[高等教育]线性代数第二章.ppt

逆矩阵的概念 主要内容 矩阵可逆的充要条件 可逆矩阵的性质 举例 第三节逆矩阵 引例 矩阵多项式 补充例题 一 引例 定义7设 是n阶方阵 若存在n阶方 阵 使得 AB BA E 1 则称矩阵A可逆 且称B是A的逆矩阵 记作 B A 1 如果不存在满足 1 的矩阵B 则称矩阵 A是不可逆的 二 逆矩阵的概念 现在的问题是 矩阵A满足什么条件时可逆 可逆矩阵的逆矩阵是否唯一 如何求逆矩阵 可逆矩阵有什么性质 这是本节要讨论的问题 三 矩阵可逆的充要条件 定理1如果n阶矩阵 可逆 则它的逆 矩阵是唯一的 定理 n阶矩阵 可逆的充要条件是 0 如果 可逆 则 其中 为矩阵 的伴随矩阵 由 推论若AB E 或BA E 则 B A 1 可得下述推论 若n阶矩阵A的行列式不为零 即 A 0 则称A为非奇异矩阵 否则称A为奇异矩阵 说明 矩阵A可逆与矩阵 非奇异是 等价的概念 定理 不仅给出了矩阵可逆的充要条件 而 且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法 称这种方法为 伴随矩阵法 四 可逆矩阵的性质 2 设A B Ai i 1 2 m 为n阶可逆矩阵 k为非零常数 则 A 1 kA AB A1A2 Am AT 也都是可逆矩阵 且 1 A 1 1 A 3 AB 1 B 1A 1 A1A2 Am 1 Am 1 A2 1A1 1 4 AT 1 A 1 T 5 6 Am 1 A 1 m m为正整数 例10求二阶矩阵 的逆矩阵 五 举例 例11用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵 单击这里开始解答 例12解矩阵方程AXB C 其中 例13设 求An 六 矩阵多项式 设 x a0 a1x amxm为x的m次多 项式 A为n阶方阵 记 A a0E a1A amAm A 称为矩阵A的m次多项式 1 定义 从而A的多项式可以像数x的多项式一样相乘或 分解因式 例如 E A 2E A 2E A A2 E A 3 E 3A 3A2 A3 因为矩阵Ak Al和E都是可交换的 所以 矩阵A的两个多项式 A 和f A 总是可交换的 即总有 A f A f A A 2 性质 3 计算方法 1 如果A P P 1 则Ak P kP 1 从而 A a0E a1A amAm Pa0EP 1 Pa1 P 1 Pam mP 1 P P 1 2 如果 diag 1 2 n 为对角矩阵 则 k diag 1k 2k nk 从而 a0E a1 am m 例14设 求 A A3 2A2 3A 例1设方阵A满足 证明 都可逆 并求 七 补充例题 例2设 求B 例3设n阶方阵A B A B均可逆 证明 A 1 B 1 1 A A B 1B B B A 1A 例4设A为n n 2 阶方阵 证明 A A n 1 分块矩阵的定义 主要内容 分块矩阵的运算 第四节矩阵分块法 两种常用的分块法 线性方程组的各种形式 克拉默法则的证明 对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用 分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 我们 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式 上的矩阵称为分块矩阵 一 分块矩阵的定义 例如将3 4矩阵 分成子块的分法很多 下面举出三种分块形式 分法 1 可记为 其中 即A11 A12 A21 A22为A的子块 而A形式上成为 以这些子块为元素的分块矩阵 分块矩阵可类似写出 这里从略 分法 2 及 3 的 二 分块矩阵的运算 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似 分别说明如下 1 加法运算 设矩阵A与B的行数相同 列数相同 采用 相同的分块法 有 其中Aij与Bij的行数相同 列数相同 那么 为常数 那么 2 数乘运算 设 3 分块矩阵的乘法运算 设A为m l矩阵 B为l n矩阵 分块成 其中 其中Ai1 Ai2 Ait的列数分别等于B1j B2j Btj的行数 那么 例15设 求AB 4 分块矩阵的转置 设 则 5 分块对角矩阵 设A为n阶方阵 若A的分块矩阵只有在主对 角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零 子块都是方阵 即 其中Ai i 1 2 s 都是方阵 那么称A为分块 对角矩阵 分块对角矩阵的性质 2 若 Ai 0 i 1 2 s 则 A 0 且 1 A A1 A2 As 例16设 求A 1 三 两种常用的分块法 1 按行分块 对于m n矩阵A可以进行如下分块 2 按列分块 对于m n矩阵A可以进行如下分块 对于矩阵A aij m s与矩阵B bij s n的 乘积矩阵AB C cij m n 若把A按行分成m 块 把B按列分成n块 便有 cij m n 以对角矩阵 m左乘m n矩阵A时 把A按行 分块 有 以对角矩阵 m左乘A的结果是A的每一行乘以 m 中与该行对应的对角元 以对角矩阵 n右乘m n矩阵A时 把A按列 分块 有 以对角矩阵 n右乘A的结果是A的每一列乘以 n 中与该列对应的对角元 例17证明矩阵A O的充要条件是方阵 ATA O 四 线性方程组的各种形式 对于线性方程组 记 其中A称为系数矩阵 x称为未知向量 b称为常 数项向量 B称为增广矩阵 按分块矩阵的记法 可记 或B A b a1 a2 an b 利用矩阵的乘法 此方程组可记作 Ax b 2 方程 2 以向量x为未知元 它的解称为方程组 1 的解向量 如果把系数矩阵A按行分成m块 则线性方 程组Ax b可记作 或 这就相当于把每个方程 ai1x1 ai2x2 ainxn bi 记作 如果把系数矩阵A按列分成n块 则与A相 乘的x应对应地按行分成n块 从而记作 即x1a1 x2a2 xnan b 4 2 3 4 是线性方程组 1 的 各种变形 今后 它们与 1 将混同使用而不加 区分 并都称为线性方程组或线性方程 Ax b 2 或 x1a1 x2a2 xnan b 4 五 克拉默法则的证明 克拉默法则对于n个变量 n个方程的线 如果它的系数行列式D 0 则它有唯一解 性方程组 例2 2第56页习题17设 解 提公因子得 将含有未知矩阵和不含未知矩阵的项分置等号两端 已求得形式解 注 第56页18题与此例相似 先利用算律充分化简 再进行数据计算 已化为矩阵方程的标准形式 1次求伴随阵 2次求逆 1次乘积 1次求逆 例2 3第56页习题23设方阵A可逆 证明 A 亦可逆 且 证明 方阵A可逆 故 于是有 将 1 2 式两端分别相乘 得 将上式中的A换成A 1 得 由本章定理2的推论知 A 亦可逆 且 证毕 其中 例2 5第56页习题20设 解 令 则 本次课基本要求1 掌握矩阵分块的思想方法和运算规则 2 熟练掌握主对角分块对