第一章 利息的基础知识 Microsoft PowerPoint 演示文稿.ppt

利息理论 主讲 沈治中 第一章 利息的基础知识 主要内容 一 利息的度量二 利率问题 时间问题的求解 一 利息的度量 主要内容累积函数利息利率单利与复利现值函数一年计息m次的实际利率与实际贴现率利息力 1 累积函数 单位货币经过t年后的价值 A0为本金 At为t年后的价值 2 利息 投资获得的报酬 t年内的利息为 第n年的利息为 3 利率 单位资本的获得的利息 例一 设 at ct2 d c d为常数 a5 126 A0 100求 A10 i10 解 a0 1a5 126得 c 5d 1所以 at 5t2 1A10 A0a10 50100i10 a10 a9 a9 0 233 4 单利与复利 1 单利设年利率为i 期初本金为1 1 i1 2i1 it 1 012t at 1 it 复利 设利率为i 期初本金为1 1 i 1 i 2 1 i t 1 012t at 1 i t 5 单利 复利的比较 1 单利条件下 每年利息相等 实际利率减少 每年的利息 In An An 1 A0 an an 1 A0i每年的利率 2 复利条件下 每年利息增大 实际利率不变 实际利息 实际利率 3 图形比较 当t 1 i t当t 1时 1 it 1 i t at 1 it at 1 i t 1 1 例二 李刚94年1月1日从银行借款1 000元 假设年利率为12 试分别以单利和复利计算 1 96年1月1日时 他需还银行多少钱 2 几年后需还款1 500元 解 1 A1 1 000 1 it 1 000 1 0 12 2 1 240元A2 1 000 1 i 2 1 254 4元 2 1 500 1 000 1 it1 t1 4 17年1 500 1 000 1 i tt2 3 58年 5 现值和贴现率 现值函数 未来t年1单位货币在现在的值 1 单利 各年1元的现值 1 i1 2i1 it 1 1111 1 1 i 1 1 2i 折现过程 0 2 复利设年利率为i 各年1元的现值 1 i 1 i 2 1 i t 1 1111 折现过程 0 复利条件下 折现因子 折现函数 贴现率 1 计息的方式 滞后利息期初利息例 购买一年期面值为100元的国债 第一种方法 一年后还本付息110元 10元为滞后利息 是期初本金上的增加额 利息 第二种方法 购买时90元 一年后按面值返还 10元为期初利息 是期末值的减少额 贴现额 2 贴现率的定义 单位货币在一年内的贴现额 年贴现额 Andn An An 1以An为标准的减少额 年利息 An 1in An An 1以An 1为标准的增加额 3 贴现率与利率 或 4 贴现率与折现因子 公式一及 公式二及 例 94年1月1日的积累值为1 000元 d 10 求 1 90年1月1日的现值为多少 2 年利率为多少 3 折现因子为多少 解 1 A0 1000 1 d 4 656 1元2 3 v 1 d 0 9 作业 1 李华90年1月1日在银行帐户上有5 000元存款 1 在每年10 的单利下 求94年1月1日的存款 2 在每年8 的复利下 求94年1月1日的存款 2 张军94年初在银行帐户上有10 000元存款 1 在复利11 下计算90年的现值 2 在11 的贴现率下计算90年的现值 6 一年计息m次的实际利率与贴现率 例 期初本金为1元 年利率为10 如果一年计息一次 则年末积累值为1 10元 如果一年计息两次 则年末积累值为 1 10 2 2 1 1025元即年实际利率为10 25 1 实际利率 每个度量时期内结转一次利息的利率 名义利率 每个度量时期内多次结转利息的利率 设年名义利率为i m 年实际利率为i 每次计息的实际利率为i m m 则 所以 或 2 实际贴现率 每个度量期内贴现一次的贴现率 名义贴现率 每个度量期内多次贴现的贴现率 设年名义贴现率为d m 实际贴现率为d 则 每次的贴现率为 所以 或 3 i m 与d m 的关系 1元钱在年末的累积值为 或 则 得 一般公式 如果一年结转m次利息 或一年贴现n次等价 则 例 1 求每月结算的年利率为12 的实际利率 2 求每季结算的年贴现率为10 的实际贴现率 解 1 2 结论 结转次数越多 实际利率越大 实际贴现率越小 例 2 000元的本金在6 的名义利率下投资 如果每年结转4次利息 求 1 2年零6个月后的积累值 2 年名义贴现率 解 1 共计息10次 2 由公式得 例 一张尚需6个月到期的债券 其面值为2 000元 如果名义贴现率为6 一年贴现4次 求该债券现在的价格为多少 解 1 P 或 2 7 利息力 瞬时利率 度量资本在某一时点上的获利能力 1 常数利息力定义 或 所以 a b 利息力与累积函数 2 常数贴现力 当m 期初付与期末付没有区别 3 利息力的一般式 定义 累积函数与利息力 由定义式 两边积分 当为常数时 各年的利息力分别为 积累函数值 第n年的利率为 现值函数值为 例 设某项投资基金的利息力为 其中k为投资年度 求某投资者在开始投资多少资金于该基金时 使得投资在5年末的终值为50 000元 解 例 设 1 4 二 利率问题 时间问题求解 利率问题求解1 解析法2 线性插值法3 迭代法 1 解析法 例 期初的2 000元本金经过2年3个月之后的累积额为2 500元 试确定这笔投资的收益率 解 2 线性插值法 设y f i 在区间 i1 i2 近似呈线性变化 且 f i1 0 f i0 0 i1 i0 i2 f i1 f i2 y 0 x 斜率相等 例 某人现在投资500元 第一年末投资300元 第二年末再投资150元 这样在第四年末将积累到1 300元 求i 解 500 1 i 4 300 1 i 3 150 1 i 2 1300令 f i 500 1 i 4 300 1 i 3 150 1 i 2 1300 由试算得 f 0 1 12 85 f i2 f 0 09 27 49 f i1 由线性插值法得 3 迭代法 多次运用线性插值法 例 用迭代法求上例 要求精确度达到小数点后5位 解 上例中 f i 500 1 i 4 300 1 i 3 150 1 i 2 1300第一次近似 f 0 0968 0 1604 f i1 试算 f 0 0969 0 2447 f i2 由线性插值法得 时间问题的求解 1 解析式 2 72规则 3 加权算术平均公式 设在时间t1 t2 t3 tn分别需要偿还金额x1 x2 x3 xn 如果他希望一次还清总贷款 x1 x2 x3 xn 求还款的时间 近似公式 习题 1 假设累积函数a t at2 b 如果期初的100元在3年末可以累积到172元 试计算在第6年初投资100元 在第10年末可以累积到多少元 2 如果A t 100 5t 试计算i5 3 如果A t 100 1 1 t 试计算i5 4 已知投资3000元在两年后的利息是158元 试计算以相同的复利利率投资 起初的3000元在3年半的利息 5 第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和为1元 试计算 1 i 2n是多少 6 如果每季度接转一次利息的年名义利率为6 试计算200元本金在3年零4个月末的值 7 如果i m 0 1799889 d m 0 1737348试确定m为多大 8 当常数利息力为多大时 等价于每月接转一次利息的年名义利率6 9 如果内等价的年实际利率 10 如果投资者愿意立即投资3000元 并在第3年末追加一笔投资 希望在第5年末和第6年末个获得5000元 假设i 4 5 试确定投资者应该在第3年末追加多少投资 11 有两笔金额均为3000元的资金 如果一笔按6 的实际利率投资 另一笔按4 的实际利率投资 试计算经过多长时间以后 前者的累积值是后者的2倍 12 一项贷款的年实际利率为5 原来的还款计划是 第1年末偿还5000元 第2年末偿还6000元 地4年末再偿还5000元正好还清 如果借款人希望一次还清