常见的数学问题在解题中的应用.ppt

常见的数学问题在解题中的应用 思想方法提炼感悟 渗透 应用 思想方法提炼 数学思想和方法是初中数学的基础知识 数学学习中要提高我们分析问题和解决问题的能力 形成用数学的意识解决问题 这些都离不开数学思想和数学方法 在平时的学习中可能已经学到了很多的思想与方法 但有时未明确提出它们的具体名称 故以下将它们进行小结 归纳一下 以便能更好地去理解并掌握 4 能熟练运用待定系数法 换元法 配方法 图象法等数学方法解决问题 3 掌握并能运用方程思想 不等式思想 函数思想 统计思想 整体代换思想 转化思想 数形结合思想 分类讨论思想等数学思想方法进行分析问题与解决问题 1 理解分析法 会用分析法探求出解题 证明思路 以寻求最佳的解题方法 2 理解归纳法 类比法的推理方法 会运用演绎法 综合法书写解题 证题的过程 感悟 渗透 应用 一 方程与不等式思想 例1 2003年 江西 已知关于x的方程x王2 m 2x有两个不相等的实数根 求m的取值范围 解析 利用根的判别式 和解不等式的知识可求 x2 2x m 0 解 2 2 4 1 m 4 4m 0 m 1即当m 1时 原方程有两个不等的实根 例2 2003年 河南省 若单项式2am 2nbn 2m 2与a5b7是同类项 则nm的值是 A 3B 1C 1 3D 3 C 分析 据同类项的定义 运用方程的思想即可求得 解 故选择C 二 函数思想 例3 2004年 南京市 某地举办乒乓球比赛的费用y 元 包括两部分 一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b 元 另一部分与参加比赛的人数x 人 成正比例 当x 20时 y 1600 当x 30时 y 2000 1 求y与x之间的函数关系式 2 如果有50名运动员参加比赛 且全部费用由运动员分摊 那么每名运动员需要支付多少元 解 1 设y kx b 根据题意 得解得k 40 b 800 y与x之间的函数关系式是 y 40 x 800 2 每名运动员需要支付56元 二 函数思想 例4 2003年 哈尔滨市 若正比例函数y 1 2m x的图象经过点A x1 y1 和点 x2 y2 当x1 x2时 y1 y2 则m的取值范围是 A m 0B m 0C m 1 2D m 1 2 分析 根据正比例函数的图象及其性质知 只有当一次项系数小于零时 才有y随x增大而减小的性质 解 1 2m 0 m 1 2故选择D D 例5 2003 哈尔滨市 如图所示 是在同一直角坐标系内 二次函数y ax2 a c x c与一次函数y ax c的大致图象 有且只有一个是正确的 正确的是 D 例6 2003年 昆明市 某公司到果园基地购买某种优质水果 慰问抗击 非典 一线的医务工作者 果园基地对购买量在3000千克以上 含3000千克 的有两种销售方案 甲方案 每千克9元 由基地送货上门 乙方案 每千克8元 由顾客自己租车运回 已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元 1 分别写出该公司两种购买方案的付款y 元 与所购买的水果量x 千克 之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 当购买量在什么范围时 选择哪种购买方案付款最少 并说明理由 分析 运用函数思想 不等式思想及图象法等综合解题 解 1 y甲 9x x 3000 y乙 8x 5000 x 3000 2 方法一 当y甲 y乙时 即9x 8x 5000解得x 5000 x 5000千克时 两种付费方案一样 当y甲 y乙时 有解得3000 x 5000 3000千克 x 5000千克时 选择甲方案付款最少当y甲 y乙时 即9x 8x 5000解得x 5000 x 5000千克时 选择乙方案付款最少 方法二 图象法 作出它们的函数图象 如图 由函数图象可得 当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时 选择甲方案付款最少 当购买最等于5000千克时 两种方案付款一样 当购买最大于5000千克时 选择乙方案付款最少 例7 2003年 山东省烟台市 设a b c都是实数 且满足 2 a 2 c 8 0 ax2 bx c 0 求代数式x2 x 1的值 分析 由非负性知识求出a b c的值 再代入到ax2 bx c 0中 最后运用整体代换求值 解 2 a 0且a2 b c 0且c 8 0 a 2b 4c 8 2x2 4x 8 0即x2 2x 4 0 x 1 即x 1 而x2 x 1 x 1 2 x 2 1 6 三 整体代换思想 例8 2004年 河北省 若x1 x2是一元二次方程x2 3x 1 0的两个根 则x12 x22的值为 A 5 4B 9 4C 11 4D 7 A 解 由韦达定理知 四 数形结合思想 例9 2004年 甘肃省 如图所示 已知a 0 则函数的图像大致是 A 例10 2003年 山西省 二次函数y x王2 bx c的图象如图所示 则函数值y 0时 对应x的取值范围是 解析 由顶点坐标公式得令y 0则x2 2x 3 0 x 3或x 1 x取值范围为 3 x 1 例11 2003年 山西省 如图Z2 5所示 AB是 O为直径 PB切 O于点B PA交于 O于点C PF分别交AB BC于E D 交 O于F G 且BE BD恰好是关于x的方程x2 6x m2 4m 13 0 其中m为实数 的两根 1 求证 BE BD 2 若GE EF 63 求 A的度数 解析 1 BE BD是关于x的方程x2 6x m2 4m 13 0的两根 4 m 2 2 0 4 m 2 2 0 m 2故原方程为 x2 6x 9 0 x1 x2 3 BE BD 3 2 由相交弦定理得AE BE GE FE 63 AE 23又 PB切 O于点B AB为 O直径 ABP ACB 90 又 BE BD 3 1 2 1 A 4 2 3 5又 5 A 3 4易证 PBC PAB PBD PAE sin A A 60 五 转化思想 例12 2003年 广东省 已知 x1 x2为方程x2 px q 0的两根 且x1 x2 6 x 1 x22 20 求p和q的值 分析 将x21 x22转化为两根之和与两根之积的形式 再利用整体代换知识代入计算即可得 解 x1 x2 px1 x2 q p 6且x21 x22 x1 x2 2 2x1x2 p 2 2q 20 q 8 例13 已知 x2 4x 1 0 求x 1 x的值 分析 先将方程两边同除以x 转化为x 1 x的形式 再利用变形知识得 x 1 x 2 x 1 x 2 4即可求值 解 x 4 1 x 0 x 1 x 4而 x 1 x 2 x 1 x 2 4 42 4 12 六 分类讨论思想 例14 2002年 重庆市 已知 二次函数y 4x2 2mx m2与反比例函数y 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是 2 则m的值是 分析 二次函数和反比例函数的图象在第二象限