[理学]第八章 静电场和稳恒电场.ppt

1 第八章静电场和稳恒电场 8 1电场电场强度 8 2电通量高斯定理 8 3电场力的功电势 8 4场强与电势的关系 8 5静电场中的导体 8 6静电场中的电介质 8 7电容电容器 8 8电流稳恒电场电动势 8 9电场的能量 首页 上页 下页 退出 作业P 452 3 7 9 10 16 17 21 24 32 2 8 1电场电场强度 8 1 1电荷 1 电荷 物质间能产生电相互作用的一种属性 电荷有正负性 2 电量 物体荷电的数量 依据 作用的强弱 正电 质子 玻璃带电 负电 电子 树脂带电 同种电荷相吸引 异种电荷相排斥 质子 q e 电子 q e 中子 e 1 60 10 19库仑 C 3 电荷量子化 物体所带电荷不是以连续方式出现 而是e的整数倍 即 q nen 1 2 3 强子理论研究中预言 夸克模型 电荷守恒定律与电荷的相对论不变性 在一孤立系统内 正负电量代数和保持不变 电量与带电体的运动状态无关 与参照系的选择无关 4 8 1 2库仑定律 1 真空中的库仑定律 点电荷的模型 方向 沿着两个点电荷的连线 同号电荷相互排斥 异号电荷相互吸引 5 注意 此定律只适用于 真空 空气 静止的 两个点电荷 其它 要用力的叠加原理 比例系数 真空介电常数 施力电荷指向受力电荷的单位矢量 矢量式 6 8 1 3电场强度 1 电场 带电体间的相互作用通过什么实现呢 场是物质存在的形式 电荷 电场 电荷 有质量 能量 动量 场物质与实物物质的区别 实物物质 不可加性 有静止质量 场物质 可叠加性 无静止质量 7 3 静电场的外在表现 2 电场强度的概念 1 试验电荷 2 场力的性质 实验发现 若考察场中某一点 带电体在电场中受到力的作用 带电体在电场中移动时 电场力做功 小电量 点电荷 用q0表示 常用正电荷 8 或对场中某一点 比值与场源性质 场点位置 场内介质分布有关而与q0无关 3 电场强度 静电场中某点的场强在数值上等于单位正电荷受到的电场力 方向与正电荷在该点所受场力方向相同 单位 SI 牛 库 N C 9 8 1 4场强叠加原理 场力的叠加 场的叠加原理 电场中某点的场强等于形成该场的各个场源电荷单独存在时在该处所产生的场强之矢量和 例如 10 8 1 5场强的计算 1 点电荷的电场 讨论 r0是由场源点电荷指向考察点矢径的单位矢量 q为正 则E与r同向 q为负 则E与r反向 11 r 则E 0r 0 则E 点电荷模型不成立 2 点电荷系的电场 12 电偶极矩 电矩 例 电偶极子的电场强度 电偶极子的轴 从负电荷指向正电荷 13 1 轴线延长线上一点A的电场强度 14 15 2 轴线中垂线上一点B的电场强度 16 3 电荷连续分布的带电体的电场 将其分割成点电荷系 求每个点电荷元的电场 然后对所有点电荷元求积分 带电体dq dV带电面dq dS带电线dq dl 电荷体密度 电荷面密度 电荷线密度 17 例8 2真空中有一均匀带电直线 长为L 总电量q 试求距直线上距离为a的P点的场强 解见图8 2 取P点到L的垂足O点为坐标原点 x轴与y轴正向如图所示 P点到l两端的连线与x轴正方向的夹角分别为和 线元dx位于x处 则 dq在P点产生的场强dE方向如图 大小为 图8 2均匀带电直线外任一点的场强 r为P点到dx的距离 r与x正向的夹角为 则 18 因为 所以 积分后的 19 式 8 12a 和式 8 12b 中 当 为常量 L 时 则 20 例8 3正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上 计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴线上任一点P处的电场强度 21 由对称性有 解 22 23 1 2 3 讨论 24 例有一半径为R 电荷均匀分布的薄圆盘 其电荷面密度为 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度 25 解由例8 3 26 点电荷电场强度 27 8 1 6带电体在外电场中所受的作用 点电荷在匀强场中 带电体在电场中 讨论 习题8 4 28 解 合力 但与不在一直线上 形成力偶 力偶矩的大小为 考虑到力矩M的方向 上式写成矢量式为 电偶极子在电场作用下总要使电矩p转到E的方向上 达到稳定平衡状态 例8 4计算电偶极子在均匀外电场E中所受的合力和合力矩 作业 2 3 29 8 2 1电场的图示法电力线 电力线的切线方向表示场强方向 电场线密度 电场强度的大小 8 2电通量高斯定理 电场线密度 通过垂直于电场方向单位面积的电力线条数 30 2电场线特性 1 始于正电荷 止于负电荷 或来自无穷远 终止于无穷远 2 电场线不相交 说明静电场中每一点的场强是惟一的 3 静电场电场线不闭合 31 3 电力线形状 32 8 2 2电通量 电通量的计算 定义 通过电场中任一给定截面的电力线的总数称为通过该截面的电通量 记为 e 匀强电场 33 在非匀强场中 曲面 34 闭合曲面 规定 以曲面的外法向为正方向 因此 与曲面相切的电力线 对通量无贡献 对穿出曲面的电力线 电通量为正值 穿入曲面的电力线 电通量为负值 问 若闭合曲面内无电荷 e 35 8 2 3高斯定理 高斯 高斯 C F Gauss1777 1855 德国数学家 天文学家和物理学家 有 数学王子 美称 他与韦伯制成了第一台有线电报机 建立了地磁观测台 高斯还创立了电磁量的绝对单位制 36 1高斯定理的表述 2高斯定理的导出 略 37 点电荷q位于球面中心 38 点电荷q在任意闭合曲面S2内 s1 s2 q位于球面S1的中心 有 穿过S1的电场线必穿过S2 39 点电荷在闭合曲面S外 40 点电荷系的电场 高斯定理 41 3正确理解高斯定理 1 电场强度 所有电荷的总电场强度 2 仅面内电荷对电通量有贡献 面上的总通量仅由面内电荷产生 但不能说面上电场仅由面内电荷产生 3 静电场是有源场 电场线起源于正电荷 42 求通过闭合面的电通量 43 8 2 4高斯定理应用 求解对称性静电场 用高斯定理求解对称性电场强度的一般步骤为 对称性分析 球对称 轴对称 平面对称 根据对称性选择合适的高斯面 应用高斯定理求解电场强度 44 q 例 用高斯定理求点电荷q的电场强度 对称性分析 球对称 解 高斯面 半径为r的同心球面S 由高斯定理得 即 解得 45 Q 例8 6设有一半径为R 均匀带电Q的球面 求球面内外任意点的电场强度 对称性 球对称 解 高斯面 半径为r的同心球面S 1 R 由高斯定理得 46 2 Q E r曲线不连续 47 讨论设有一内半径为R1 外半径为R2的均匀带电Q的球壳 求空间电场强度的分布 对称性 球对称 解 高斯面 半径为r的同心球面S 1 由高斯定理得 Q R1 R2 48 2 Q R1 R2 49 3 E r曲线连续 R1 R2 问 带电球体呢 50 高斯面 同轴圆柱面 长为h 半径为r 例 类似于例8 8 设有一无限长均匀带电直线 单位长度上的电荷 即电荷线密度为 求距直线为r处的电场强度 51 52 类似讨论 均为轴对称电场 无限长均匀带电圆柱面 例8 8 无限长均匀带电圆筒 有厚度 无限长均匀带电圆柱 无限长均匀带电直线电场 53 例 无限大均匀带电平面 单位面积上的电荷 即电荷面密度为 求距平面为处的电场强度 高斯面 垂直圆柱面 长为2r 底面积为S 与P 9讨论中提到的结果相同例8 7中讨论的是有厚度的平板 54 55 无限大带电平面的电场叠加问题 8 12 讨论 作业 7 10 11 56 8 3 1电场力的功 8 3电场力的功电势 57 2 上述结论可推广至一般带电体所激发的静电场 P 16 电场力的功只与始末位置有关 而与路径无关 电场力为保守力 静电场为保守场 58 8 3 2静电场的环流定理 静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零 环流定理描述静电场的有位性 保守性 59 8 3 3电势能 静电场力所做的功就等于电荷电势能的减小量 电场力做正功 电势能减少 电场力做负功 电势能增大 令 电势能的大小是相对于势能零点而言的 60 2 电势能的性质 1 电势能是系统所共有 故又称相互作用能 2 电势能是一个相对量 对于有限大小带电体 通常定义W 0 这时电场中某点电势能为 61 8 3 4电势电势差 电场力的性质用电场强度E描述 电场中能量的性质描述 引入电势的概念 Wa q0 该常数与考察点的位置有关 与试探电荷无关 因而引入电势 若考察电场中某点的电势能性质 实验表明 1 电势 62 2 电势是相对量 1 电场中某点的电势 等于将单位正电荷从该点移至电势为零的参考点的过程中 电场力做的功 当带电导体接地时 也可以地球 仪器机壳 为零电势点 对于有限大小带电体 通常定义U 0 63 2 电势差 2 用电势差表示电场力的功 1 电势差 64 讨论1 沿电力线方向电势不断降低 论论2 沿电场线方向移动正电荷 a b 电场力做正功 电势能不断降低 a b 问 移动负电荷呢 65 点电荷电场的电势 令 8 3 5电势的计算 66 2 电势的叠加原理 点电荷系 67 电荷连续分布时 68 利用 若已知在积分路径上的函数表达式 则 定义法 注意零点的合理选取 使用条件 有限大带电体且选无限远处为电势零点 叠加法 69 例8 9求电偶极子电场中任一点的电势 已知电偶极子的电矩p ql 解 取 0 则对任一场点P 其电势 得 电势叠加为标量运算 较简单 电场强度叠加为矢量运算 较复杂 70 例8 10 真空中有一电荷为Q 半径为R的均匀带电球面 试求 1 空间电势分布 2 球面外两点间的电势差 3 球面内两点间的电势差 71 解 由高斯定理可求 72 解由高斯定理可求 2 73 补充例1正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上 求环轴线上距环心为x处的点P的电势 解 问 能否用定义法 74 讨论 看作点电荷 对比 75 补充例 无限长 带电直导线的电势 解 令 问 能否选 END 76 8 4 1等势面 1 等势面的定义 2 等势面性质 电场强度方向与等势面正交 即电力线与等势面正交 电场中电势相等的各点构成的曲面 电荷在等势面上移动 电场力不做功 8 4场强与电势的关系 77 等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱 规定使任意相邻的两等势面之间的电势差相等 78 小结 电场强度 电势 点电荷 计算方法 叠加法 电偶极子 圆环 圆盘 组合 高斯定理法 球对称 轴对称 平面对称 计算方法 叠加法 电偶极子 圆环 圆盘 组合 定义法 适用于已知空间电场分布的情形 点电荷 作业 16 17 79 8 5 1导体的静电平衡 无外场时 整个金属的电量代数和为零 呈电中性 这时电子只是作无规则的热运动 8 5静电场中的导体 金属导体的电结构 80 2 静电感应 导体中的自由电子在外电场的作用下 沿着与场强方向相反的方向运动 从而引起导体内部电荷的重新分布现象 这就是静电感应 这对导体荷电过程亦成立 因静电感应而出现的电荷称感应电荷 式中E 是感应电荷所产生的附加场 3 导体内部的场 81 i 导体内部任一点的场强为零 ii 导体表面上任一点的场强方向与该处表面垂直 导体静电平衡的条件 对于良好导体 达到静电平衡大约只需10 14秒 4 导体静电平衡及其条件 1 静电平衡 在导体内部及表面各处都没有电荷作宏观定向运动的状态 82 5 导体在静电平衡时的性质 导体内部任意P Q两点电势差为零 在导体表面 即 U内 常数 故U表 常数 1 导体是等势体 导体表面是等势面 83 2 导体内部无净电荷 电荷只分布在导体的表面上 在导体内部任取一闭合高斯面 当S 0时 导体内任一点净电荷密度为零 若导体内部有不带电的空腔 在空腔内表面无净电荷 84 导体内部有空腔 空腔内有带电体q时 空腔内表面感应电荷为 q 导体外表面感应电荷为q 85 一般说 在导体的向外突出部位的曲率越大 面密度 也越大 由此可知 对于孤立球形导体 由于其表面曲率处处相等 因而其荷电时 电荷一定是均匀分布在其外表面的 对孤立导体 其电荷面密度与该表面处的曲率有关 86 3 在导体外 紧靠导体表面附近的场强与其电荷面密度关系 在导体表面任取一面元 s 过表面作一扁柱形高斯面 设面电荷密度为 87 注意 若电场中不止一个导体 则上式对各导体每一表面都成立 E是所有导体表面的全部电荷的贡献 88 静电感应电晕放电可靠接地 带电云 避雷针的工作原理 89 1屏蔽壳外电场 8 5 2导体壳和静电屏蔽 如所有电气仪表的表头外部均有一金属外壳 90 如微波炉的四面均为金属壳 高压设备外加接地金属网 91 如 高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服 92 8 5 3有导体存在的静电场场强与电势的计算 先 确定导体上电荷新的分布量 根据静电平衡时导体内部场强为零和电荷守恒定律 后 求电场的分布 根据新的电荷分布 例8 14在一个接地的导体球附近有一个电量为q的点电荷 已知球的半径为R 点电荷到球心的距离为l 求导体球表面感应电荷的总电量q 93 解接地导体球的电势为零 所以球心O点的电势为零 另 球心O点的电势由点电荷q和球面上感应电荷q 共同产生 球心O点的电势 后者 得 前者 94 例有一外半径R1 10cm 内半径R2 7cm的金属球壳 在球壳中放一半径R3 5cm的同心金属球 若使球壳和球均带有q 10 8C的正电荷 问 1 两球体上的电荷如何分布 2 球心电势为多少 95 解 1 两球体上的电荷的分布情况如图所示 96 解 2 作球形高斯面 作球形高斯面 q 97 98 99 R1 10cm R2 7cmR3 5cm q 10 8C END 这是定义法 能否用叠加法 作业 21 24 100 8 6 1电介质的极化 导体 半导体以外 在电场之中能与电场发生作用的物质 称为电介质 绝缘体 无自由电荷 1 电介质的电结构 分子中等效正 负电荷的 中心 不一定重合 8 6静电场中的电介质 101 有极分子电介质 无极分子电介质 分子的固有电矩Pe 0 102 电介质无外场时呈电中性 103 2 电介质的极化 1 无极分子电介质的位移极化 均匀极化时 只在表面出现极化电荷q 由于这种电荷不能移动 故又称为束缚电荷 外电场作用下 分子正 负电荷中心发生相对位移 形成附加分子偶极子 pm叫位移极化 104 2 有极分子电介质的转向 取向 极化 无外场 在外场中均匀极化 105 8 6 2极化强度和极化电荷 电极化强度的单位是库仑 米2 定义 介质中单位体积内分子电偶极矩的矢量和为极化强度矢量 106 8 6 3电介质的极化规律 实验表明 对各向同性的均匀介质有 是介质的极化率 介质中的总场 为外电场 为束缚电荷产生的附加场 107 极化电荷的数值 面极化电荷 从介质内的闭合曲面S穿出的极化电荷 闭合曲面S内极化电荷 108 1 有电介质时的高斯定理 8 6 4有电介质时的高斯定理 有电介质时 总电场E由自由电荷和极化电荷共同产生 运用高斯定理 则 式中 q和 qi 分别为高斯面S内的自由电荷与极化电荷的代数和 109 定义电位移矢量 得到 则上式可改写为 电介质中的高斯定理 在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和 110 2 D E P三个矢量的关系 对任何电介质都适用 在各向同性的电介质中 真空 111 例1把一块相对电容率 r 3的电介质 放在相距d 1mm的两平行带电平板之间 放入之前 两板的电势差是1000V 试求 1 两板间电介质内的电场强度E 2 电极化强度P 3 板和电介质的电荷面密度 4 电介质内的电位移D 可先求电位移D 再求其它 112 解 4 r 3 d 1mm U 1000V 由高斯定理 113 r 3 d 1mm U 1000V 114 解 1 r 3 d 1mm U 1000V 115 解 2 r 3 d 1mm U 1000V 解 3 116 例2图中是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成 其间充以相对电容率为 r的电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 求 1 电介质中的电场强度 电位移和极化强度 2 电介质内外表面的极化电荷面密度 117 解 1 118 2 END 119 8 7 1孤立导体的电容 该常数只与导体自身的形状 大小有关 与导体的电量无关 也与导体金属的种类无关 单位 法拉 1F 106 F 1012PF 它反映的是导体储存电荷和电能的能力 称之为电容 即 实验表明 孤立导体的荷电量增加时 其电势也随着升高 且电势的升高与电量的增加成正比 即 8 7电容电容器 120 8 7 2电容器及其电容 1 电容器 纸质电容器 陶瓷电容器 电解电容器 原则上 任何两个彼此相隔一定距离而又彼此绝缘的导体组合 如两平行板所组成的系统 实用中 121 2 电容器的电容 电容器电容计算步骤 由定义求C 求出两极板电势差 先假定极板荷电为q 并求出极板内电场E的分布 122 可忽略边缘效应 则极板间的电势差为 平行板电容器 S为极板面积 d为板间距离 两板间为空气 设极板荷电为q 123 A B之间的场强由高斯定理得 则A B两导体的电势差 长度为l的电容器电容 圆柱型电容器 设导体A单位长度带电为 则导体B单位长度带电 124 球型电容器 125 8 7 3电容器的串 并联 1 电容器的并联 2 电容器的串联 126 例8 15一平行板电容器的极板面积为S 板间距离d 电势差为U 两极板间平行放置一层厚度为t 相对介电常数为的电介质 试求 1 极板上的电量Q 2 两极板间的电位移D和场强E 3 电容器的电容 解 1 如图8 28所示 作柱形高斯面 它的一个底面在一个金属极板内 另一底面在两极板之间 电介质中或真空中 因为金属极板内E 0 D 0 所以 Q是正极板上的电量 待求 127 在真空间隙中 在介质中 两极板的电势差 极板上电量 2 把代入上述和得 128 若t d 即电介质充满两极板之间间隙时 有 电容扩大到原来的倍 未充介质 可看作串联 129 8 9 1带电系统的能量 1 系统在带电过程中的能量积累 由能量转换与守恒律 这就是转换为带电体系的能量 外力做功为 8 9电场的能量 130 例如 一半径为R的孤立导体球 带有电量Q时 其所具有的固有能为 2 电容器的电能 这个结论对所有电容器都成立 在给电容器充电时 电源的非静电力要克服电场力做功 把电荷从一个极板移到另一个极板 非静电力的功就变成了静电能而储存在电容器之中 131 8 9 2电场能量 带电体系的电能实质是带电体系形成的电场能 以后我们将看到 随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波的形式在空间传播 电场可以脱离电荷而传播到很远的地方去 电磁波携带能量已经是人所共知的事实 132 电场能量体密度 对平行板电容器 极板面积为S 极板间电场体积V Sd 极板上自由电荷为Q 极间电压为U Ed 则该电容器储存能量 板上电荷面密度 D 所以 可证 该公式适用于任何电场 在电场不均匀时 总电场能量 133 例如图所示 球形电容器的