An Introduction To Compressive Sampling全文翻译.pdf

An Introduction To Compressive Sampling 翻译 全文 压缩采样导论 信号或图像采样的传统方法遵循香农定理 采样速率大于等于信号频率最大值 也叫的奈奎斯特速 率 的二倍 事实上 这一原理构成了音频和视频设备 医学成像设备和无线电接收器等设备上的几乎 所有信号采集协议的基础 尽管对于一些信号 比如非带宽受限的图像 采样速率不是通过香农定理而 是由时间或空间分辨率决定 然而在这样的体系里通常要在抽样前使用抗混叠的低通滤波器进行带宽限 制 所以香农定理依然起到了一个隐式的作用 例如 在数据转换方面 标准的模数转换器技术使用 的量化香农定理表述为 信号均匀抽样速率大于等于奈奎斯特速率 本文概括论述了压缩采样的理论 也被称作压缩传感或者 CS 是一篇突破了传统信号获取理论的 文章 CS 理论断言可以用比传统方法更少的采样点或测量值恢复信号或图像 为了实现这一点 CS 依赖于两个原则 稀疏性和非相干性 前者与所感兴趣的信号有关 后者与传感模式有关 稀疏性表达的思想是 连续时间信号的信息速率可能远小于根据带宽所计算出的值 或者说离散信 号取决于远小于有限长度的一些量值 更明确的说 CS 阐述了这样一个事实 从某种意义上说 当用 适当的基表示时有简洁描述的情况下 许多自然信号是稀疏的或可压缩的 非相关性扩充了时域和频域的二元性 并表达了这样一种思想 在 中有稀疏表示的目标信号在它 们所在的域上是展开的 正如在时域中冲击函数或者峰值函数在频域中是展开的一样 换句话说 非相 关性描述的是 与我们感兴趣的信号不同 采样 传感信号波形在基 中有一个相当密集的表示 至关重要的发现是能够设计一个有效的传感或采样方案来捕捉内嵌在稀疏信号里的有用的信息 再 将其压缩 这些方法是非自适应的 只需要将信号与少量的与稀疏化的基不相关的固定波形相关联即可 更难以置信的是这些采样方法允许一个传感器在稀疏信号中有效的获取信息来重建这个信号 更进一步 来说 可利用数值优化通过少量采样信号来重建整个信号 换句话说 CS 是一个非常简单有效的信号 采集方法 通过这个方法 样本可以不依赖于原始信号利用看起来不完整的数据在低速采样情况下使用 计算机重构信号 这篇文章的目的是概述 CS 理论的基本原理 介绍了构成这一理论的重要数学思想 概述了在这个 领域中的几个重要成果 CS 理论其中一个魅力所在是它涉及到了应用数学中的多个分支 尤其涉及到 了概率论 文中刻意强调了这方面 尤其是随机性能推导出非常有用的传感机制这一似乎令人惊讶的事 实 文中还讨论了它的重要意义 解释为什么 CS 对于同时传感和压缩数据是一个实用的方案 并通过 一些重要的应用来证明结论 信号感知问题信号感知问题 在这一部分 我们将讨论传感机制 其中信号 f t 的信息通过线性泛函来获得 记录的值如下 1 kk yfkm 1 将波形与期望获得的目标简单的关联 这是一个标准架构 例如 如果传感波形是单位脉冲函数 则y是f在时间或空间上的抽样值的矢量 如果传感波形是像素的指标函数 则y是通过数字摄像机 中的传感器采集的图像数据 如果感知波形是正弦函数 则y是傅里叶系数 核磁共振成像用的就是 这种传感模式 当然其他的例子也大量存在 尽管可以建立一个持续时间 空间信号的 CS 理论 但这里只关心离散信号 n fR 的情况 有两 方面原因 首先 概念较为简单 其次 已有的离散 CS 理论已经非常成熟了 显然已经为连续理论铺 平了道路 在 应用 部分还会介绍 因此 我们接下来关心的是采样过疏的情况 在这种情况下 观测数m比信号f的维数n小得多 出于各种原因 这样的问题极其普遍 比如 传感器的数量有限 或者是由于有些通过中子散射成像处理的测量方式非常昂贵 又或者是因为诸如磁共振成像时一样 由 于传感处理太慢 导致只能对目标检测很少的次数 这些问题的存在导致了重大难题的出现 仅仅通过m n时的测量结果能否使恢复信号成为可 能 通过设计m n情况下的检测波形是否能检测到几乎所有f相关信息 怎么通过这些信息大概得 出f 显然 这些问题解决起来相当艰巨 可能需要先解欠定线性方程组 令 A 是以矢量 1 m 作 为行的m n 感知矩阵 是 的复数转置 当m n时由 m y AfR 转换回 n fR 的过程一般非 常棘手 因为有无穷多个 信号解可使A y 但我们可以想到利用 f 基于的自然存在的现实信号模型 而达到解决问题的目的 由香农定理可知 如果 t f实际带宽非常小 那么很小数量的均匀样本就可 恢复得到f 通过本文余下的部分的介绍可以发现 由于极大范围信号模型的存在使得信号恢复成为 可能 非相关性和稀疏信号的传感非相关性和稀疏信号的传感 这部分讲述了 CS 理论的两大基本前提 稀疏性和非相关性 稀疏性稀疏性 很多自然信号在适当的前提下都能用简洁的表达式表示 例如 如图 1 a 所示的图像 其对应的小 波变换图为图 b 尽管原始图像中几乎所有像素均非零 但小波系数简明概括为 大多数小波系数值很 小 并且相对很少的几个大系数包含着大部分信息 从数学角度而言 已知矢量 n fR 如图 1 中像素为 n 的图像 在正交基 如小波基 12 n 下展开结果如下 1 n ii i f txt 2 式中x是f中的一个系数序列 ii xf 将 f 用x 表示 其中 是一个以 1 n 为列的 n n 的矩阵 稀疏性的含义现在可明确为 当信号具有稀疏扩展性时 我们能够将那些小系数忽略不 计而对信号造成的影响在信号恢复后不会被感知 从形式上考虑 s f t是保留展开式 2 中 S 个最大 系数值 i x 所得结果 通过定义可知 ss fx 以下 s x就是所有系数 i x的矢量 其中 i x除了最大 的 S 个都被置为 0 由于绝大部分都被置零 这个向量在严格意义上是稀疏的 我们称为最多 S 个非 零项的对象为 S sparse 由于 是正交基 我们有 22 2 lsl ffxx 如果 x 在按值排序快速衰减 的意义上是稀疏的或可压缩的 那么x可以用 s x很大程度的逼近 因此误差 2 2 lff 是非常小的 简单来看 我们可以丢弃绝大多数系数而不造成很大的损失 图 1 c 展示了一个实例 其中几乎察觉不 到 1 兆像素图像与丢掉 97 5 的系数后的近似图像之间的差别 图 1 当然 这个原则是大多数先进有损编码器的理论基础 这些有损编码器包括 JPEG 2000和其他压缩 格式 而一个简单的数据压缩方法就是由f计算得到x 然后 自适应的 编码求出 S 的位置和重要 系数的值 由于重要信息段的位置可能预先未知 它们与信号有关 这一过程需要知道所有n个系数x 因此这样一个过程需要所有n个系数x已知 在我们的例子中 那些重要信息往往聚集在图像的边缘位 置 一般而言 稀疏性是一个基本的建模要素 它能够带来高效率的基本信号处理 例如 精确的统计 估计和分类 有效的数据压缩 等等 本文所研究的内容大胆新颖且具有深远意义 其中稀疏性对于信 号采集起着重要支撑作用 稀疏性决定了如何有效 非自适应地采集信号 非相干采样非相干采样 假定我们给定 Rn 内一组正交基 第一个基 用于感知像式 1 那样的感知对象 f 第二个用来表示 f 这里对正交基的限定不是必须的 仅仅为了简化处理 定义 1 感知基 和表达基 两者之间的相干度为 1 max kj k j n n 3 通俗的讲 相干度测量 和 中任意两个元素之间的最大相关性 如果 和 包含相关元素 相干度就很大 否则就很小 但无论有多大或多小都满足 1 n 压缩采样主要针对低相干正交基 现在我们给一些这样的例子 第一个例子中 是冲击响应基 k tk 是傅里叶基 1 22 ijt n j ne 由于 是感知矩阵 这与时间或空间中的经典采样 格式一致 时间 频率对服从 1 因此有最大非相干性 进一步来说 脉冲信号和正弦信号不 仅在一维空间上不相干 在任意维度上 比如二维 三维等等 都不相干 第二个例子中 是小波变换基 是 noiselets Noiselets 与 Haar 小波基的相干度为 2 通过 大范围样本值 n 得到 noiselets 与 Daubechies D4 和 D8 小波的相干度分别大约为 2 2 和 2 9 扩展到高维 数上也是如此 noiselets 与 spikes 傅里叶基同样达到了最大非相干性 我们对 noiselets 的兴趣来自以 下几方面原因 1 noiselets 与提供图像数据和其他形式数据的稀疏表示系统不相干 2 noiselets 适合 使用快速算法 noiselet 变换耗时 O n 并且与傅里叶变换一样 noiselet 矩阵在形成矢量时不需要占 用存储空间 这对于 CS 实现高效数值计算是至关重要的 最后 随机矩阵与任何固定基之间均不相干 通过将从单位圆上独立均匀采样得到的 n 个向量标准 正交化 均匀随机的选择一个正交基 这样在很大概率上 和 的相干度是 2logn 通过扩充具 有独立同分布元素的随机波形 k t 也展示出与固定表示 有非常低的相干性 例如高斯分布或 1 二 进制项 注意到这里有一个非常奇特的暗示 如果非相干系统感知是良好的 那么有效的机制就应该获 得与随机波形的关联 例如白噪声 欠欠采样采样和和稀疏信号的稀疏信号的重构重构 理论上 我们希望可以测量 f 的所有 n 个系数 但实际上我们只观测它的一个子集 采集的数据为 kk yfkM 4 其中 1 Mn 是基数mn 的子集 利用这些信息 我们利用 1 l 范数极小化来重构信号 所提出 的重建 f由 fx 给出 其中 x是凸优化下的解 1 lii xx 1 min n l x x subject to kk yxkM 5 这就是说在所有fx 与数据一致的对象中 我们挑选其系数序列具有最小 1 l范数的对象 我们都 知道 受限于线性均等式的极小化 1 l能够很容易的改写为一个线性规划问题 如此便提供了一种高效的 解决方案算法 用 1 l范数作为稀疏提升函数可以追溯到几十年前 最早应用在反射地震学 其中的稀疏反射函数 用 以指示地表下各层的重要变化 从带宽受限的数据中得到 然而 1 l 极小化不是求解稀疏解的唯一方法 其他方法 比如贪婪算法 也已被提出 上述讨论结果证明 当f足够稀疏时 通过 1 l 极小化复原信号是准确的 定理定理 1 固定 n f 假设 f 的系数序列 x 在基 下是 S 稀疏的 在 域下均匀随机的选择 m 个测量值 如果 2 logmCSn 6 对于正常量 C 5 的解极大概率下是准确的 在此做三点解释 1 相干性的作用是非常明显的 相干度越低 需要的样本就越少 因此我们在前一章节中重点强 调了低相干度的系统 2 通过测量任一组 m 系数 可能远小于信号的表面需要 人们不会蒙受信号损失 如果 等于或接近于 1 那么logSn次采样就足够了 而不需要n次采样 3 在事先不知道x非零坐标个数 位置的条件下 信号f可以利用极小化凸泛函得到的压缩数据 集来重构 关于他们的幅值事先完全未知 这个定理确实提供了一种非常具体的捕获方案 在非相干域的非自适应采样和在采集之后的线性规 划 按照这一方法 可以获得压缩形式的信号 所需要的是一个解码器去解压数据 这就是 1 l 极小化 所起的作用 事实上 这个非相干采样是早先谱稀疏信号采样结果的推广 由此展现了随机性是一个可靠的证明 并 可以成为一个非常有效的传感机制 也许正是因此引发了现在 CS 蓬勃的发展 假设我们对超宽带采样 感兴趣 但谱稀疏信号的形式为 1 2 0 0 1 n ijt n j j f tx etn 其中n很大 但非零元素 j x小于等于 S 我们可以理解为非常小 我们不知道在哪些频率上是活跃的 也不知道其幅值有多大 因为活跃集合不一定是连续整数的子集 香农 奈奎斯特定理很可能没有用 因 为不能限制带宽的先验 可能导致所有的 n 时间采样都是需要的 在这种特定的情形下 通过定理 1 我们可利用logSn个抽样值重建具有任意未知频率支撑集 S 的信号 而且 这些样本不需要精挑细选 几乎任意具有这样样本空间大小的样本都可以 现在讨论概率在以上内容中的角色 要点是获得有用有力的结果 我们需要借助概率 因为我们不 希望所有大小为 m 的测量集合都有合适的结果 一些特殊的稀疏信号几乎在整个 域上都为零 换言 之 我们可以知道稀疏信号f和大小几乎为n的子集 例如n S 对所有k M 0 kk yf 一方面这些子集可以看到一连串的 0 当然没有办法重建信号 另一方面 可以保证集合的小部分不能 精确恢复的概率是可以忽略的 因此 我们不得不容忍极小的失败概率 对于实际应用而言 如果样本 容量足够大 那么失败的概率就是零 有趣的是 通过对上述讨论的特殊稀疏信号的研究发现 我们至少需要 2 logSn 个样本 用更 少量的采样 信息损失的概率会很高 无论用多么复杂的算法都无法重构信号 总的来说 当相关度是 1 时 样本空间不必大于logSn 但也不能再小了 我们以一个非相关采样的例子来总结这一节 考虑图 1 c 这个稀疏图像 这幅图像仅有 25000 个非零小波系数 通过 96000 次非相关测量获取信息 并求解式 5 极小化 1 l 范数恢复是完美的 即 ff 该例子表明大约四倍于稀疏度的采样就足够了 很多研究者也报道了类似的成功经验 事 实上有一个 4 1 的实用规则 该规则表示 为了准确复原信号 每个未知的非零项需要大概四个非相干 采样 稳健压缩采稳健压缩采样样 我们已经证实了可以从少量的测量值恢复稀疏信号 但是为了更为有效起见 CS 需要能够处理带 有噪声的稀疏信号 首先 一般的信号不是稀疏信号而是近似稀疏的 问题是我们是否能够从高度欠采 样测量值中恢复这些对象 其次 在实际应用中 由于感测设备不可能完全精确 微小的噪声都会使测 量数据产生严重错误 因此 CS 必须是非常稳健的 最起码 要能够使在数据中的小扰动只引起在重建 中的小扰动 这部分同时考察两个问题 在开始之前先考虑从 yAxz 7 恢复矢量信号 n x 的抽象问题 其中 A 是给出了关于x信息的m n 的传感矩阵 z是随机的或 确定的未知误差项 由于根据fx 和yR f 可以写出yAx 其中A R 因此 可以 使用抽象模型 7 其中 x 是适当基下的系数序列 约束约束等距性等距性 在这部分 我们介绍一个重要的概念 这个概念已经证明对于 CS 的一般鲁棒性的研究非常有用 被称作为约束等距行 RIP 定义 2 对每个整数 S 1 2 定义矩阵 A 的等距常量 S 作为满足下式的最小的数 222 222 1 1 SllSl xAxx 8 对于所有的 S 稀疏向量 x 都满足 如果 S 不是非常的接近 1 我们就宽泛的说矩阵 A 满足 S 阶的约束等距性 如果这一性质成立 矩阵 A 近似保持 S 稀疏信号的欧式长度 这反过来证明了 S 稀疏向量不在矩阵 A 的零空间中 这是 有用的 否则无法重建这些向量 约束等距性的等价描述是 矩阵 A 的所有 S 列的子集都近似正交 矩 阵 A 的列向量不能准确正交 因为列大于行 为了看到 RIP 与 CS 的联系 设想我们用矩阵 A 获取 S 稀疏信号 假设 2S 充分小 这意味着所有 的 S 稀疏信号之间的成对距离必须很好的保存在测量空间中 即 222 222 21212212 1 1 SllSl xxAxAxxx 满足所有 S 稀疏矢量 12 x x 正如下一节中所述的 这个令人鼓舞的事实保证了利用已被压缩的测 量值高效 稳健的识别 S 稀疏信号的算法的存在 从从欠采样欠采样数据中数据中复原复原普通信号普通信号 如果满足约束等距性 根据线性规划给出了一个精确重建的式子 1 min n l x xst AxyAx 9 定理定理 2 假设 2 21 S 9 的解 x 服从 21 0 lSl xxCxxS and 11 0 lSl xxCxx 10 对于常数 0 C 其中 S x是将向量x中所有的除了最大的 S 外全部设置为 0 后的向量 定理 2 的结论比定理 1 的结论更有说服力 如果x是 S 稀疏 则 S xx 那么复原是准确的 如 果x不是 S 稀疏 那么 10 式断言 复原信号的质量恰如人们提前知道x的 S 个最大值的位置并直 接测量的结果那么好 换言之 重构的结果非常好 就好像有对x非常了解的先知为我们从 S 中提取重 要的信息一样 与我们早先的结果的另一个惊人差别在于他是确定性的 不涉及概率 如果我们足够幸运使感知矩 阵 A 满足定理的假设条件 就可以应用它 并保证精确恢复所有的 S 矢量 其本质是复原所有适量的 S 个最大元素 即 不存在失败的概率 用此方法缺失的是服从假设的 S 可以有效复原的分量数 与观测数 m 或者矩阵的行数的关系 为了导出更有效的结果 我们希望找到满足 RIP 条件的使得 S 接近于m的矩阵 我们能设计这样的矩 阵么 在下一节中 我们将证明这是可能的 但是下面将首先考察 CS 面对数据干扰的鲁棒性 噪声信号的稳健恢复噪声信号的稳健恢复 我们在 7 中给了一个噪声数据 并利用具有宽松约束的 1 l范数极小化来重建 12 min ll xstAxy 11 其中 限制了噪声在数据中的含量 我们可以考虑一些复原方法 比如 Dantzig 选择器或者 Haupt 和 Nowak 提出的组合优化方案 这两种算法在方差有界的高斯噪声情况下都是可以证明的结论 这又 是一个凸优化问题 二阶锥规划问题 求解此问题有多种有效的算法 定理三定理三 假设 2 21 S 对于常量 0 C和 1 C 11 的解 x服从 21 01 lSl xxCxxSC 12 这已经很难更简单了 重构误差受到两项和的限制 第一项是没有噪声时的误差 第二项正比于噪 声水平 此外 常量 0 C和 1 C是特征小量 例如 在 2 1 4 S 的情况下 0 5 5C 和 1 6C 图 2 所 示是对噪声数据的重建 图 2 这最后的结果为 CS 建立了实用有效的传感机制 CS 对不只是稀疏信号的信号都有效 并能很好 的处理噪声信号 剩下要做的就是设计满足约束等距性 RIP 的有效的传感矩阵 这是下面一节的目 标 随机感知随机感知 回顾 RIP 我们要找出这样一个传感矩阵 这个矩阵的任意子集组成的列向量几乎是正交的 这些 子集越大越好 这里随机性再次出现 考虑以下传感矩阵 i 通过在单位球 m 上均匀随机地采集n个列向量形成 的矩阵 A ii 通过从均值为 0 方差为 1 m的正态分布上独立同分布 i i d 集元素形成的矩阵 A iii 如 非相干采样 一节所述的对随机映射矩阵 P 采样并标准化为 An mP 形成的矩阵 A iv 从对称 伯努利分布或其他亚高斯分布上独立同分布采集元素形成的矩阵 A 在极大概率情况下 如果 log mC Sn S 13 那么所有这些矩阵服符合 RIP 其中 C 是与具体实例有关的常量 i iii 用了概率论中相当标准的 结果 关于 iv 的论证更复杂一些 在所有这些例子中 抽样矩阵满足 13 但不符合 RIP 的概率是 关于 m 的指数型小量 有趣的是 没有测量矩阵或重构算法可以用比式 13 更少的采样得出定理 2 的结论 在这个意义上说 使用随机矩阵与 1 l极小化相结合的方式是接近最优的感知策略 我们也可以像 非相干性和稀疏信号的传感 那一节所述的那样建立正交基对的 RIP 用A R 其中 R 随机均匀地抽取 m 个坐标 使 4 log mC Sn 14 是以极大概率具有该性质的充分条件 对于某些0 想要使失败的概率不大于 O n 那么 14 中最合适的指数应该是 5 而不是 4 这证明了可以从非相干域中极度欠采样数据中稳定精确的重 建近稀疏信号 最后 A 也可以成立约束等距性 RIP 其中 是任意正交基 是从适当的分布中随机 取出的m n 的测量矩阵 如果固定 按 i iv 所述构成测量矩阵 如果满足 13 那么矩阵 A 将在很大概率上符合 RIP 其中 C 为与具体实例有关的常量 这种随机测量矩阵 从某种意 义上是普适的 在设计感测系统时甚至不需要已知稀疏基 什么是压缩采样 什么是压缩采样 典型的数据获取过程如下 大量数据被采集 但大部分数据在压缩阶段为了便于存储和传输而被丢 弃 用本文的话说 我们获得一个高分辨率像素陈列f 计算完整的变换系数 编码最大的系数并将 其他系数丢弃 本质上以 s f结束 这种大量获取数据再压缩的过程是极其浪费的 我们可以想象一下 具有几百万像素的数码相机 但最后编码出的图片仅有几百 KB CS 的操作则不同了 就好像 可以直接获取感兴趣对象的最主要信息 一样 通过如 随机感知 一 节所述的那样进行 log O Sn S次随机投影 就可以重建至少和 s f一样准确的信号 换句话说 CS 测量协议本质上将模拟数据转换成已压缩的数字信号形式 因此至少从原理上讲 我们能够用少量的传 感器获得超分辨率信号 获取之后 只需解压测量数据即可 CS 同编码理论 更精确的说同 Reed Solomon RS 码的理论和实践中的观点在表面上有些相似性 就本文讨论内容简单的说 可以采用编码理论来建立如下观点 可以从信号的前 2S 个或任意相继的 2S 个傅里叶系数 1 2 0 0 1 2 21 n ikt n kt t yxekS 中唯一重建任意的 S 稀疏信号 这是否意味着能够利用这项技术来感知可压信号 答案是否定的 主 要有以下两方面原因 首先 RS 解码是一个代数问题 不能用于处理非稀疏信号 解码通过求解多项 式求根 其次 即便信号完全稀疏 根据前 2S 个傅里叶系数寻找信号支撑集的问题是非常不适合的 这问题就如同利用高度集中的少量数据求解高阶多项式一样 这些系数的微小干扰都将产生完全不 同的结果 因此利用有限精度的数据对结果进行可靠估计是几乎不可能的 然而 纯粹代数方法忽略了 信息的调节作用 拥有良态矩阵是 CS 所关注的核心问题 因为良态矩阵是对信号精确估计的关键 应用应用 信号压缩可以被与信息水平 S n成正比的若干不相干测量量捕获 这一事实有着深远影响并关系 到许多可能的应用 数据压缩 对于数据压缩 在某些条件下解码器上稀疏基 可能未知 或者并不能很实用的实际施 用 但是 正如在 随机测量 中所讨论的随机设计的 可看作普适解码策略 因为它并不需要设计的 同时考虑 的结构 只有解码或恢复 f 时才需要和 相关的知识和实现 的能力 这种普适性特别 有助于诸如传感器网络之类的多信号装置的编码 关于这个问题请读者参考 Nowak 等人及 Goyal 在 其它地方的论文 信道编码 正如文献 15 所解释的 围绕 CS 的原理 稀疏性 随机性 和凸优化 可以将其用于 设计快速纠错码 防止错误信号传输的发生 反面难题 仍然还有其它一些情况 求得 f 的唯一途径可以是用某个模态的测定系统 但需要假 定与 不相干的 f 的稀疏基 是存在的 有效的测量才有可能实现 一种这样的应用与 MR 血管造影 术和其它类型 MR 设备相关 其中 记录着 f 的傅里叶变换子集 所希望的图像 f 在时间域和小波域上 均稀疏 这个难题里的其它领域 Lustig 等讨论得更深入 数据采集 有时在一些重要情况下 当最终需要全部测量模拟信号的 n 个离散时间样本时可能难以 实现 并且也难以继续压缩 但在不相干测量时 这样可能有助于设计出能够直接记录下所传入的离 散的 低采样率的模拟信号物理采样设备 这些应用中的最后一个应用说明 采用数学和计算机方法可能会给传统硬件设计有限制的那些领域 产生非常大的影响力 彼如 采用 CCD 和 CMOS 技术的传统图像设备基本上仅限于可视光谱 但是 CS 相机用数字微镜阵列采集不相干测量值也许能够明显扩充其能力 与此同时 我们中的一部分研究者已致力于研究大带宽模拟 信息 A I 转换的高级设备 这个问 题也可参加 Healy 等撰写的文章 目标是帮助减轻传统模拟 数字 A D 转换技术的压力 当前该技 术限于 1GHz 档次的采样速度 作为备选方案 我们设想出两种特殊的 可以从高带宽模拟信号中获得 离散的 低采样率 不相干测量序列的 A I 架构 针对高阶逼近 每一个测量 yk 都可被认作入射模拟 信号 f 与模拟测量波形 k 的内积 f k 相当于离散 CS 框架那样 初步结果表明遵循稀疏或可压缩 模型 在某一模拟词汇 中 的信号可以被捕获 使用这些设备以正比于信息等级而不是奈奎斯特频 率 当然 如果要利用离散 CS 方法恢复出模拟稀疏信号 存在着挑战性的问题有待克服 全面解释清 楚这些问题超出了本文的范围 作为首先的一个阶段点 供读者简单的接受其思想 离散 采样稀疏词 汇允许适当的复原 本文的两大主要架构如下 1 非均匀采样器 NUS 我们的第一个架构只是把随机或伪随机采样时间点上的信号量化