初等代数论文

精品文库浅谈多项式研究学号： 班级： 姓名： 摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。关键词：多项式 恒等定理 因式分解 初等数学 1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”， 是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x + 1，是没有任何根的严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。2.多项式的一般概念给一个环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式：，当中 a0,an 是 R 的元素。用 表达法，有容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环 Rx，称为 R 上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x、xa2 及 axa 可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有 n 个变量的多项式，称为 n元多项式。通常以 Rx,y,z 表示 R 为系数环，x，y 及 z 为变量的多项式环。在 中， 称为单项式，其中 a R是系数而 为非负整数，是 的次数。 是这个单项式的次数。2.1多项式的项数 若多项式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数目称为项数。例如多项式 的项数是四，故称为四项式。当中的 、 、 、都是此多项式的项。以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如 是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和 。另外的例子是 共有二项，此多项式称二项式。（注：若把 看作成在 Rcx,y=(Rc)x,y 中的多项式，则它只是三项式，分别是 、 、及 。 ）若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“多项式”。例如： ，因为出现在分母里，所以不是多项式。 ，因为出现在根号里，所以不是多项式。 ，因为出现在绝对值里，所以不是多项式。2.2变式与常数项多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。 例如多项式: 中的 、 、 、 都是此多项式的变项。而是常数项。（注：若把 看作成在 Rcx,y=(Rc)x,y 中的多项式，则 才是常数项。 ）2.3多项式的“元”多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z)，一个多项式有n种变量就称为n元多项式。例如： 中有、 二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。2.4多项式的次数多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。例如多项式： 中 的次数最高，有三次方，故此多项式的次数为三。 因而此多项式可称为三元三次四项式。称为三次项， 及 称为一次项或线性项，而 5 是 0 次项或常数项。又例如多项式 ， 与 二项都是一次方，而常数项是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。常数项是零次方因为可被视为是 。而任何非零数字零次方都是1，故，常数项的次数都为0。又例如 的首项是五次，次项是四次，所以是个三元五次多项式。（注：若把 看作成在 Rcx,y=(Rc)x,y 中的多项式，则第一项是三次而系数为 c2 ，第二项是四次，是个二元四次多项式。 ）多项式 p 的次数，记作 deg(p)，由英语 degree 而来。，所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项（常数项除外）的系数都是0，而零多项式则指每一项的系数（包括常数项）都是0。1 次多项式又称为 线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。2.5多项式的升幂及降幂排列多项式可依各单项式元的次数排列。次数从低到高是升幂排列。 例如：以下多项式，从排到次数从高到低是降幂排列。 例如：以下多项式，从排到若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。例如:是依X的次数排列。亦可以y的次数排列。例如:3.多项式的恒等定理多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式与恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根, 因此, 当取个不同的值时, , 那么一定有. 由此推出, 两个次数均不超过的多项式和, 如果对于的个不同的值, 都有, 那么3.1 多项式恒等定理的有关理论定义1 设是一非负整数. 形式表达式 （1）其中全属于数域, 称为系数在数域中的一元多项式, 或者简称为数域上的一元多项式. 定义2 如果在多项式与中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么与就称为相等, 记为.系数全为零的多项式称为零多项式, 记为0. 定义3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号表示恒等. 定理1 若数域上的多项式恒等于零, 即, 则. 定理2 数域P上非零多项式恒等的充要条件是. 定理3 多项式恒等定理：数域上两个多项式（或）的充要条件是定理4 中次多项式在数域中的根不可能多于个, 重根按重数计算. 定理5 如果多项式的次数都不超过, 而它们对个不同的数有相同的值, 即, , 那么. 因为数域中有无穷多个数, 所以上述结论表明, 多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的. 数域上的多项式既可以用形式表达式来处理, 也可以作为函数来处理. 定理2、定理3和定理5从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件, 它们是等价的.3.2 多项式恒等定理在初等数学中的应用3.2.1 待定系数法 定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法待定系数法的理论依据. 所谓待定系数法, 是假定一个多项式的等式成立, 某些未知的系数先形式的写出来, 再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系, 列出以待定系数为未知量的方程组, 解这些方程组就可以得到所求的系数. 例1 已知三次多项式在=-1, 0, 1, 2时函数值分别为1, 2, 3, 2, 试写出这个多项式. 解： 令, 由条件可知解之得所以. 例2 已知是三次函数, 且, , , 求函数的解析式. 解：设, 则. 将已知条件代人得方程组解以上方程组得, , , .一般已知函数的类型求函数表达式时, 先用待定系数法设出函数表达式, 然后再用方程（或方程组）求解待定系数.3.2.2 在三角恒等式中的应用 在三角恒等问题中, 某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简. 例3证明. 分析：这是一个三角恒等问题, 常规方法是利用三角函数的有关公式进行恒等变换, 这样运算量比较大, 观察等式可知左右两边均为关于的一次多项式, 因而我们可以考虑运用多项式恒等定理. 证：设,则与都是的一次多项式. 令=0, 则, 故；令,则,所以,由定理4, ,即3.2.3 证明恒等式 恒等式的证明是中学数学常见的问题之一. “两个多项式与相等, 对于任意的, 都有.” 根据这条结论, 在证明某些恒等问题时, 我们可以构造两个相等的多项式函数, 然后将特定的数赋值给自变量, 即可得欲证之式. 当等式两边的次数较低时, 我们还可以根据定理4, 将个特殊的函数值进行比较, 即可得欲证之式. 例4 已知, 求证. 证：设, 则 因此, 而 , 因此可得令, 即得所证之式. 3.2.4 因式分解 “若两个多项式相等, 则它们同次的对应项系数一定相等. ”用这条结论可以处理 因式分解问题.3.2.5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 二项式定理： 例5已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为, 则展开式中常数项是 . 分析 由已知条件可求出的值. 再利用通项求出. 解: 由, 得. 解得 ,(舍). 由,令 , . 故常数项.4.因式分解把一多项式分成几个整式的积，称为因式分解。这些整式可称因式。以下是常用的因式分解公式oo4.1多项式分解的方法.4.1.1 提公因式法 定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来,从而将多项式化成两个因式相乘的形式叫做提公因式法。 例1 分解因式 bm-am+cm分析 在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c) 例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析 通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).4.2.2运用公式法 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 立方和公式：a3+b3=(a +b)(a2-ab+b2) 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)运用公式法分解因式，就是把一些形如公式形式的多项式按公式的形式分解成，几个因式的乘积的形式的方法。 在运用乘法公式分解因式时，一定要熟悉和掌握几个乘法公式，并且把所要分解的多项式和公式进行对比，观察多项式中的哪一项相当于公式中的哪个字母，同时，还要注意它们的符号，以免带来错误的解法。 例3 分解因式 4a2-9b2 分析 4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.将两项交换后，这两项式是平方差的形式. 解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式. 例4 分解因式 (1)x(x2-1)-x2+1 (2)(x2+x+2)(x2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x2+1变形为-(x2-1)则可提取公因式(x2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2) 题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2与x2+x+7的平均数为，故可用换元法解： 解 (1)x(x2-1)-x2+1=x(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x-1)=(x+1)(x-1)2 (2)设y= =则(x2+x+2)(x2+x+7)-6=(x2+x+8)(x2+x+1)注 此题也可以展开式子(x2+x)2+9(x2+x)+8再应用十字相乘法进行. 说明 此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式.4.2。3分组分解法分组分解法，是先根据多项式的特点，将其适当分组,然后各组分别变形，如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因式，如分解ax+ by+ay+bx可以分成两组，ax+ay、bx+by，而每个组都有公因式x+y，从而再提取公因式x+y ，就达到分解因式的目的，即分解为(a+b)(x+y) 例5 把多项式ax+ay+bx+by分解因式 分析 通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配. 解 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做. ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 例6 把多项式x-x-y-y分解因式 分析 利用二二分法，再利用公式法a-b=(a+b)(a-b)，然后相合解决. 解 x-x-y-y =(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 例7 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析 这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a9a2-(4x2-4xy+y2)=5a(3a)2-(2x-y)2=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).42。4十字相乘法 十字相乘法实际上是借助十字交叉线分解系数，建立的十字交叉线图既直观，又易于比较系数之间的关系，尤其方便调整因数(式)，使之达到分解因式的目的，这种方法体现了数学中的一种思想,那就是数形结合思想。 例如:分解因式：a2+3a -4 用十字交叉线的方法表示如下：1 41 -11(-1)+14=3 a2+3a-4 可分解为:(a+4)(a-1) 例8 把多项式x2+2x-15分解因式分析 通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解 1 -3 1 5 15+1(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5). 例9 把2x-7x+3分解因式. 分析 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！ 2=12=21； 分解常数项： 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 13+21=5 1 3 2 1 11+23 =7 1 -1 2 -3 1(-3)+2(-1)=-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7. 解 2x-7x+3=(x-3)(2x-1) 例10 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析 这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)2(x-y)-3-2=2(x-y)2-3(x-y)-2 1 -2 2 1 11+2(-2)=3 原式=(x-y)-22(x-y)+1=(x-y-2)(2x-2y+1). 注 把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 4.2。5求根公式法如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-b/a ， x1x2= c/a b/a=-（x1+x2）， c/a= x1x2 ax2bxc=a（x2+ b/a x + c/a）= a x2- （x1+x2）+ x1x2=a（x- x1）（x- x2）从而得到二次三项式因式分解公式：ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)例11 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式 解 令2x4+7x3-2x2-13x+6=0， 则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1 所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)例12 分解因式 3x4x13x6 分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商上例中常数项是6，则因数是1，2，3，6，最高次项系数是3,则因数是1，3，所以根可能是1，1/3，2，2/3，3，6，它们的因式可能是x1，x2，x3，x6，3x1，3x2试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复解 3x4x13x6=(x+1)(x3)(3x+2) 4.2.6配方法 对于直接用十字相乘法比较困难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。 配方法是数学中极其重要的一个方法。在代数式中，利用添项的方法，给原多项式配上适当的部分，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。例13： 分解因式分解因式m4+n4+（m+n）4 分析 将（m+n）4化为（m2,+2mn+n2）2，再将m4+n4化为（m2+n2）2-2m2n2，创造用完全平方公式分解因式的条件，便可达到将原式分解因式的目的。解： 原式=（m4+2m2n2+n4）-2m2n2+ (m+n)22 = （m2+n2）2-2m2n2+（m2,+2mn+n2）2 = m2+n2）2-2m2n2+（m2+n2）2+4mn（m2+n2）+4 m2n2 =2（m2+n2）2+2（m2+n2）mn+（mn）2 =2（m2+n2+mn）24.2.7待定系数法 待定系数法式求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力工具。用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程（组）确定待定系数的值。例14 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式 分析 在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式. 于是设x4-x3-5x2-6x-4 =(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4 则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)4.3多项式因式分解的特点结果的相对性：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算最后结果，应视给定数域而异。解法的多样性：对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。但是，很多因式分解题的解法不是唯一的。特别在用分组分解时，由于拆项组合的方式不同