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科学计算方法 1 Newton迭代格式2 Newton迭代法的收敛性3 弦截法 初值 x1 1 5迭代格式 xn 1 0 5 xn 2 xn n 1 2 平方根算法求 设x 是方程f x 0的根 x0是x 的近似值 在x0附近 对函数做局部线性化 x1比x0更接近于x 令f x 0 n 0 1 2 牛顿迭代格式 给定初值x0 迭代产生数列 x0 x1 x2 xn 应用 求正数平方根算法 令f x x2 C 则 由此可知 平方根迭代具有2阶收敛速度 牛顿迭代法误差分析 Newton迭代法的局部收敛性 定理3设f x 在点x 的某邻域内具有二阶连续导数 且设f x 0 f x 0 则对充分靠近点x 的初值x0 Newton迭代法至少平方收敛 所以 Newton迭代法至少平方收敛 利用收敛定理 例4 求f x xex 1 0在x0 0 5附近的根 解 迭代格式为 n 0 1 f inline x exp x 1 f1 inline x 1 exp x x0 1 5 er 1 k 0 whileer 0 00001x x0 f x0 f1 x0 er abs x x0 x0 x k k 1end x 0 5671k 6er 4 3596e 009 牛顿法的缺陷 1 被零除错误 2 程序死循环 例如方程 f x x3 3x 2 0在重根x 1附近 f x 近似为零 对f x arctanx存在x0 Newton迭代法陷入死循环 Newton迭代法陷入死循环的另一个例子 p 72例5 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 牛顿迭代法收敛的四种情况 定理4 若函数f x 在 a b 上满足条件 则方程f x 0在 a b 上有唯一根x 且由初值x0按牛顿迭代公式求得的序列 xn 二阶收敛于x 1 f a f b 0 n 0 1 2 弦截法迭代格式 给定初值x0 迭代产生数列 x0 x1 x2 xn 弦截法 xn 1实际上是曲线上两点 xn f xn 和 xn
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