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文档简介

Warshall算法 有向图的传递闭包一个n顶点有向图的传递闭包可以定义为一个n阶布尔矩阵T tij 如果顶点i到顶点j存在一条有效路径 则tij 1 否则tij 0 Warshall算法思想 划分阶段用n阶布尔矩阵R k 0 k n 来表示有向图中任意一对节点是否有有向路径的信息 因此 可将原问题划分为如下的决策阶段 R 0 R k 1 R k R n 具体来说 当且仅当 从节点i到节点j存在一条有向路径 且该路径上的每一个中间节点的编号都不大于k时 矩阵R k 的第i行第j列的元素rij k 1 vi 每个节点编号都不大于k的中间节点集 vj R 0 就只是有向图的邻接矩阵 R 1 包含可以用第一个顶点作为中间点的路径信息 R n 说明可以用所有的顶点作为中间点寻找有向路径 所以R n 就是我们要求的传递闭包 这个算法的中心是我们可以通过R k 1 来计算R k 的所有元素 5 Warshall算法思想 确定递推关系式对于路径 vi 每个节点编号都不大于k的中间节点集C vj情况1 Vk C 那么中间节点集合的节点编号定不会大于k 1 因此有 rij k rij k 1 Vk C情况2 Vk C 则有路径 vi 编号 k 1的节点集 Vk 编号 k 1的节点集 vj此时节点i到节点j是否有路径 取决于两部分 编号 k 1的节点集 因此有 rij k rik k 1 和rkj k 1 Vk C 6 Warshall算法思想 递推关系式rij k rij k 1 orrik k 1 andrik k 1 7 Warshall算法实例 该矩阵反映了不包含中间顶点的路径 框起来的行和列用来计算R 1 该矩阵反映了包含编号不大于1的中间顶点 也就是a 的路径 有一条从d到b的新路径 框起来的行和列用来计算R 2 包含编号不大于2的中间顶点 也就是a b 包含编号不大于3的中间顶点a b c 的路径 没有新路径 包含编号不大于4的中间顶点 a b c d 的路径 有五条新路径 8 Warshall算法 算法Warshall A 1 n 1 n 实现计算传递闭包的Warshall算法 输入 包括n个节点有向图的邻接矩阵 输出 该有向图的传递闭包R 0 Afor k 1 k n k for i 1 i n i for j 1 j n j R k i j R k 1 i j orR k 1 i k andR k 1 k j returnR n 矩阵乘法的算法 voidMult matrix intc inta intb intn a b和c均为n阶方阵 且c是a和b的乘积for i 1 i n i for j 1 j n j c i
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