偏微分方程word电子讲义.doc

偏微分方程 偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。 十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。 我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。 偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。通常考虑以下问题 1对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。 2解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。 3解的正则性或光滑性。是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？ 4解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。 5定解区域与影响区域。 6解的间断线、激波线和激波面。 7极值原理。 8其它性质。 9解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。 偏微分方程研究的重点是解的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。 从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。简单的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。简单的偏微分方程可以求得通解，如的通解为，为任意函数。用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还是比较便于应用的。一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解法以及Hamilton-Jacobi方法, 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。高阶方程开始也是按通解的想法研究。代表性的成果是Cauchy-Kovaleskaya定理，就二阶方程来说结果是：当均为解析函数时，这个问题有一解析解。这是一个类似于通解的解，结果是十分一般的，但用处不大。 以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。设自变量为，未知函数为，则关于的偏微分方程的一般形式是其中是其变元的已知函数，简记的一阶偏导数，而一般地简记的阶偏导数为整数）在偏微分方程中所含未知函数的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。如果在一个偏微分方程（组）中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组），否则称为非线性偏微分方程（组）。如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组）。对于拟线性方程（组），其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数。特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组）。对二阶线性偏微分方程其中，及是维空间的某区域中的函数，不同时为零，且不失一般性可设. 引入二次型若在区域中的一点，二次型为正定或负定，则称方程在点为椭圆型；若二次型在点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在点为抛物型；若二次型在点不退化，又不为正定或负定，且有个特征值具有同一符号，则称方程在点为双曲型。还可能出现更复杂的情况。二次型在点既不退化，又不正定或负定，而正、负特征值的个数都不止一个，这时方程称为在点为超双曲型；二次型在点退化，但有好几个特征值为零，而其余的特征值同号，这时方程在点为超抛物型。如果考察整个区域，就有：（1）若在中的每一点，方程都是双曲型，称方程在区域中为双曲型。（2）若在中的每一点，方程都是抛物型，就称方程在区域中为抛物型。（3）若在中的每一点方程都是椭圆型，就称在中方程为椭圆型。（4）若在中的一部分区域方程为双曲型，在另一部分区域上方程为椭圆型，在区域的分界线上，方程为抛物型，这种类型的方程称为混合型方程。例如 在平面区域上分别为双曲型、抛物型、椭圆型方程。而Tricomi方程在上半平面为椭圆型，在下半平面为双曲型，而在为抛物型，它在整个平面上就是一个混合型方程。分型研究在偏微分方程研究上是进了一步。 研究偏微分方程的方法是很多的，例如 1位势论 2积分方程法 3变分法 4差分法 5闸函数法 6上、下解的方法 7连续延拓法 8泛函方法我们不可能介绍所有的方法，只能侧重于主观上认为重要的部分。 在偏微分方程分型研究后发现了无解方程，在偏微分方程的基础理论上，又跨进了一步。偏微分方程的通解是难求的，但长期以来，对各类偏微分方程求若干特解是并不困难的，因此，在一段时期里人们相信，除了属于无意义的情况，如无实解外，每一偏微分方程有一大类解是不成问题的，特别是相信一般线性方程其中，总有一大类解。但是，事实并非如此，例如 没有任何实解，不仅没有古典解，也没有任何强解和弱解，参见： 1L. Hrmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. 2M. Schechter, Modern Methods in Partial Differential Equations, Mcgraw-Hill, 1977. 3陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，1991. 4D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983. 第一章 线性椭圆方程的Schauder理论 我们讨论Dirichlet问题 （1.1）古典解的存在性，其中为线性椭圆算子这里先用下面的定理来引出要做的主要事情。 定理1.1（连续性方法）设是Banach空间，是线性赋范空间，和是的有界线性算子，对于，令如果存在常数使得对于成立则为满射的充要条件是为满射 证明：只须证明：存在常数，使对任意，只要是满射，则对，是满射。 假设对某，是满射的，由知是单射的，于是是双射，存在逆映射。要证对以下方程有解：此方程等价于等价于而可见当则在是满射的。证毕 设在（1.1）如取，并考虑 （1.2）而取为（1.1）中方程左端的算子，则从定理1.1，为建立问题（1.1）的可解性，需要 1适当地选取空间和 2对建立先验估计 3证明为满射，即建立Poisson方程Dirichlet问题（1.2）的可解性。 我们适当选取的空间和实际上都属于所谓的Hlder空间。 定义1.1引入半范 如，则称在上具有指数为的Hlder连续性，称为的Hlder系数。 为多重指标 定义1.2对非负整数和实数，引入以下空间 一般记，. 显然和都是Banach空间，并且。 定义1.3（1）称为Laplace方程的基本解，其中是，内单位球的体积。 （2）设是有界可积的，则称为的Newton位势。 有关的事实为 （1） （2） （3） 定理1.2（1）若在内连续，分片光滑，则且 （2）若在内是Hlder连续的（指数为，），则且这里分片光滑，为的外法线方向。 （3）在（2）的条件下满足 证明（1），积分收敛，其中为包含原点的有界区域。这样在连续时，一致收敛，这样有 （2）取，记，因我们形式地有 （1.3）为了使（1.3）式确实成立。只须证明积分对是局部一致收敛的。对 积分是一致收敛的，因为积分无奇性，因为，从而（1.3）式确实成立，这样(3) 因为上式左端第一项为零。为计算第二项中的曲面积分，注意而在球面上所以 定理1.3（内部估计）设，是的Newton位势，则，且 证明：对，设，则只须证取则由定理1.2有 下面分别估计各个积分类似可得 对于，由中值定理，知在与的连续上有使注意，故，于是 对于，由分部积分可得而当时，因，故；当时，因，故，于是类似可得 对，注意由中值定理，在与之间存在使而当，时，这样 定理1.4（靠边估计）设，为的Newton位势，则且 证明与定理1.3相仿，首先，当时，由定理1.2有为此注意然后，仿定理1.3的证明，可以估计出. 最后，利用方程和上面所得的的估计，便可估计出 下面我们来推导解的先验估计，即得出所谓Schauder估计。我们按如下步骤来做： 1对Poisson方程具紧支集的解：利用Newton位势。 2对常系数方程具紧支集的解：利用用坐标变换 3对变系数方程具小支集解：利用摄动方法 4对变系数方程解，去掉小支集限制：引进内部范数。 定理1.5设满足于，则 证明：由定理1.2，取，且将零延拓到之外，有 再由定理1.3便得求证. 定理1.6设常系数满足，其中常数。若满足方程 （1.4）则 证明：不妨设。令，为待定的常矩阵，则（1.4）化为 于 （1.5）其中为包含的球，（可取），都零延拓到上，而，. 选择满秩矩阵，使（单位矩阵），则（1.5）化为Poisson方程，从而由定理1.5得出在坐标下的估计，其中，再回到坐标系，便得求证。 现在考虑一般的线性方程 ，于假设其系数满足如下条件： （E1）方程是一致椭圆的，即且存在常数使， （E2），为已知常数 引理1.7若，则 引理1.8（内插不等式）设，则存在，使对都有其中或 证明：仅就两种情形来证，其余类似. 1）当时 对任意和任意，存在，使得。由于按积分中值定理，有，使但 故同理可得取，由上面可得取使，由上式得 设，取，则 2）当时 对，使，那么对得：若，则若，则总之再从1）中用和估计出，代入上式，仿1）处理，使得求证。 注：将换成，引理1.8仍然成立。 定理1.9设方程（1.1）满足（E1）（E2），那么存在，使得当，若满足（1.1），则其中依赖于和. 证明利用摄动法，记 由定理1.6其中，下面按的表达式来估计中的各项。由引理1.7和1.8，当时， 其中，取，综合以上我们便得再延取满足，便得求证。 现在考虑（1.1）的一般解 为利用前面关于具紧支集解的结果，自然想到使用切断因子，取，于，。令满足.由定理1.9知当时利用引理1.7和1.8可得从而只能得到 （1.6）这就出现了麻烦，两端最高阶半范所在区域不同，无法使用来消去右端的。为克服此困难，引进内部范数 定义1.4（内部范数）。记，令 其中来自定理1.9 容易看出，当时，的导数仍有可能在附近无界. 而当时，甚至本身在附近也可以无界，所以用内部范数只能得到内部估计。 定理1.10设方程（1.1）满足（E1）（E2），如果为（1.1）之解，则 证明：对，由（1.6）得 由此，由引理1.8，对，有 于是（1.7）为对估计出，考虑，那么当时而当时总之有 （1.8）这样由（1.7）和（1.8）得选择使，便得求证。 下面进行全局Schander估计，记. 设，否则属于内估计的情形。 定理1.11设在附近和上，且于内满足，则 证明：我们仍然希望模仿定理1.3中的方法，把问题转化为Newton位势的估计。为此，先把和零延拓到上，再考虑的奇延拓，即记，令则，这里。由定理1.2 其中为的奇延拓注意到甚至不可能在内连续，所以不能应用位势估计和定理1.3，这里的技巧是先引进的偶延拓显然且这样因为当，当有 利用定理1.3和1.4，便得到的估计，从而也就估计出了. 定理1.12设常系数满足其中是常数，设且在附近和处。如果满足方程于中则 证明与定理1.6相仿，还是先用自变量的非奇异变换将方程化为Poisson方程，为了使用定理1.11的结果，只须再做一次旋转变换，把区域变为，而Laplace算子在旋转变换下不变。 定理1.13设方程（1.1）满足（E1）（E2），那么存在，使得当时，如果（1.1）的解，并且在附近和处，只要则其中与都是仅依赖于和的常数。 证明：可将定理1.9的证明逐字照抄，只要把改成即可。 下面考虑特殊形状的区域，且，记我们有 定理1.14设方程（1.1）满足（E1）（E2），其在内的解那么对其中来自定理1.13，都有 证明与定义1.4相仿引进，只要将那里的用这里的代替。仿照定理1.10之证明，但须用代替，可得由此易得所求。 定理1.14表明，对于这种具有一部分平的边界的区域，已经可以得到直到这部分平的边界上的靠边估计，为了对一般区域，也得到靠边估计，只须假设其边界可以局部拉平，为此引进 定义1.5称一区域属于为整数，如果对，都存在球和单射满足 1为开集， 2 3 利用此概念，边界上每点，找到相应的和，使变到中的区域，使用定理1.14得出靠边估计，再回到原坐标系下，即得到点附近的靠边边界的估计，即Schauder边界局部估计，确切地说，我们有 定理1.15设的系数满足（E1）（E2），. 如果（1.1）之解满足，则对，存在常数和使得其中. 证明考虑任意固定的，由定义1.5，存在和，使得对某常数有从而且 我们设充分大，满足则 设在变换之下，方程（1.1）化为， （1.9）其中显然即方程（1.9）仍然是一致椭圆的。 由定理1.14得再回到变量，有 根据定理1.15对做有限覆盖，再结合内部Schauder估计，就得出全局Schauder估计。 定理1.16设的系数满足（E1）（E2），如果（1.1）之解满足，则 上面的定理是关于齐次边界条件解的结论，对于问题（1.1）之解的全局Schauder估计我们有：在定理1.16条件下，如将满足改为，令可得如果仅知，则在的条件下，可延拓成函数。为了去掉全局Schauder估计中的项，我们下面讨论解的极值原理。 定理1.17（弱极值原理）设（1.1）中的系数满足（E1），为有界函数，。如果满足，那么在上的最大值（最小值）必在上达到，即 证明：不难看出，如果在中，则不能在的内点取到其在上的最大值。因为在这样的点上，矩阵半负定。但由于（E1），矩阵正定，因此，这与矛盾。 由假设为常数，于是因为，故有一个充分大的常数使得因此对任何，在中都有由前述即得令，便得求证。 更一般的，我们假设在中，考虑子集. 易见若在中，则在中. 因此在上的最大值必在上达到，从而在上达到。于是，记，我们有 推论1.1设在（1.1）中算子满足（E1），为有界函数，. 如果满足，那么 推论1.2（唯一性定理（比较定理）如果（1.1）中的算子满足：在上，矩阵的最小特征值有正的下界，有界，那么对满足于，且在上有在上。 只须注意在这里的条件下推论1.1的结论仍然成立。 定理1.8（先验的界）设的系数满足（E1），有界，. 如果满足，则其中常数仅依赖于的直径和. 证明设位于条形区域中，并令. 对于是，有设那么，注意， 于并且在上. 因此，对于和，对的情形我们得到所要的结果：用代替，就得到的情形。 推论1.3设满足（E1）（E2）且，如果满足（1.1），则 下面我们开始讨论连续延拓法所需要的最后一项，即Poisson方程Dirichlet问题的唯一可解性，这里只考虑为球形域的情形，记。 定义1.6设为Laplace方程的基本解，记函数称为Laplace算子关于球的Green函数。 定理1.19（Green函数性质）函数关于或都在内调和. 因此在内当时调和，当时，是无穷次连续可微函数，并且，且 定理1.20设函数，置则且满足由唯一性定理，这个解是唯一的 证明：可改写为于是由定理1.2，且。由定理1.19. 可见满足方程。 为了证明且满足边界条件，我们只须证明对有当。为此，对有对，由定理1.19当时当时。由定理1.19知时，函数关于连续进而使当时于是，当时，这就证明了问题。 定理1.21（Poisson公式）如果调和函数，则其中为的外法线方向，为单位球的体积。 证明对成立Green第二公式只要分片光滑，此处为的外法线方向。由逼近论证，只须证明的情形。 对. 在上式中取得此处分别为的外法线方向。注意 当 当由上面三式，取，有再在Green第二公式中取，有将上二式相减，得按的定义，算出，代入上式，便得求证。 定理1.22如果，置，则满足 证明据定理1.19，当时，为调和函数，且无穷次连续可微，于是亦为调和函数，从而函数满足 为证且，先在定理1.21中取，有固定，对，选取，使 当 当于是当，有 可见，如果充分小，则可任意小，证毕。 定理1.23（调和函数的平均值性质）函数为内调和函数充要条件是对，如下二等式之一成立 （1.10） （1.11） 证明（1.11）可由（1.10）乘于积分而得. （1.10）的必要性来自定理1.21。利用定理1.22并注意到平均值性质蕴涵着定理1.17的弱极值原理及推论1.2的唯一性定理可得充分性。 定理1.24（调和函数内估计）设在内调和，则对任意多重指标，我们有 证明由定理1.21可知，当调和时，亦调和。于是由定理1.23并分部积分得其中为之单位外法向量，因此在等距地分隔开的球套中，逐次应用此估计，便得求证。 定理1.25记，。设，满足时当时，。 证明：不妨设，于是。对，记，置则如定理1.20可以证明注意到其中为定义在上的函数，而。于是那么从定理1.3和定理1.4之证以及的定义可知。 记，则令那么，注意条件，利用定理1.21. 1.19和1.23可知在中是调和函数再由定理1.24知。 定理1.26设，如果是问题的解，那么。 证明通过平移，我们可以假设球的南极位于原点。注意反演映射是到自身的双向光滑映射，它把映为半空间：如定义的Kelvin变换则显然且容易算出那么先在坐标下使用定理1.25，再回到坐标，即知对在上除的南极外的任意点，都存在其邻域，使. 由于在旋转变换下，定理条件不变，因此上述可为上的任意点，定理证毕。 定理1.27设，则当，的Dirichlet问题（1.1）存在唯一解. 证明：令，由定理1.20，定理1.26和推论1.2便得求证。 这样我们就证明了Poisson方程的Dirichlet问题在中的可解性。显然这里的可取为任意的. 最后我们来证明在一般区域一般二阶线性方程Dirichlet问题（1.1）的可解性. 其程序如下：从定理1.27出发，记，。第一步使用连续性方法，将定理1.27中的换成满足（E1）（E2）的一般的且，证明相同结论。第二步使用逼近论证. 将上一步中的换成，证明问题（1.1）在中的唯一可解性，这里的定义是，。第三步使用Perron方法，将换成一般的，证明问题（1.1）在中唯一可解。第四步，根据（1.1）在中的可解性及Schauder边界局部估计，加强关于和的条件假设，证明（1.1）在中唯一可解。 第一步，用连续性方法 定理1.28如果满足（E1）（E2）且，则问题（1.1）存在唯一解. 证明：不妨设，否则取，再得. 在定理1.1中，取，. 由定理1.27知是满射的；令，则由Schauder全局估计，即定理1.16，与弱极值原理，即定理1.18，知于是，定理1.1的条件全部满足，所以是满射的。 第二步，用逼近论证。 定理1.29设满足（E1）（E2），则问题（1.1）存在唯一解。 证明：因存在满足时。据定理1.28，相应于，（1.1）有解. 由Schauder内估计，即定理1.10和弱极值原理，即定理1.18有（与无关）。利用对角线方法，知存在的子列，仍记为，在中收敛于某一显然，满足（1.1）中方程，又据定理1.18 当时,故是中的Cauchy列，有。 第三步，Perron方法 在下面定义1.7，定理1.30中出现的和都指的是问题（1.1）中者，并假定满足（E1）（E2），。以下总记。 定义1.7设，球，以表示满足条件的函数，称为关于在上的提升。 由定理1.29知这样的存在。 定义1.8设，如果对于都有则称为问题（1.1）的下解。 注意，这样定义下解，只要求函数连续，不必是二次连续可微。 定理1.30（下解的性质）1. 设，如果，则为下解. 2. 如果和是下解，则也是下解. 3. 如果是下解，则也是下解。 证明：1. 由假设和的定义有故由弱极值原理知。 从而于内，再由的定义知于，所以为下解。 2设，按定义只须证，对由于是下解，故对有又于内，于内，而按定义有于内 故按弱极值原理有于内，和于内，由此便知为下解。 3按定义，应该证明： 对任意球但当时使用定义，当时利用弱极值原理，可知上式显然成立。故只须考虑如下情形：当且。 考虑，按定义有而对，按定义有因此由弱极值原理和定义知 于但 于故有 于按连续性由此得 于但已知 于于是 于但 于由弱极值原理有 于综上有 对任意求即也是下解。 以下的关于上解定义，保证我们只用弱极值原理就能完成所需的证明。 定义1.9设函数如果则称为问题（1.1）的上解。 定理1.31（上解的性质）对任意下解和上解都有. 证明：反证。若不然，存在使于是存在，使 于 考虑，由上式知于. 从而于的最大值必然为正. 另外，按定义有. 故一定不能在的内点取到正的最大值，从而矛盾。 定理1.32记为所有下解的集合，则非空，且中函数有一致的上界。 证明：设，令其中, 则当充分大时，必有.那么由定理1.30知，故非空。 又仿上可知函数，当充分大时为上解，从而，由定理1.31知为中函数的一致上界。 为了上面用Perron方法构造出的解满足边界条件，需要的边界具有一定的正则性，即 定义1.10称区域满足外部球条件，如果对，都存在球，满足。 如果，则满足外部球条件，且定义1.10中的可对都取成相同的。 定理1.33设区域满足外部球条件，满足（E1）（E2），, 则问题（1.1）存在唯一解。 证明：记为所有下解的集合，我们来证所求的解为。 先证满足方程。 设是的可列稠密子集，对每一，存在使，. 由定理1.32和定理1.30，不妨设一致有界，定义显然，当，即在的一稠密子集上收敛于，并且一致有界。 对，考虑提升由定理1.30当然有，当. 且据Schauder内估计，对,常数与无关从而，据Arzela-Ascoli定理，不妨设：于，于且 要证于。如不然，存在使得. 于是存在满足由于在上一致收敛于，连续，故存在的邻域使得与，矛盾。 对，做外部球用闸函数法。取注意到于内，容易算出：存在常数使 当充分大时因为，故对，使 当又显然存在常数使 当于是由定理1.30可知：当充分大时，函数为下解，而由定义1.9知：此时函数为上解。因此，由的定义和定理1.31又得 令，得由的任意性，知存在。 第四步问题（1.1）之解，即古典解的存在性。 定理1.34设满足（E1）（E2），则问题（1.1）存在唯一解。 证明由定理1.33知问题（1.1）存在解，为证此，我们只须证明它在每点附近为如此。 由于，对，存在的邻域和微分同胚，满足条件包含某球体的闭包，而为该球的部分边界。因为我们只关心在点附近的属性，而又是微分同胚，所以我们可以只在的附近考虑问题。那么，不妨假定，其中且只须证明，对某为常数，。 构造序列使得由定理1.28知问题存在唯一解与定理1.33证明相仿，可由Schauder内估计知，存在子列仍记为满足：（于）, 且据弱极值原理知, 故满足（1.1），再由唯一性定理知。 利用Schauder边界局部估计知使从而由弱极值原理知，存在与无关的常数使通过抽取子序列的办法，并根据极限的唯一性，由此可得。 第二章 Sobolev空间 设表示有界区域上可测函数的等价类，在一测度为的子集上函数值可以不同，这类函数的逐点性质理解为函数类中有一个确定的函数所具有的性质。 当时，表示由为范数的函数所构成的空间，表示由为范数的函数所构成的空间。 的简单性质： 1）当时，是可分的，特别是是它的一个稠密子空间。 2）当时，是自反的。它的对偶空间是，其中。 3）时为Hilbert空间，内积由下式定义. 4）对，而时有其中二个函数乘积推广为多个函数乘积时，且时 5）当且时有内插不等式其中由定出. 再由带的Young不等式得 记，其中指. 中收敛的意义为：，有于中为收敛。 定义光滑化子如下：其中常数满足选取时使成立。 对与，的光滑化函数由下面的卷积定义:，当很小时有。 定理2.1（i）当，则于且于中为一致收敛。 （ii）当，则其中，。同时时在中。 证明：（i）由于时，故当且时，如果则有由于在内闭为一致连续，故在上一致趋近于。 （ii）当时，取定。 ，取满足。当充分小时，由（i）有故对充分小的有因此在中收敛到。 定义2.1设且在中具紧支集，即则. 设在为局部可积，如果成立则称的次弱偏导存在，且其值为。 定义2.2如果存在中的函数列在中收敛到，收敛到，则称的次强偏导存在，具值为。 定理2.2强、弱偏导是一致的。 证明：当为的强次偏导时，有令，得到满足弱偏导关系式。 反之，当满足弱偏导关系式，则有这是因为 按的意义，收敛到收敛到，即为的强次偏导。 定义2.3设为正整数，函数集合赋以范数这时成为一个Banach空间，称为Sobolev空间，在空间也可以取范数两种范数是等价的。当时，又记，它关于内积这是Hilbert空间。 定义2.4我们记 在中的闭包。 具有以下性质： 1）当时，是可分的。 2）时，是自反的。 定理2.3设，则复合函数，且 证明：由于以及定理2.2知有中的函数列，, 使及在中分别收敛到和。因此，有由可选出子列，使它在上几乎处处收敛到，这个子列仍记为。因为连续，也在几乎处处收敛到. 由Lebesgue控制收敛定理，. 推论1设于上绝对连续, , 则.推论2记，则 定理2.4在中稠密。 定义2.5设是两个Banach空间，如果，目存在正常数使 那么称嵌入，记为，恒等算子称为的嵌入算子. 如果嵌入算子为紧算子，称嵌入为紧嵌入。 定义2.6称满足一致内锥条件，如果存在某有限锥体，使对，都能作出一个以为顶点且与全等的有限锥体使。 定义2.7我们称具有强局部Lipschitz条件，如果存在的一个局部有限开覆盖并对每一又存在个变元的实值函数，使对某已知的正常数和自然数，以下条件成立 （1）记，那么对任意，只要，就存在使. （2）每一函数都满足常数为的Lipschitz条件： （3）对每一，只要适当选择直角坐标系，则 （4）开集族中任意个之交为空集。 如果且，则具有强局部Lipshitz条件. 定理2.5（嵌入定理）设 （1）若满足一致内锥条件，则当时这里当时 ，当时 . （2）若具有强局部Lipschitz条件，则当时，有这里. 我们称上面的为的Sobolev共轭指数。 定理2.6（紧嵌入定理）设 （1）如果满足一致内锥条件，则当时下列嵌入是紧的这里当是 ，当时 . （2）如果具有强局部Lipschitz条件下，则当时，下列嵌入是紧的， 对于空间，定理2.5和2.6同样成立，而且对区域不需任何条件。 上面的嵌入定理是同维嵌入，即把的一个函数空间中的一个元素看为的另一函数空间中的元素。还可有低维嵌入，即把上的函数看为内低维流形上的函数空间中的元素。这种嵌入的结果，首先要注意的是的函数定义为等价类, 即测度为的子集上函数是可以任意的，低维流形的测度为，其上的函数是任意的，低维嵌入指的类中有一个光滑的函数在低维流形上的性质。低维嵌入通常用于研究方程解的函数类与初边值函数类相对应的关系。 参考书目1 R. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.2 王元明和徐君祥，索伯列夫空间讲义，东南大学出版社，南京，2003. 第三章 线性椭圆型偏微分方程的理论 我们讨论Dirichlet问题 （3.1）在Sobolev空间中解的存在性，其中为二阶线性椭圆算子。首先，给出解的定义. 定义3.1称函数为问题（3.1）的强（广义）解，如果 容易看出，如果是（3.1）的古典解，则它自然是（3.1）的强解；反之，如果（3.1）的强解，则它也必然是古典解。 由于问题（3.1）是线性的，因此我们仍然可以使用连续性方法来研究解的存在性。注意到Hlder空间和Sobolev空间的相似之处和强解的定义，我们自然选取，. 然后对（3.1）的强解得到相应的先验估计，即估计， （3.2）注意到我们已有关于Hlder空间中已知的古典解的存在性结果，以及Hlder空间在Sobolev空间中的稠密性，容易想到用逼近论证。因此，这里的核心任务是估计的建立。 同古典解建立Schauder估计一样，建立一般二阶线性椭圆方程解的估计其基础是对Newton位势给出这种估计，为此，需要借助奇异积分算子理论。当然和Schauder相对应的估计的形式是 （3.3）为了由此得出（3.2），需去掉（3.3）右端的项，这样需要用到一种极值原理Aleksandrov极值原理。 因此，我们先讲解奇异积分算子理论，然后建立估计，最后来介绍Aleksandrov极值原理和强解的存在性。 定义3.2 1）线性算子称为强型的, 如果存在常数使并记 2）设是上可测函数，记称为的分布函数。 3）线性算子称为弱型的，如果存在常数使使上式成立的最小的记为. 引理3.1 对于，如果是强型的，则它必是弱型的，且. 证明：. 后面，我们需要用分布函数来估算函数的范数，这时用到 引理3.2 设则. 证明：先设，考虑所谓的下方图形那么，由Fubini定理，有其中显然，从而 对于一般的，利用上式，根据分布函数的定义，并进行变量替换，可得引理结论。 定理3.3（Marcinkiewicz内插定理）设，如果既是弱型的，又是弱型的，那么对任意，是强型的，并且，其中. 证明：设，令 显然，且，于是，那么从而由引理3.2 因此，为强型，且如果，则. 对一般情形，令重复上面证明，即得定理结论。 引理3.4（Calderon-Zygmund分解）设，则对任意固定，存在两集合与，使得满足性质： 1）; 2） a. e. 于. 3），其中为两两无公共内点，边平行于坐标轴的立方体，且特别有 证明：将分解为等立方体网，使的边平行坐标轴，且之边长如此之大，满足 将每一等分成其边平行于坐标轴的个新立方体，则有两种可能： 情形1. 情形2. 把出现情形2的归入之类，显然至多可数且内部不交，并且成立：对于出现情形1的那些，将其每个如前做等分，并把出现情形2的归入. 如此继续下去，记那么，只须证明性质2）成立。事实上，对，都存在属于情形1的满足： 当, 从而，根据关于测度导数的Lebesgue定理知：对有 为了建立Newton位势的估计，我们需要证明奇异积分算子是强型的，而这种奇异积分算子，归根结底是通过一类特殊的卷积型算子的极限来定义的。本节我们就来证明这类卷积型算子的强型性质。 定理3.5设满足 1），是的Fowner变换. 2）.如定义则对于，是强型的，并且 这条定理将分四步来证。第一步用Fourier变换，证明是强（2,2）型，因此也是弱（2,2）型。第二步用Calderon-Zygmund分解引理，证明是弱（1,1）型. 从而，第三步用Marcinkiewicz内插定理，就立即可知是强型，. 最后，第四步用共轭空间的关系，来证是强型，。 为了证明这条定理，我们需要-Fourier变换的若干知识： 定义3.3设，定义的Fourier变换为 引理3.6（-Fourier变换性质） 1）Parseval等式成立： 2）卷积定理： 3）记，则 定理3.5的证明： 第一步：是强（2,2）型的。 注意于是，由定义知是强（2,2）型，. 且据引理3.1，它也是弱（2,2）型的，还有 第二步：是弱（1,1）型的。 对，将Calderon-Zygmund分解应用于，知存在集合和满足条件：，； 于；，立方体互相间无公共内点，. 将进行分解，即令 这样我们有： 于，于；，。为此，只须注意： ； 为证明是弱（1,1）型，我们只须证明：存在常数，使得由于对的分解，我们有故只须估计右端二分布函数. 首先由第一步和的性质有 为估计，做的同心立方体，边长拉大倍，记其为.那么这里表示体积。 设是的中心，则有 （3.4）令代替考虑有于是由（3.4）从而，注意，得这样一来，由此便得 综合以上讨论有这恰为所要的估计，并且有 第三步：是强型，. 根据前两步的结果，利用Marcinkiewicz定理推出：对于，是强型，并且再通过和Marcinkiewicz定理证明的最后部分相似的论证可知，实际上有 第四步：是强型，对. 对任意，任取，满足，那么，如果能证明（某已知量）则由共轭空间的关系可知. 因为其中。容易验证也满足满足的条件1）和2）且显然. 于是对于由所定义的算子，按第三步所得结论有从而，。如前所述，这就证明了问题。 下面我们以来记满足如下条件的奇性核函数： （），为仅与有关的常数； （） （）。 显然，如果用这种奇性核来构造卷积算子，那是没有意义的，因为核函数不可积。所谓奇异积分算子是用一族次方可积核的卷积算子的当时的某种极限来定义的算子，这里，而为了得出这种次方可积算子的强型属性，又需要用下面的可积核来逼近：显然. 为了使用定理3.5，下面我们来估计和，我们希望得到的估计与无关，以便在逼近过程中，令取极限。 引理3.7