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第四章 连续系统的频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析 首先讨论傅里叶变换 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的 这方面的问题也称为傅里叶分析 频域分析 将信号进行正交分解 即分解为三角函数或复指数函数的组合 频域分析将时间变量变换成频率变量 揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系 从而导出了信号的频谱 带宽以及滤波 调制和频分复用等重要概念 引言 时域分析中 将任意信号分解成冲激函数的加权积分 变换域分析中 将任意信号分解成虚指数函数的加权积分 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析 用频谱分析的观点来分析系统称为系统的频域分析法或傅里叶变换分析法 引言 第四章连续系统的频域分析 4 1信号分解为正交函数4 2傅里叶级数4 3周期信号的频谱4 4非周期信号的频谱 傅里叶变换4 5傅里叶变换的性质4 6周期信号的傅里叶变换4 7LTI系统的频域分析4 8取样定理 点击目录 进入相关章节 第四章连续系统的频域分析 时域分析 以冲激函数为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数 从而系统的零状态响应为 yf t h t f t 本章将以正弦信号和虚指数信号ej t为基本信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和 这里用于系统分析的独立变量是频率 故称为频域分析 第四章连续系统的频域分析 4 1信号分解为正交函数 一 矢量正交与正交分解 矢量Vx vx1 vx2 vx3 与Vy vy1 vy2 vy3 正交的定义 其内积为0 即 由两两正交的矢量组成的矢量集合 称为正交矢量集 4 1信号分解为正交函数 如三维空间中 以矢量vx 2 0 0 vy 0 2 0 vz 0 0 2 所组成的集合就是一个正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量A 2 5 8 可以用一个三维正交矢量集 vx vy vz 分量的线性组合表示 即A vx 2 5vy 4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合 4 1信号分解为正交函数 二 信号正交与正交函数集 1 定义 定义在 t1 t2 区间的两个函数 1 t 和 2 t 若满足 即两函数的内积为0 则称 1 t 和 2 t 在区间 t1 t2 内正交 4 1信号分解为正交函数 2 正交函数集 若n个函数 1 t 2 t n t 构成一个函数集 当这些函数在区间 t1 t2 内满足 则称此函数集为在区间 t1 t2 的正交函数集 4 1信号分解为正交函数 3 完备正交函数集 如果在正交函数集 1 t 2 t n t 之外 不存在函数 t 满足 则称此函数集为完备正交函数集 i 1 2 n 4 1信号分解为正交函数 三角函数集 1 cos n t sin n t n 1 2 和虚指数函数集 ejn t n 0 1 2 是否为区间 t0 t0 T T 2 上的完备正交函数集 思考 4 1信号分解为正交函数 三 信号的正交分解 设有n个函数 1 t 2 t n t 在区间 t1 t2 构成一个正交函数空间 将任一函数f t 用这n个正交函数的线性组合来近似 可表示为f t C1 1 C2 2 Cn n 如何选择各系数Cj使f t 与近似函数之间的误差在区间 t1 t2 内为最小 通常使误差的均方值 称为均方误差 最小 4 1信号分解为正交函数 均方误差为 为使上式最小 展开上式中的被积函数 注意到由序号不同的正交函数相乘的各项 其积分均为零 而且所有不包含Ci的各项对Ci求导也等于零 这样 上式中只有两项不为0 写为 4 1信号分解为正交函数 即 求得 最终求得最小均方误差为 4 1信号分解为正交函数 在用正交函数去近似f t 时 所取得项数越多 即n越大 则均方误差越小 当n 时 为完备正交函数集 均方误差为零 此时有 上式称为 Parseval 巴塞瓦尔公式 表明 在区间 t1 t2 信号f t 所含能量恒等于f t 在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和 函数f t 可分解为无穷多项正交函数之和 三角函数集 虚指数函数集 任意函数f t 可表示为无穷多项正交函数之和 两个完备的正交函数集 回顾 频域分析的基本思想 周期信号 对周期信号的分析处理 对正弦信号的分析处理 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合的意义 从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 为不同信号之间进行比较提供了方便 从系统分析的角度 已知单频正弦信号激励下的响应 利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应 而且每个正弦分量通过系统后的变化都很清楚 4 2傅里叶级数 4 2傅里叶级数 由上节可知 周期信号f t 在区间 t0 t0 T 可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数 如果完备的正交函数集是三角函数集 则周期信号所展开的无穷级数就称为 三角型傅里叶级数 如果完备的正交函数集是指数函数集 则周期信号所展开的无穷级数就称为 指数型傅里叶级数 三角型傅里叶级数 和 指数型傅里叶级数 统称为傅里叶级数 4 2傅里叶级数 一 周期信号的分解 傅里叶级数的三角形式 设周期信号f t 其周期为T 角频率 2 T 当满足狄里赫利 Dirichlet 条件时 它可分解为如下三角级数 称为f t 的傅里叶级数 系数an bn称为傅里叶系数 4 2傅里叶级数 bn是n的奇函数 an是n的偶函数 整理得 A0 a0 An是n的偶函数 n是n的奇函数 4 2傅里叶级数 物理意义 周期信号可分解为直流和许多余弦分量 其中 A0 2为直流分量 A1cos t 1 称为基波或一次谐波 它的角频率与原周期信号相同 A2cos 2 t 2 称为二次谐波 它的频率是基波的2倍 一般而言 Ancos n t n 称为n次谐波 周期信号的分解 4 2傅里叶级数 吉布斯现象 由周期的方波分解可见 当它包含的谐波分量愈多时 除间断点外 合成波形越接近于原来的方波信号 其均方误差越小 在间断点附近 随着所含谐波次数的增加 合成波形的尖峰越靠近间断点 但尖峰幅度并未明显减小 即使合成波形所含谐波次数时 在间断点处仍有约9 的偏差 这种现象称为吉布斯现象 吉布斯现象 4 2傅里叶级数 二 波形的对称性与谐波特性 1 若f t 为偶函数 即 波形相对于纵坐标轴对称 被积函数为偶函数 被积函数为奇函数 4 2傅里叶级数 2 若f t 为奇函数 即 波形相对于原点对称 被积函数为奇函数 被积函数为偶函数 实际上 任意函数f t 都可分解为奇函数和偶函数两部分 即由于 所以 4 2傅里叶级数 3 f t 为奇谐函数 偶次谐波分量为0 只含奇次谐波分量 时 时 4 2傅里叶级数 4 f t 为偶谐函数 奇次谐波分量为0 只含偶次谐波分量 时 时 4 2傅里叶级数 例1 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量 偶 奇谐函数包含奇次余弦分量 奇函数 包含正弦分量 4 2傅里叶级数 偶 偶谐函数包含偶次余弦分量 奇谐函数 包含奇次的正弦 余弦分量 4 2傅里叶级数 4 2傅里叶级数 三 傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数 含义比较明确 但运算常感不便 因而经常采用指数形式的傅里叶级数 可从三角形式推出 利用 4 2傅里叶级数 令A0 A0ej 0ej0 t 0 0 上式中第三项的n用 n代换 令复数 称其为复傅里叶系数 简称傅里叶系数 4 2傅里叶级数 n 0 1 2 表明 任意周期信号f t 可分解为许多不同频率的虚指数信号之和 F0 A0 2为直流分量 四 两种傅里叶级数系数之间的关系 4 2傅里叶级数 An是实函数 Fn一般是复函数 例2 用直接计算傳里叶系数的方法 求下图所示周期函数的傳里叶系数 三角形式或和指数形式 解 首先计算周期函数的周期 4 2傅里叶级数 再根据公式计算傅里叶级数的系数 1 三角形式 2 指数形式 4 2傅里叶级数 4 2傅里叶级数 四 周期信号的功率 Parseval等式 直流和n次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和 n 0时 Fn An 2 周期信号一般是功率信号 其平均功率为 返回 4 3周期信号的频谱 4 3周期信号的频谱及特点 一 信号频谱的概念 周期信号可以分解为不同频率的正弦信号或虚指数信号之和 不同的时域信号 只是傅里叶级数的系数不同 因此可通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的频域特性 4 3周期信号的频谱 周期信号的频谱 傅里叶级数的系数或是频率的函数 它们反映了周期信号各次谐波的幅度 相位随频率变化的关系 即将 和的关系分别画在以为横轴的平面上得到图形 分别称为振幅频谱图和相位频谱图 和的关系 因为n 0 称这种频谱为单边谱 和的关系 称为双边谱 当为实数时 用的正负来表示相位为0或 4 3周期信号的频谱 4 3周期信号的频谱 例1 周期信号f t 试求该周期信号的基波周期T 基波角频率 画出它的单边频谱图 并求f t 的平均功率 解 首先应用三角公式改写f t 的表达式 4 3周期信号的频谱 故f t 的周期T 24 基波角频率 2 T 12根据帕斯瓦尔等式 其功率为 的周期T1 8 的周期T2 6 显然1是该信号的直流分量 帕斯瓦尔等式 4 3周期信号的频谱 是f t 的 4 12 3次谐波分量 是f t 的 3 12 4次谐波分量 4 3周期信号的频谱 4 3周期信号的频谱 例2 周期信号f t 的双边频谱如下图所示 求其三角函数表达式 说明 4 3周期信号的频谱 当为实数时 用的正负来表示相位为0或 这时常把幅度谱和相位谱画在一张图上 返回 4 3周期信号的频谱 二 周期信号频谱的特点 例3 有一幅度为1 脉冲宽度为 的周期矩形脉冲 其周期为T 如右图 求频谱 令Sa x sin x x 取样函数 4 3周期信号的频谱 n 0 1 2 Fn为实数 可直接画成一个频谱图 设T 4 画图 求各零点 即各零点依次为 4 3周期信号的频谱 特点 1 周期信号的频谱具有谐波 离散 性 各条谱线位置是基波频率 的整数倍 2 一般具有收敛性 总趋势减小 n 2 n 3 n 0 n 4 n 1 4 3周期信号的频谱 谱线的结构与波形参数的关系 若T一定 变小 此时 谱线间隔 不变 两零点之间的谱线数目 2 2 T T 增多 b 若 一定 T增大 间隔 减小 频谱变密 如果周期T无限增长 这时就成为非周期信号 那么 谱线间隔将趋近于零 周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱 各频率分量的幅度也趋近于无穷小 n 0 1 2 周期信号的频带宽带 带宽 在允许一定失真的条件下 信号可以用某段频率范围的信号表示 此频率范围称为信号带宽 一般把第一个零点作为信号带宽 信号的带宽与信号时域的持续时间成反比 即越大 B越小 越小 B越大 4 3周期信号的频谱 物理意义 在信号的有效带宽内 集中了信号的绝大部分谐波分量 若信号丢失有效带宽以外的谐波成份 不会对信号产生明显影响 说明 当信号通过系统时 信号与系统的有效带宽必须 匹配 4 3周期信号的频谱 4 4傅里叶变换 4 4非周期信号的频谱 傅里叶变换 一 傅里叶变换 非周期信号f t 可看成是周期T 时的周期信号 前已指出当周期T趋近于无穷大时 谱线间隔 趋近于无穷小 从而信号的频谱变为连续频谱 各频率分量的幅度也趋近于无穷小 不过 这些无穷小量之间仍有差别 4 4傅里叶变换 为了描述非周期信号的频谱特性 引入频谱密度的概念 令 单位频率上的频谱 根据傅里叶级数 考虑到 T 无穷小 记为d n 由离散量变为连续量 频谱密度函数 4 4傅里叶变换 同时 于是 傅里叶变换式 傅里叶反变换式 F j 称为f t 的傅里叶变换或频谱密度函数 简称频谱 f t 称为F j 的傅里叶反变换或原函数 也可简记为 如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率 则上述变换对可写为 4 4傅里叶变换 4 4傅里叶变换 F j 一般是复函数 写为 说明 1 前面推导并未遵循严格的数学步骤 可证明 函数f t 的傅里叶变换存在的充分条件 2 用下列关系还可方便计算一些积分 例1 如图所示信号的傅里叶变换记为 试求和 4 4傅里叶变换 4 4傅里叶变换 二 常用函数的傅里叶变换 单边指数函数f t e t t 0实数 4 4傅里叶变换 2 双边指数函数f t e t 0 4 4傅里叶变换 3 门函数 矩形脉冲 4 4傅里叶变换 4 冲激函数 t t 4 4傅里叶变换 5 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件 如1 t 等 但傅里叶变换却存在 直接用定义式不好求解 可构造一函数序列 fn t 逼近f t 即 而fn t 满足绝对可积条件 并且 fn t 的傅里叶变换所形成的序列 Fn j 是极限收敛的 则可定义f t 的傅里叶变换F j 为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换 4 4傅里叶变换 所以 构造 时域无限宽 频域无限窄 4 4傅里叶变换 另一种求法 t 1代入反变换定义式 有 将 t t 再根据傅里叶变换定义式 得 6 符号函数 4 4傅里叶变换 4 4傅里叶变换 7 阶跃函数 t 4 4傅里叶变换 归纳记忆 1 傅里叶变换对 4 4傅里叶变换 2 常用函数傅里叶变换对 g t sgn t 1 1 4 5傅里叶变换的性质 4 5傅里叶变换的性质 一 线性 若 证明 则 4 5傅里叶变换的性质 例1 解 4 5傅里叶变换的性质 二 时移性质 证明 若 4 5傅里叶变换的性质 例2 解 4 5傅里叶变换的性质 三 对称性质 证明 将上式中的自变量t换为 t 得 将上式中的t换为w 将原有的w换为t 得 若 则 4 5傅里叶变换的性质 例3 解 4 5傅里叶变换的性质 解 直接利用定义式不易求出Sa t 的傅里叶变换 利用对称性则比较方便 4 5傅里叶变换的性质 解 利用对称性 4 5傅里叶变换的性质 四 频移性质 证明 若 例6 4 5傅里叶变换的性质 解 解 4 5傅里叶变换的性质 五 尺度变换性质 证明 若a 0 a为实常数 若 4 5傅里叶变换的性质 令a 1 若a 0 4 5傅里叶变换的性质 例8 解法一 解法二 4 5傅里叶变换的性质 例9 解 利用对称性 4 5傅里叶变换的性质 例10 解 利用时移特性 尺度变换 令a 2 有 利用频移特性 4 5傅里叶变换的性质 六 卷积定理 若 则 若 则 即时域卷积 则频域相乘 即时域相乘 则频域卷积 4 5傅里叶变换的性质 证明 4 5傅里叶变换的性质 例11 解 利用对称性 例12 解 两个相同的门函数卷积可得到三角形脉冲 4 5傅里叶变换的性质 4 5傅里叶变换的性质 利用时域卷积定理 4 5傅里叶变换的性质 七 时域的微分和积分 若 则 式中 4 5傅里叶变换的性质 例13 解 4 5傅里叶变换的性质 例14 解 f t t 2 2 t t 2 F2 j F f t ej2 2 e j2 2cos 2 2 4 5傅里叶变换的性质 八 频域的微分和积分 若 则 则 式中 解 4 5傅里叶变换的性质 例15 依频域的微分性质 4 5傅里叶变换的性质 例16 解 九 帕斯瓦尔方程 能量等式 证明 F j 2为单位频率上的信号能量 能量密度谱 4 5傅里叶变换的性质 例17 求信号 解 4 5傅里叶变换的性质 的能量 例18 4 5傅里叶变换的性质 十 相关定理 若 则 相关定理 两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积 傅里叶变换性质的补充例题 1 若 求 2 3 4 5 6 7 8 傅里叶变换性质的补充例题 4 6能量谱和功率谱 4 6能量谱和功率谱 一 能量谱 二 功率谱 4 6能量谱和功率谱 周期信号 非周期信号 周期信号的傅里叶变换如何求 它与傅里叶级数的关系 4 7周期信号的傅里叶变换 4 7周期信号傅里叶变换 4 7周期信号傅里叶变换 一 正 余弦函数的傅里叶变换 4 7周期信号傅里叶变换 二 一般周期信号的傅里叶变换 关键 计算 1 的频谱由无穷多个冲激函数组成 3 冲激的强度正比于傅里叶级数系数 为的倍 4 7周期信号傅里叶变换 2 只存在于处 4 7周期信号傅里叶变换 例1 周期为T的单位冲激周期函数 解 求其傅里叶变换 例2 已知 求其傅里叶变换 4 7周期信号傅里叶变换 解 周期信号可以展开成指数形式的傅里叶级数 可见 由于 故 4 7周期信号傅里叶变换 例3 周期信号如图 求其傅里叶变换 解 周期信号f t 也可看作一时限非周期信号f0 t 的周期拓展 即 4 7周期信号傅里叶变换 这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法 卷积定理 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和 周期信号 非周期信号 基本信号 4 8LTI系统的频域分析 4 8LTI系统的频域分析 时域 频域 傅里叶变换 一 基本信号作用于LTI系统的响应 4 8LTI系统的频域分析 当激励是角频率 的基本信号ej t时 其响应为 称为系统的频率响应 反映了响应的幅度和相位 4 8LTI系统的频域分析 4 8LTI系统的频域分析 二 一般信号f t 作用于LTI系统的响应 ej t H j ej t F j ej td F j H j ej td 齐次性 可加性 f t y t F 1 F j H j Y j F j H j 频域分析法步骤 幅频特性偶函数 相频特性奇函数 4 8LTI系统的频域分析 对周期信号还可用傅里叶级数法求响应 周期信号 若 则可推导出 4 8LTI系统的频域分析 例1 某LTI系统的和如图 若 求系统的响应 4 8LTI系统的频域分析 4 8LTI系统的频域分析 解法一 用傅里叶变换 F j 4 4 5 5 4 10 10 Y j F j H j 4 H 0 4 5 H j5 5 H j5 4 10 H j10 10 H j10 H j H j ej 4 4 j0 5 5 j0 5 5 y t F 1 Y j 2 2sin 5t 解法二 用三角傅里叶级数 f t 的基波角频率 5rad s f t 2 4cos t 4cos 2 t H 0 1 H j 0 5e j0 5 H j2 0 y t 2 4 0 5cos t 0 5 2 2sin 5t 4 8LTI系统的频域分析 三 频率响应的求法 1 2 由微分方程求 对微分方程两边取傅里叶变换 由电路直接求出 4 8LTI系统的频域分析 4 8LTI系统的频域分析 例2 某系统的微分方程为求时的响应 解 微分方程两边取傅里叶变换 j Y j 2Y j F j f t e t t Y j H j F j y t e t e 2t t 例3 如图电路 R 1 C 1F 以uC t 为输出 求其h t 解 画电路频域模型 4 8LTI系统的频域分析 例4 一个LTI系统的频率响应若输入信号 求该系统的输出 4 8LTI系统的频域分析 如何保证信号经过系统不会失真 如何根据要求设计系统函数 什么系统函数是理想函数 如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的 上面的处理提出几个问题 4 8LTI系统的频域分析 四 无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类 一类是信号的传输 一类是滤波 传输要求信号尽量不失真 而滤波则滤去或削弱不需要有的成分 必然伴随着失真 1 无失真传输 1 定义 信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比 只有幅度的大小和出现时间的先后不同 而没有波形上的变化 4 8LTI系统的频域分析 即输入信号为 经过无失真传输后 输出信号应为 2 无失真传输条件 a 对的要求 4 8LTI系统的频域分析 b 对的要求 上述是信号无失真传输的理想条件 当传输有限带宽的信号时 只要在信号占有频带范围内 系统的幅频 相频特性满足以上条件即可 4 8LTI系统的频域分析 例4 系统的幅频特性 H j 和相频特性如图 a b 所示 则下列信号通过该系统时 不产生失真的是 a f t cos t cos 8t b f t sin 2t sin 4t c f t sin 2t sin 4t d f t cos2 4t 4 8LTI系统的频域分析 2 理想低通滤波器 具有如图所示幅频 相频特