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文档简介

G F B Riemann 1826 1866 只有在微积分发明之后 物理学才成为一门科学 只有在认识到自然现象是连续的之后 构造抽象模型的努力才取得了成功 黎曼 多元函数积分学 定积分 DefiniteIntegral 二重积分 DoubleIntegral 三重积分 TripleIntegral 性质 直角坐标 极坐标 曲线坐标 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 曲面坐标 应用 二重积分的换元法 ChangeofVariableinDoubleIntegral 三重积分的换元法 ChangeofVariableinTripleIntegral 容易验证 柱坐标 CylindricalCoordinate 变换的Jacobi行列式为 球坐标 SphericalCoordinate 变换的Jacobi行列式为 广义球坐标变换的Jacobi行列式为 其中 二重积分的对称性 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标轴的对称性 被积函数在积分区域上的关于二个积分变量的奇偶性 三重积分的对称性 使用对称性时应注意 积分区域关于坐标面的对称性 被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 三个变量 的奇偶性 二重积分与曲线积分的联系 Green公式 三重积分与曲面积分的联系 Gauss公式 曲面积分与曲线积分的联系 Stokes公式 空间曲线积分与路径无关的四个等价命题 条件 等价命题 一 计算题 重积分计算的关键 1 选择合适的坐标系 2 确定合适的积分次序以及积分限 综合考虑积分区域和被积函数 例1 计算 解 考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域D 由此 可以画出直角系下的积分区域的图形 例2 例3 解 由对称性 例4计算 解曲面坐标变换的目的 1 使积分区域变得尽量简单 2 简化被积函数及计算 引入坐标变换 例5设心脏线的方程为 求它与极轴围成的平面 图形绕极轴所得旋转体的体积 解 若视极轴为z轴 则 极坐标恰好是球坐标 的 于是体积 例6 解 由对称性 例7 解 于是 例8 解 二 证明题 例1 证明 采用极坐标 将式中r的换成x 即得证 由对称性知 例2 证 证明 由积分区域D关于y x对称 所以 从而 例3 例4 解 例4 例5 例6 分析 则本题得证 例7 证明 例8 证 由积分中值定理有 例9 证 由积分中值定理有 例10 证 例11 证 由题设条件可得 故有 分部积分 分部积分 由分部积分法得 故 证 证 解 2 由 1 知 设u在闭曲线L 所围闭区域D上有连续二阶偏导数 且 求 其中 为u沿D
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