 理科 理科 学校学校 班级班级 姓名姓名 考号考号 本试卷分第本试卷分第 卷和第卷和第 卷两部分 第卷两部分 第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷卷 3 3 至至 5 5 页 共页 共 150150 分 考试时分 考试时 长长 120120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答 题卡一并交回 题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 选择题 共共 40 分 分 一 本大题共一 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要 求的一项 求的一项 1 设集合 设集合 则满足 则满足的集合的集合 B 的个数是的个数是 1 2 A 1 2 3 AB A A B B C C D D 1348 2 2 已知 已知是实数 是实数 是纯虚数 则是纯虚数 则等于等于 a i 1 i a a A A B B C C D D 1 122 3 3 已知 已知为等差数列 其前为等差数列 其前项和为项和为 若 若 则公差 则公差等于等于 n an n S 3 6a 3 12S d A B C 1 5 3 2 D 3 4 执行如图所示的程序框图 输出的执行如图所示的程序框图 输出的k的值为的值为 A 4 B 5 C 6 D 7 5 若 若 是两个非零向量 则是两个非零向量 则 是是ab abab 的的 ab A 充分不必要条件 充分不必要条件 B 必要不充分条件 必要不充分条件 C 充要条件充要条件 D 既不 既不充分也不必要条件充分也不必要条件 6 已知 已知 满足不等式组满足不等式组当当时 目标函数时 目标函数的最大值的变的最大值的变xy 0 0 24 x y xys yx 35s yxz23 化范围是化范围是 A B C D 6 15 7 15 6 8 7 8 7 已知抛物线已知抛物线 2 2ypx 的焦点的焦点F与双曲线与双曲线的右焦点重合 抛物线的准线与的右焦点重合 抛物线的准线与 22 1 79 xy x轴的交点为轴的交点为K 点 点A在抛物线上 且在抛物线上 且 2 AKAF 则 则 的面积为的面积为AFK A 4 B 8 C 16 D 32 8 给出下列命题 给出下列命题 在区间在区间上 函数上 函数 中有三个中有三个 0 1 yx 1 2 yx 2 1 yx 3 yx 是增函数 是增函数 若若 则则 若函数若函数是奇函数 则是奇函数 则log 3log 30 mn 01nm f x 的图象关于点的图象关于点对称 对称 已知函数已知函数则方程则方程 1 f x 1 0 A 2 3 3 2 log 1 2 x x f x xx 有有个实数根 其中正确命题的个数为个实数根 其中正确命题的个数为 1 2 f x 2 A B C D 1234 2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 2 页共 7 页 第第 卷卷 共 共 110110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若 若 且 且 则 则 3 sin 5 tan0 cos 10 图中阴影部分的面积等于 图中阴影部分的面积等于 11 已知圆已知圆 则 则圆心圆心的坐标为的坐标为 C 22 680 xyx C 若直线若直线与圆与圆相切 且切点在第四象限 则相切 且切点在第四象限 则 ykx Ck 1212 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 13 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次 提价提价 第二次提价第二次提价 方案乙 每次都提价 方案乙 每次都提价 p q 2 pq 若若 则提价多的方案是 则提价多的方案是 0pq 14 定义映射 定义映射 其中其中 已知对所有的有序正整数 已知对所有的有序正整数 fAB Am n m n RB R 对对满足下述条件满足下述条件 m n 若若 1 1f m nm 0f m n 1 1 f mnn f m nf m n 则则 2 2 f 2 f n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 本小题共 13 分 已知函数分 已知函数 2 3sin coscosf xxxxa 求 求的最小正周期及单调递减区间 的最小正周期及单调递减区间 f x 若 若在区间在区间上的最大值与最小值的和为上的最大值与最小值的和为 求 求的值 的值 f x 6 3 3 2 a 16 本小题共 本小题共 13 分 已知分 已知为等比数列 其前为等比数列 其前项和为项和为 且 且 n an n S2n n Sa n N 求 求的值及数列的值及数列的通项公式 的通项公式 a n a 若 若 求数列 求数列的前的前项和项和 21 nn bna n bn n T 17 本小题共 本小题共 14 分 分 如图 在菱形如图 在菱形中 中 是是的中点 的中点 平面平面 且 且ABCD60DAB EABMAABCD 在矩形在矩形中 中 ADNM2AD 3 7 7 AM 求证 求证 ACBN 求证 求证 平面平面 ANMEC 求二面角 求二面角的大小的大小 MECD 18 本小题共 本小题共 13 分 分 已知已知 函数 函数 a R ln1 a f xx x 当当时 求曲线时 求曲线在点在点处的切线方程 处的切线方程 1a yf x 2 2 f 求 求在区间在区间上的最小值 上的最小值 f x 0 e x y O1 3 y 3x2 AB C D E N M 2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 3 页共 7 页 19 本小题共 本小题共 13 分 在平面直角坐标系分 在平面直角坐标系中 动点中 动点到两点到两点 的距的距xOyP 3 0 3 0 离之和等于离之和等于 设点 设点的轨迹为曲线的轨迹为曲线 直线 直线 过点过点且与曲线且与曲线交于交于 两点 两点 4PCl 1 0 E CAB 求曲线 求曲线的轨迹方程 的轨迹方程 C 是否存在 是否存在 面积的最大值 若存在 求出面积的最大值 若存在 求出 的面积 若不存在 说明理的面积 若不存在 说明理AOBAOB 由由 20 本小题共 本小题共 14 分 已知实数组成的数组分 已知实数组成的数组满足条件 满足条件 123 n x x xx 1 0 n i i x 1 1 n i i x 当当时 求时 求 的值 的值 2n 1 x 2 x 当 当时 求证 时 求证 3n 123 321xxx 设 设 且且 123n aaaa 1n aa 2 n 求证 求证 1 1 1 2 n iin i a xaa 2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 4 页共 7 页 东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 1 C 2 2 B 3 3 C 4 4 A 5 C 6 D 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 9 1010 1111 4 5 1 3 0 2 4 1212 1313 乙 乙 1414 754 10 222 n 注 两个空的填空题第一个空填对得注 两个空的填空题第一个空填对得 3 3 分 第二个空填对得分 第二个空填对得 2 2 分 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 1515 共 共 13 分 分 解 解 31 cos2 sin2 22 x f xxa 3 3 分分 1 sin 2 62 xa 所以所以 4 4 分分T 由由 3 222 262 kxk 得得 2 63 kxk 故函数故函数的单调递减区间是的单调递减区间是 7 7 分分 f x 2 63 kk k Z 因为 因为 63 x 所以所以 5 2 666 x 所以所以 10 分分 1 sin 2 1 26 x 因为函数因为函数在在上的最大值与最小值的和上的最大值与最小值的和 f x 6 3 1113 1 2222 aa 所以所以 13 分分0a 1616 共 共 13 分 分 解 解 当 当时 时 1 分分1n 11 20Saa 当当时 时 3 分分2n 1 1 2n nnn aSS 因为因为是等比数列 是等比数列 n a 所以所以 即 即 5 分分 1 1 1 221aa 1 1a 1a 所以数列所以数列的通项公式为的通项公式为 6 分分 n a 1 2n n a n N 由 由 得 得 1 21 21 2n nn bnan 则则 231 1 1 3 25 27 2 21 2n n Tn 231 21 23 25 2 23 2 21 2 nn n Tnn 得得 9 分分 21 1 12 22 22 2 21 2 nn n Tn 21 12 222 21 2 nn n 1 14 21 21 2 nn n 1 12 分分 23 23 n n 所以所以 13 分分 23 23 n n Tn 2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 5 页共 7 页 17 共 共 14 分 分 解 解 连结 连结 则 则 BDACBD 由已知由已知平面平面 DN ABCD 所以所以 ACDN 因为因为 DNDBD 所以所以平面平面 AC NDB 2 分分 又因为又因为平面平面 BN NDB 所以所以 4 分分ACBN 设 设与与交于交于 连结 连结 CMBNFEF 由已知可得四边形由已知可得四边形是平行四边形 是平行四边形 BCNM 所以所以是是的中点的中点 FBN 因为因为是是的中点 的中点 EAB 所以所以 6 ANEF 分分 又又平面平面 EF MEC 平面平面 AN MEC 所以所以平面平面 8 分分 ANMEC 由于四边形 由于四边形是菱形 是菱形 是是的中点 可得的中点 可得 ABCDEABDEAB 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系 则 则 Dxyz 0 0 0 D 3 0 0 E 0 2 0 C 3 7 3 1 7 M 10 分分 3 2 0 CE 3 7 0 1 7 EM 设平面设平面的的法向量为法向量为 MEC x y z n 则则 0 0 CE EM n n 所以所以 320 3 7 0 7 xy yz 令令 2x 所以所以 12 分分 21 2 3 3 n 又平面又平面的法向量的法向量 ADE 0 0 1 m 所以所以 1 cos 2 m n m n m n 所以二面角所以二面角的大小是的大小是 60 14 分分MECD 18 共 共 13 分 分 解 解 当当时 时 1a 1 ln1f xx x 0 x 所以所以 2 分分 22 111 x fx xxx 0 x 因此因此 1 2 4 f 即曲线即曲线在点在点处的切线斜率为处的切线斜率为 4 分分 xfy 2 2 f 1 4 又又 1 2 ln2 2 f 所以曲线所以曲线在点在点处的切线方程为处的切线方程为 xfy 2 2 f 11 ln2 2 24 yx 即即 6 分分44ln240 xy 因为 因为 所以 所以 ln1 a f xx x 22 1 axa fx xxx 0 x F AB C D E N M y x z 2013 年 1 月东城区 2012 2013 第一学期期末 理科 第 6 页共 7 页 令令 得 得 8 分分 0fx xa 若若 则 则 在区间在区间上单调递增 上单调递增 此时函数此时函数无最小值 无最小值 a 0 0fx f x 0 e f x 若若 当 当时 时 函数 函数在区间在区间上单调递减 上单调递减 0ea 0 xa 0fx f x 0 a 当当时 时 函数 函数在区间在区间上单调递增 上单调递增 exa 0fx f x ea 所以当所以当时 函数时 函数取得最小值取得最小值 10 分分xa f xlna 若若 则当 则当时 时 函数 函数在区间在区间上单调递减 上单调递减 ea 0 ex 0fx f x 0 e 所以当所以当时 函数时 函数取得最小值取得最小值 12 分分ex f x e a 综上可知 当综上可知 当时 函数时 函数在区间在区间上无最小值上无最小值 a 0 f x 0 e 当当时 函数时 函数在区间在区间上的最小值为上的最小值为 0ea f x 0 elna 当当时 函数时 函数在区间在区间上的最小值为上的最小值为 13 分分ea f x 0 e e a 19 共 共 13 分 分 解解 由椭圆定义可知 点 由椭圆定义可知 点的轨迹的轨迹 C 是以是以 为焦点 长半轴长为为焦点 长半轴长为 P 3 0 3 0 2 的椭圆 的椭圆 3 分分 故曲线故曲线的方程为的方程为 5 分分C 2 2 1 4 x y 存在 存在 面积的最大值面积的最大值 6 分分AOB 因为直线因为直线 过点过点 可设直线 可设直线 的方程为的方程为 或或 舍 舍 l 1 0 E l1xmy 0y 则则 2 2 1 4 1 x y xmy 整理得整理得 7 分分 22 4 230mymy 由由 222 2 12 4 16480mmm 设设 1122 A xyB xy 解得解得 2 1 2 23 4 mm y m 2 2 2 23 4 mm y m 则则 2 21 2 43 4 m yy m 因为因为 12 1 2 AOB SOEyy 10 分分 2 2 2 2 232 1 4 3 3 m m m m 设设 1 g tt t 2 3tm 3t 则则在区间在区间上为增函数上