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文档简介

科学出版社 二 无界函数的广义积分 第七节 一 无限区间上的广义积分 广义积分 第五章 科学出版社 定积分 需要推广定积分的观念 被积函数有界 有时不得不考察无限区间上的积分或无界函数的积分 广义积分 积分区间有限 无穷区间的广义积分 无界函数的广义积分 科学出版社 定义1 设 若 存在 则称此极限为f x 的无限区间上的广义积分 记为 这时称广义积分 收敛 如果上述极限不存在 就称广义积分 发散 一 无限区间的广义积分 科学出版社 则定义 c为任意取定的常数 只要有一个极限不存在 就称 发散 并非不定型 说明 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 类似地 若 则定义 科学出版社 例1 计算广义积分 解 思考 分析 原积分发散 注意 对广义积分 只有在收敛的条件下才能使用 偶倍奇零 的性质 否则会出现错误 科学出版社 解 例2 计算广义积分 科学出版社 例3 证明p积分 证 当p 1时有 当p 1时有 当p 1时收敛 p 1 时发散 因此 当p 1时 反常积分收敛 其值为 当p 1时 反常积分发散 科学出版社 二 无界函数的广义积分 引例 曲线 所围成的 与x轴 y轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 科学出版社 定义2 设 而在点a的右邻域内无界 存在 这时称广义积分 收敛 如果上述极限不存在 就称广义积分 发散 类似地 若 而在b的左邻域内无界 若极限 数f x 在 a b 上的广义积分 则定义 则称此极限为函 记作 科学出版社 而在点c的 无界点常称为瑕点 奇点 邻域内无界 则定义 的端点 即 当积分区间内有被积函数的无穷间断点时 用无穷间断点将原积分区间分割成若干个小区间 应该 对每个小区间进行广义积分 然后 无穷间断点应为积分区 科学出版社 下述解法是否正确 积分收敛 例4 计算广义积分 解 显然瑕点为a 所以 原式 例5 讨论广义积分 的收敛性 解 所以广义积分 发散 科学出版社 例6 证明广义积分 证 当q 1时 当q 1时收敛 q 1 时发散 当q 1时 所以当q 1时 该广义积分收敛 其值为 当q 1时 该广义积分发散 科学出版社 1 两类广义积分都是定积分的极限 3 下面两个广义积分非常重要 必须记住 说明 2 无界函数的广义积分与定积分在形式上完全一致 若把这类广义积分当定积分计算 可能得出错误结论 科学出版社 例如 5 当一题同时含两类反常积分时 应划分积分区间 分别讨论每一区间上的
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