快速评卷策略 数学建模.pdf

1 快速评卷策略快速评卷策略快速评卷策略快速评卷策略 摘要摘要摘要摘要 本文主要目的安排一种快速评卷的策略 考虑到评阅人数量和评阅时间的限 制 我们采用了两轮淘汰的方法 然后运用计算机仿真 利用大量数据的模拟 对模型的精确度进行检验 第一轮采用优胜劣汰的模型 先粗略的将远达不到真实分数的前 6 名的试卷 都淘汰掉 我们通过 6000 次的模拟测试发现当选择保留前 15 名时 真实分数的 前 6 名包含其中的概率达到 97 8 这样第一轮阅卷总次数为 100 次 第二轮考虑到评阅人对试卷好坏过渡中的 不分明性 即没有绝对分明和 固定不变的界限 采用模糊聚类的模型来进行求解 在 8 位阅卷人中选取 3 位改卷阅历丰富的评阅人 即保证他们改卷偏差比其 他评阅人小 同时对 15 分试卷进行评阅 在生成实际分数后 利用模糊聚类分 析进行求解 按 3 位评委对通一份试卷的认同度来进行聚类 通过模糊聚类 对 于不同的置信水平可以得到不同的分类结果 构成动态聚类图 根据对置信水平 的不同要求我们得出不同的分类结果截集 并进行了仿真 检验了用聚类法排序 的准确性 然后将 15 份试卷利用此方法进行较为准确的排序 选取前 3 名作为 优胜者 最后依然利用计算机进行大量模拟测 发现选出的前 3 名包含在真实的 前六名的概率为 100 第二轮阅卷次数为 45 次 由此可见 经过两轮的筛选 最后选中的 W 份答卷来自 最好的 2W 份答 卷的概率为 97 8 阅卷次数仅为 145 次 接着 我们采用了控制变量法对 P J W 进行了研究 做出各自变化时准确 率变化的曲线图 并得如下结论 1 在 P W 一定的情况下 评阅人 J 的数目越多 准确率的波动越大 当 评阅人数增加时 也就使评阅人总体改卷偏差的波动增大了许多 因为评阅人的 改卷差异 使得在第一轮的改卷中准确率出现较大波动 2 在 J W 一定时 答卷数目越多 准确率越低 由于每个评阅人的评卷 次数以及所有评阅人的阅卷总次数也就越多 疲劳值和误判概率都会增加 只有 当这个团体的总任务越少的时候完成任务越快越好 3 在 P J 一定时 最终所选优胜者数目 W 超过一定值时 准确率突然降 低 由于答卷数和评阅人均一定 则每个评阅人的评卷次数以及所有评阅人的阅 卷总次数始终是一定的 但是 W 越大 则最后确定的 2W 越大 而在我们模型中 2W 的范围是经过多次运算才确定出来 2W 越大 在第一轮改卷是用一定的数目 限制其 2W 时出现很大的误差 准确率也就降低许多 最后 我们对模型进行了改进 利用对多次打分再聚类排序的方法满足任何 一名参赛选手去了解自己的分数和排名 同时也扩大了模型的适用范围 关键词 关键词 计算机仿真模糊聚类分析控制变量法假设检验 2 1 1 1 1 问题重述问题重述问题重述问题重述 1 1 问题背景 在确定像数学建模竞赛这种形式比赛的优胜者时 常常要评阅大量的答卷 比如说 有 P 100 份答卷 一个由 J 位评阅人组成的小组来完成评阅任务 基于 竞赛资金 对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制 如果 P 100 通常取 J 8 理想的情况是每个评阅人看所有的答案 并将它们一一排序 但这种方法工 作量太大 另一种方法是进行一系列筛选 在一次筛选中每个评阅人只看一定数 量的的答卷 并给出分数 为了减少所看答卷的数量 考虑如下的筛选方法 如 果答卷是排序的 则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的 30 答卷被淘汰 如果答卷没有排序 而是打分 比如说从 1 分到 100 分 则某个截止分数线以 下的答卷被淘汰 这样 通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组 重复上述过程 人们 关注的是 每个评阅人看的答卷总数要显著地小于 P 评阅过程直到剩下 W 份答 卷时停止 这些就是优胜者 当 P 100 通常取 W 3 1 2 需要解决的问题 在保证最后选中的 W 份答卷只能来自 最好的 2W 份答卷的基础上给出使每 个评阅人所看答卷份数最少的一种方法并说明在此方法中如何调节尺度来适应 竞赛参数 P J 和 W 的变化 2 2 2 2 模型假设模型假设模型假设模型假设 1 假设每份试卷的真实分数存在且真实分数服从正态分布 2 假设评阅人给的分数与真实分数相差在 10 分之内 3 假设每位评阅人给的分数都服从正态分布 忽略其它不稳定因素 4 假设不同评阅人打分相互独立 同一评委对不同试卷打分也相互独立 5 假设试卷是随机分配给每位评阅人的 6 假设不考虑评委人数造成的系统偏差 只考虑评委评分造成的系统偏差 3 3 3 3 符号说明符号说明符号说明符号说明 i x 第 i 个老师的打分 i 对应第 i 个老师的打分隶属度 R一百份试卷对应隶属度的集合 i 对应第 i 个老师的打分系统误差 i x对应第 i 个老师的打分 W待定的优胜者数目 J评卷者人数 P阅卷总次数 I阅卷的轮数 3 4 4 4 4 问题分析问题分析问题分析问题分析 4 14 14 14 1 对于阅卷策略的分析对于阅卷策略的分析对于阅卷策略的分析对于阅卷策略的分析 为了保证阅卷的公平公正 减少评阅人主观因素的误判 应该每份试卷由多 个评阅人打分 例如高考阅卷 的确是将一份试卷同时分给三位评阅人进行同时 阅卷 假设一位评阅人的误判概率为 1 2 那么三位评阅人同时误判的概率只有 1 8 将误判率降低到可以接收的范围内 但是生活中也有一种 优胜劣汰 情况 只需保证优胜者的来源 并不需要 其他非优胜者的排序和真实 例如在本题中 只需保证选出的 W 名优胜者来自于 真实分数排名的前 2W 即可 其他人的排序并不显得十分重要 由此我们采用两轮淘汰法 第一轮根据评阅人改卷的真实分数 淘汰掉后 85 分试卷 保证真实的前六 名在剩下的 15 名中 第二轮考虑到评阅人对试卷好坏过渡中的 不分明性 即没有绝对分明和 固定不变的界限 这些现象比较容易用模糊数学的工具来分析 在 8 位阅卷人中选取 3 位改卷阅历丰富的评阅人 即保证他们改卷偏差比其 他评阅人小 同时对 15 分试卷进行评阅 在生成实际分数后 利用模糊聚类分 析进行求解 对于 3 位不同评阅人对同一份试卷的认同度是一个随试卷趋近于最 好程度变化而变化的 即 3 位评阅人都给此份试卷 90 分以上的分数 却只有两 位给分超过 95 只有一位给分超过 98 那么我们就说有三位评阅人认同此份试 卷可以超过 90 分 两位评阅人认同它可以超过 95 分 只有一位评阅人认为可以 抄给 98 分 以此类推 进行模糊聚类分析 通过模糊聚类 对于不同的置信水 平可以得到不同的分类结果 构成动态聚类图 根据对置信水平的不同要求我们 得出不同的分类结果截集 4 24 24 24 2 对于误差的分析对于误差的分析对于误差的分析对于误差的分析 评阅人阅卷的系统误差是由于评阅人主观对试卷好坏评判的差异性决定的 表现为在不考虑偶然误差的影响下 评阅人对试卷的排序与绝对顺序的差异 评阅人阅卷的偶然误差是不可消除的 一般解决方法为通过多个评阅人同时 改卷弱化阅卷的偶然误差 若已知评阅人的偶然误差服从的正太分布 我们可以 通过对比把正影响与负影响接近的评阅人组合在一起 有效的弱化偶然误差 这 样可以避免具有同方向影响的评阅人作用在一起导致偶然误差的增大 评阅人的疲劳度服从疲劳曲线 我们认为随着疲劳值的增加 偶然误差的程 度同时增加 我们应采用一个修正函数 4 34 34 34 3 模型的仿真流程图模型的仿真流程图模型的仿真流程图模型的仿真流程图 4 绝对分数 偶然误差 评 阅 人 打 分 评卷策略 消除主观差异 弱化偶然误差 包括 系统误差 修正系统误差 模糊聚类 组合阅卷 归一化 图 4 1 仿真的流程图 4 34 34 34 3 对于对于对于对于 P P P P J J J J W W W W 的分析的分析的分析的分析 我们采用定量分析 首先利用控制变量法 假设两个量不变的情况下 考虑 单一变量对阅卷精确的影响 通过数据的迭代处理 拟合出单因素对应的误差曲 线 考虑到多因素分析 首先我们对每个因素进行了判定 然后考虑实际阅卷情 况 P W J 的重视程度应该依次减少 根据此标准构建一个综合评判权集合 通过综合评判确定在实际情况下 P J W 对最终精确程度的影响 5 5 5 5 知识准备知识准备知识准备知识准备 李雅普洛夫李雅普洛夫 Liapunov Liapunov 定理定理 设随机变量 21n XXX相互独立 它们具 有数学期望和方差 2 1 0 2 kXDXE kkkk 记 n k kn B 1 22 若存在正数 使得当 n时 0 1 1 2 2 n k kk n XE B 则随机变量之和 n k k X 1 的标准化变量 n n k k n k k n k k n k k n k k n B X XD XEX Z 11 1 11 的分布函数 xFn对于任意x 满足 lim lim 11 x B X PxF n n k n k kk n n n 2 1 2 2 xdte t x 5 模糊聚类分析方法模糊聚类分析方法 在工程技术和经济管理中 常常需要对某些指标按照一 定的标准 相似程度或亲疏关系等 进行分类处理 例如 根据生物的某些性态 对其进行分类 根据空气的性质对其进行分类等等 这些对客观事物按一定标准 进行分类的数学方法称为聚类分析 它是多元统计 物以类聚 的一种分类方法 然而 在科学技术 经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分 便捷 具有模糊性 它们之间的关系更多的是模糊关系 对于这类事物的分类 一般用 模糊数学方法 并把应用模糊数学方法进行聚类分析 称为模糊聚类分析 模糊意见集中决策模糊意见集中决策 为了对供选择的方案集合 即论域 n uuuU 21 中 的元素进行排序 可以由m个专家组成专家小组M 分别对U中的元素排序 得 到m种意见 21m vvvV 这些意见往往是模糊的 将这种意见集中为一个比较合理的意见 称之为 模糊 意见集中决策 控制变量法控制变量法物理学中对于多因素 多变量 的问题 常常采用控制因素 变量 的方法 把多因素的问题变成多个单因素的问题 每一次只改变其中的 某一个因素 而控制其余几个因素不变 从而研究被改变的这个因素对事物影响 分别加以研究 最后再综合解决 这种方法叫控制变量法 它是科学探究中的重 要思想方法 广泛地运用在各种科学探索和科学实验研究之中 控制变量法是初 中物理中常用的探索问题和分析解决问题的科学方法之一 6 6 6 6 数据的获取和分析数据的获取和分析数据的获取和分析数据的获取和分析 6 1 数据仿真的原理 李雅普洛夫定理表明 在其条件下 随机变量 n n k k n k k n B X Z 11 当n很 大 时 近 似 服 从 正 态 分 布 1 0 N 由 此 当n很 大 时 n k k n k nnk ZBX 11 近似地服从正态分布 1 2 n k nk BN 这就是说 无论各个随 机变量 2 1 kX k 服从什么分布 只要满足定理的条件 那么它们的和 n k k X 1 当n很大时 就近似地服从正态分布 由此 我们假设存在的真实分数和 8 为评阅人打分与真实分数的偏差都服从 正态分布是合理的 数据的产生数据的产生 1 为了使试卷可以平分给 8 位评阅人 我们增添了 4 份分数均为 0 的试 6 卷 即对 104 份试卷进行处理 对这 104 份试卷进行编号 分别记为104 2 1 2 用 MATLAB 产生 104 个属于服从正态分布 12 75 N的正数作为 100 份 答卷的真实分数 形成的矩阵记为A 其元素记为 i a 表示第i份试卷的真实分 数 3 产生 8 个属于服从正态分布 2 0 N的数作为 8 位评阅人改卷偏差 给 出的分数与试卷真实分数的差值 的均值 记为 i 表示第i位评卷人的改卷偏 差的均值 4 产生 8 个属于服从正态分布 6 0 0 N的数作为 8 位评阅人改卷偏差的 方差 记为 2 i 表示第i位评阅人改卷偏差的方差 5 根据第i位 8 2 1 i 评阅人的改卷偏差的均值和方差 生成服 从 2 ii N 的 104 个数作为他的改卷偏差 将这 104 个数随机与试卷真实分数 相加 得到假定第i位评阅人改卷的实际分数 形成的矩阵记为 i B 其元素记为 i b 6 考虑到改卷时将 104 份试卷随机均分给 8 位评阅人 每一份试卷在这 一轮只被评阅一次 于是从 1 B至 8 B的每个矩阵中随机抽取 14 个编号相异分数 并对其进行处理 即75 75 i i i b b 组成一个新的矩阵C 其元素记为 i c 表示 第i份试卷的实际分数 由于虚拟的 4 份分数位的试卷只是为编程的需要 并不对结果产生影响 在下文中 我们依然是用 100 份试卷来进行说明 6 2 数据仿真的流程图 7 对104份 试 卷 进 行 编 号 产 生104个 服 从 正 态 分 布N 7 5 1 2 真 实 分 数 将偏差随机与试卷的真实分 数 相 加 生成个评阅人对每 一份试卷的实际分数 从8个 实 际 分 数 矩 阵中随机抽出编号 相 异 的1 3组 分 数 并对其进行归一化 处 理 形 成 试 卷 的 真 实 分 数 产 生8个 服 从 正 态 分 布 N 0 0 6 改 卷 偏 差 方 差 产 生8个 服 从 正 态 分 布 N 0 2 的 改 卷 偏 差 均 值 图 6 1 评阅人改卷真实分数的流程图 7 7 7 7 快速阅卷模型的建立与求解 快速阅卷模型的建立与求解 快速阅卷模型的建立与求解 快速阅卷模型的建立与求解 7 1 1 1 1 第一轮模型 普通淘汰法 第一轮模型 普通淘汰法 第一轮模型 普通淘汰法 第一轮模型 普通淘汰法 在第一轮淘汰中 由于分数在数据处理部分已经做了有效分数的处理 由此 可以直接排序 利用 MATLAB 编程来验证真实的前 6 名在前 15 名中的概率 我们通过对 10000 次的随机模拟 即随机生成老师 10000 实际有效分排序和第一 次确定的真实值排序的比较 发现这个概率可以达到 97 8 于是认为第一轮 淘汰合理 7 27 27 27 2 第二轮模型 聚类分析模型 第二轮模型 聚类分析模型 第二轮模型 聚类分析模型 第二轮模型 聚类分析模型 7 2 1 模型的准备 1 疲劳度函数的介绍 疲劳度函数是反应时间与疲劳程度正相关关系的函数 考虑到实际情况中评 阅人改卷会出现 A 沃勒的疲劳度函数 N m N K N N0 1 1 8 CNN mm N 0 常数 m N N N K 0 寿命系数 2 偶然误差的确定 根据假设 4 疲劳度和偶然误差成正相关构建了偶然误差函数 N 偶然误差 根据对评阅人阅卷的经验统计出正相关系数 为 0 6 3 隶属函数的确定 考虑到同一评阅人的试卷可划分为多类 优秀 普通 较差 差 因为梯形 型隶属函数可以通过对 1 的趋近程度较好的把优秀的从其他类中分离出来 所以 我们选取它来构造模糊矩阵 A 1ax100 a ab 00 x bxa bx cxb bc xc 4 截集 的确定 考虑到目标为从前 2w 份试卷中选取 w 份 截集中应该确保包含所有优秀试 卷 评阅人的打分相对于绝对分有误差 这个误差造成了评阅人的排序结果和绝 对顺序有冲突 考虑到分数服从正态分布 靠近均值附近的单位分数的人数最多 即评阅人打分的单位误差可以产生的最大排序误差为 max 2 iiii i 其中 i 为第i个评阅人的阅卷均分 i 为第i个评阅人的系统误差均分 能产生的相对于绝对的排名差不大于以均值为中心正负误差范围内存在的试卷数的一 半 即依据最大优秀量的划分原则确定 7 2 2 模型的建立 利用模拟仿真的数据我们构建了模糊聚类模型 令 ik u表示第 k 个样本属于第 i 类的隶属度 01 ik u 1 1 c ik i u 1 0 c ik i uN min i ijk Au uu 9 5 1 max i ii i AU st 对模型 i A 的确定 1 取1 最大值 对于每个 i u做相似类 1 ijij R uur 即满足1 ij r 的 i u和 j u为一类 构成相似类 2 取 2 2 3 n 按第二步的方法依次类推 直到合并为到 X 成为 一类为止 最后得到动态聚类图 图 7 1 聚类图 聚类图分析 图中蓝色表示在分数靠前的试卷的分类比较细化 具有较好的区别 在前 20 名的试卷可以进行较好的排序 20 名以后的试卷的排序较困难 由此可 以看出 我们在第一轮中只保留前 15 人是正确的 而且利用聚类分析对 15 人的 排序也是较为细致和准确的 7 3 模型的求解 针对上面的模型我们给出了评卷策略 并运用 Matlab 进行模拟仿真 得到 大量的数据 并利用这些数据对策略进行检验 根据结果的精确度修正模型 第一轮实现与结果第一轮实现与结果 计算机实现流程图 10 随机生成 100 个试卷真实值 随机生成老师的打分的期望 生成每个老师的打分 将老师的分数归一化后并消除误差 比较前六个真 实值是否在前 m 中 得正确率 正 确 率 较高 取出前 m 个 正确率不高 重新选取 m 进入下一轮 结果 m 15 准确度 97 8 改卷次数为 1 100 次 第二轮实现与结果第二轮实现与结果 计算机实现流程图 11 结果 准确度 100 优胜者包含在 最好的 前 6 名中 改卷次数 3 15 45 次 最后结果 最后结果 综合两轮淘汰 改卷次数 100 45 145 次 准确率为 97 8 100 97 8 7 4 对于 P J W 变化时的研究 在研究 P J W 变化对准确率和平均阅卷次数的影响时 因三个变量一起研 究不能突出每一个变量对结果的影响 我们便采用控制变量法对三个变量进行了 研究 根据附录的 Matlab 程序 我们讨论了以下多种情况下的准确率 平均阅 卷次数以及阅卷总次数 得到 P J W 中任一元素变化时的不同情况如下表所示 选取打分相对准确的两位老师 向 15 个晋级的试卷打分 进行归一化处理 制作成多因素关系矩阵 模糊聚类 按分数排序 选择前 3 为优胜者 提取真实分数的排序 取出前 15 个的顺序 作对比 比 较出正确率 取 alpha 值 正确率不高 正确率高 得出结果 12 表 6 1 P J W 变化时的研究表格 PJW准确率平均阅卷次数阅卷总次数 10812397 00 11 67140 10010393 30 13 2132 1048397 80 17136 1026396 30 22 33134 1004397 70 33132 1048397 80 16 5132 2008394 30 29232 3048393 00 41 5332 4008392 00 54432 5048191 00 66 63533 1048191 17 17136 1048291 67 17136 1048397 80 17136 1048412 26 17136 1048515 36 17136 每五行为一组 第一组是 P W 不变 J 变化时的情况 第二组是 J W 不 变 P 变化时的情况 第三组是 P J 不变 W 变化时的情况 根据上表我们利 用 Excel 分别画出了评委数 J 优胜者数目 W 答卷数 P 对准确率的影响 评阅人数对准确率的影响 0 93 0 94 0 95 0 96 0 97 0 98 0 99 02468101214 评阅人数 准确率 图 6 1 评阅人数对准确率的影响 13 试卷数目对准确率的影响 0 9 0 91 0 92 0 93 0 94 0 95 0 96 0 97 0 98 0 99 0100200300400500600 试卷数目 准确率 图 6 2 试卷数目对准确率的影响 优胜者数目对准确率的影响 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 0123456 优胜者数目 准确率 图 6 3 优胜者数目对准确率的影响 根据上表我们可以轻松得出 1 在 P W 一定的情况下 评阅人 J 的数目越多 准确率的波动越大 主 要原因是因为 当评阅人数增加时 也就使评阅人总体改卷偏差的波动增大了许 多 因为评阅人的改卷差异 使得在第一轮的改卷中准确率出现较大波动 2 在 J W 一定时 答卷数目越多 准确率越低 同时每个评阅人的评卷 次数以及所有评阅人的阅卷总次数也就越多 疲劳值和误判概率都会增加 由于 最终目标相同 评卷人数也一定 只有当这个团体的总任务越少的时候完成任务 越快越好 3 在 P J 一定时 最终所选优胜者数目 W 超过一定值时 准确率突然降 低 由于答卷数和评阅人均一定 则每个评阅人的评卷次数以及所有评阅人的阅 卷总次数始终是一定的 但是 W 越大 则最后确定的 2W 越大 而在我们模型中 2W 的范围是经过多次运算才确定出来 2W 越大 在第一轮改卷是用一定的数目 限制其 2W 时出现很大的误差 准确率也就降低许多 根据对于 P J W 均变化时的讨论进行了一次假设检验 我们若有 600 份试卷 根据上面对 P J W 均变化的讨论分析对 P W 值进行 估计 P 值应该在 8 附近取值合理 W 值应该在 3 附近取值合理 我们运用计算 机仿真模拟了一次 当答卷数 P 600 我们确定评阅人数最佳为 J 10 W 3 准确 率达到 95 6 跟我们对 P W 估计值相 说明了对于 P J W 均变化时的讨论 14 是准确合理的 当我们进一步大量模拟 在模拟 1000 次后 均能保证准确率达 到 95 以上 充分说明该模型的可行性 8 8 8 8 模型的评价 改进及推广模型的评价 改进及推广模型的评价 改进及推广模型的评价 改进及推广 8 1 模型的评价 优点优点 1 在数据仿真方面 我们应用了李雅普洛夫定理 该定理使得所有数据的 生成有较强的理论支持 同时也为数据的生成带来极大的便利 2 对于实际分数的排名 进行了两轮改卷 在第一轮 104 进 15 中 随机 为 8 位评阅人选取 13 组分数 对数据进行有效值进行处理 即将 104 份试卷平 分给了 8 为评阅人 实际分数准确有符合逻辑 寻出包含前 6 名的范围 大大缩 小了评阅范围 且准确率可达 97 8 在第二轮 16 进 6 的过程中 我们采用的 模型是模糊聚类分析 利用此模型把多位评阅人都评价极高的试卷准确挑选出 来 准确率很高 可达 100 这样 两轮筛选的准确度为 97 8 并且模糊聚类 分析理解较为简单 实施较易 缺点缺点 1 正态分布虽然应用广泛 但是试卷的数量 104 份还是太小 有正态分布来 进行模拟或有不妥之处 2 模糊聚类虽然简单易懂 可是 在第二轮中选取三位评阅人同时对 16 份试 卷进行评阅 使总次数无形中增大 3 实际生活中 每一位参赛选手都希望可以查到自己在比赛中的成绩和排 名 显而易见 我们的模型并不能达到这一要求 8 2 模型的改进 为了达到将每一位参赛选手的分数准确排序 我们可以对模型进行如下改 进 我们将试卷和评阅人分为两组 每组 4 为评阅人和 50 份试卷 每组选取 1 为改卷经验丰富 即改卷偏差小 的评阅人作为最终判断者 即当出现其他 3 为评阅人中两位给的分数相近 另一位给的分数大不相同时 再一次对试卷进行 评阅 确定该试卷的分数 然后将分数进行有效值处理 将两组分好后 继续沿 用上文中 16 进 6 的模糊聚类分析模型 采用 截集生成动态聚类图准确对各试 卷进行打分然后排序 8 3 模型的推广 本题中应用的模糊聚类分析模型 不仅可以用来对试卷进行排序 降低改卷 次数 还可以用来进行多因素分析 例如 根据生物的某些性态对其进行分类 根据空气的性质对其进行分类等等 应用较为广泛 参考文献参考文献参考文献参考文献 1 胡永宏 贺思辉 综合评价方法 M 北京 科学出版社 2000 45 46 2 李洁明 祁新娥 统计学原理 M 上海 复旦大学出版社 1996 253 273 3 陶菊春 吴建民 综合加权平均法的综合权重确定新探 J 系统工程理论与 实践 2001 8 47 48 15 4 周义仓 赫孝良 数学建模实验 M 西安 西安交通大学出版社 1999 369 371 5 徐飞雄 评比规则问题 OL 2002 05 05 6 现代应用数学手册 编委会 运筹学与最优化理论卷 M 北京 清华大学 出版社 1997 323 324 7 周希杰 基础各异的教学班的教学效果评估 OL 2001 05 05 附录附录附录附录 附录一 第一轮 100 进 15 的程序 clc clear y 0 for i 1 1000 zongshu 104 teacher 8 fenzu zongshu teacher wucha 8 zushu zongshu wucha for i 1 zongshu a normrnd 75 12 1 zongshu 4 end a a 1 1 1 1 b 1 zongshu a c sort b 2 c q sort a ff q c d b a0 normrnd 0 2 1 teacher for i 1 8 b5 i normcdf 75 a0 i 75 2 normcdf 75 a0 i 75 2 2 c5 i 1 normcdf 75 a0 i 75 2 normcdf 75 a0 i 75 2 2 end t cell 1 teacher k g d2 d4 d5 d6 cell 1 teacher 16 d7 d9 cell 1 teacher d10 h for j 1 teacher E 1 j a0 1 j k normrnd E 1 j 60 fenzu 2 1 zongshu h h k c1 sort k c2 zeros 1 zongshu c3 c2 c1 t j c3 end for i 1 8 b i normcdf 75 a0 i 75 a0 i 2 normcdf 75 a0 i 75 a0 i 2 2 c i 1 normcdf 75 a0 i 75 2 normcdf 75 a0 i 75 2 2 end for i1 1 teacher t0 t i1 for i 1 zongshu r ceil unifrnd 1 zongshu 1 zongshu d1 d 2 i t0 2 r i d3 d 1 i d4 d3 d1 d2 d2 d4 end d2 d2 75 a0 i1 75 d5 d5 d2 d2 d6 i1 d5 d5 end d8 d6 for i 1 teacher d8 d6 i for j1 1 fenzu for j 1 zongshu 1 ifd8 2 j d8 2 j 1 zj1 d8 2 j d8 2 j d8 2 j 1 d8 2 j 1 zj1 zj2 d8 1 j 17 d8 1 j d8 1 j 1 d8 1 j 1 zj2 end end end d9 i d8 end d9 1 8 a20 a7 0 a8 cell 1 teacher a5 a9 a5 a12 a13 for i00 1 teacher a10 d8 i00 for i 1 104 a11 a10 2 i a20 a20 a11 end a5 a20 a20 for j 1 13 a6 a5 i00 1 13 j c5 i00 a7 a7 a6 end a8 i a7 a9 a9 a7 a7 end for i 1 104 a10 d9 1 a12 a10 1 i a13 a13 a12 end a13 0 a13 a14 a13 a9 b10 0 zongshu a9 c10 sort b10 2 18 c10 q10 sort a9 f10 q10 1 c10 e2 e4 for i 0 14 e1 ff 1 104 i e2 e2 e1 end for i 0 5 e3 f10 1 105 i e4 e4 e3 end x 0 for i 1 6 e5 e4 i for j 1 15 e6 e2 j ife5 e6 x x 1 end end end y y x end y 6000 附录二 15 进 3 的程序 g2 for i 0 15 g1 ff 2 zongshu i g2 g2 g1 end g3 e2 g2 ai g4 d13 d11 d10 g3 for j 1 16 19 d12 d10 2 j d13 d13 d12 end M1 max d13 f1 M1 m1 min d13 f2 m1 d13 d11 for j 1 16 g1 g3 2 j f2