苏北四市数学10模拟.doc

苏北四市高三数学试卷第页(共6页)苏北四市20092010学年度高三年级第二次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)20104参考公式：(1) 样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中i.(2) 锥体的体积公式VSh，其中S为锥体底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1. 已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_2. 已知复数z(2i)i(i是虚数单位)，则|z|_.3. 已知向量a(6,2)，b(3，k)，若ab，则实数k等于_4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为_(第4题)7984446793(第5题)(第6题)5. 如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为_(茎表示十位数字，叶表示个位数字)6. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1BCO的体积为_7. 已知函数f(x)x(p为常数且p0)，若f(x)在区间(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_8. 已知数列an的各项均为正数，若对于任意的正整数p、q总有apqapaq，且a816，则a10_.9. 将函数f(x)2sin(x)(0)的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象若yg(x)在0，上为增函数，则的最大值为_10. 已知函数f(x)ax2bx1，其中a(0,2，b(0,2，则此函数在区间1，)上为增函数的概率为_11. 对于问题：“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1,2)，解关于x的不等式ax2bxc0”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于x的不等式0的解集为(1，)(，1)，则关于x的不等式0的解集为_12. 如图，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()()_.(第12题)(第13题)13. 如图，已知椭圆C的方程为1(ab0)，B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是_14. 若函数f(x)ax(a1)的定义域和值域均为m，n，则a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，点P(，cos2)在角的终边上，点Q(sin2，1)在角的终边上，且.求：(1) cos2的值；(2) sin()的值16. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱BC的中点求证：(1) ADC1D；(2) A1B平面ADC1.(本小题满分14分)设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”(1) 若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”；(2) 若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系18. (本小题满分16分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x2，点P在准线l上，纵坐标为3t(tR，t0)，点Q在y轴上，纵坐标为2t.(1) 求抛物线C的方程；(2) 求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程19. (本小题满分16分)一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB、DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EFAB，GHCD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.(1) 若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P.设CMN(rad)，试用表示木棒MN的长度f()；(2) 若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值20. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax3bx2(ba)x(a、b是不同时为零的常数)，导函数为f(x)(1) 当a时，若存在x3，1使得f(x)0成立，求b的取值范围；(2) 求证：函数yf(x)在(1,0)内至少有一个零点；(3) 若函数f(x)为奇函数，且在x1处的切线垂直于直线x2y30，关于x的方程f(x)t在1，t(t1)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围.苏北四市高三数学附加题试卷第页(共2页)苏北四市20092010学年度高三年级第二次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2小题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，在ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于点F，求的值B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标D. (选修45：不等式选讲)已知函数f(x)(xa)2(xb)2(xc)2(a、b、c为实数)的最小值为m，若ab2c3，求m的最小值【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为，记该参加者闯三关所得总分为.求：(1) 该参加者有资格闯第三关的概率；(2) 的分布列和数学期望如图，已知抛物线M：x24py(p0)的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A、B，再分别过A、B两点作l的垂线，垂足分别为C、D.(1) 求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；(2) 若ACN，BDN，ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标苏北四市高三数学参考答案第页(共3页)苏北四市20092010学年度高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 22. 3. 14. 455. 6. 7. 8. 329. 210. 11. (3，1)(1,2)12. 513. 14. (1，e)15. 解：(1) 因为，所以sin2cos2，即(1cos2)cos2，所以cos2，所以cos22cos21.(6分)(2) 因为cos2，所以sin2，所以点P(，)，点Q(，1)又点P(，)在角的终边上，所以sin，cos.同理sin，cos.所以sin()sincoscossin().(14分)16. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以C1C平面ABC.又AD平面ABC，所以C1CAD.(2分)又点D是棱BC的中点，且ABC为正三角形，所以ADBC.因为BCC1CC，所以AD平面BCC1B1.(4分)又因为DC1平面BCC1B1，所以ADC1D.(6分)(2) 连结A1C交AC1于点E，再连结DE.因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点又因为D为BC的中点，所以EDA1B.又A1B平面ADC1，ED平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(14分)17. 解：(1) 因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1.因此bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn为“和等比数列”(6分)(2) 设数列cn的前n项和为Rn，且k(k0)，因为数列cn是等差数列，所以Rnnc1d，R2n2nc1d，所以k对于nN*都成立化简，得(k4)dn(k2)(2c1d)0，(10分)则因为d0，所以k4，d2c1.因此d与c1之间的等量关系为d2c1.(14分)18. (1) 解：设抛物线C的方程为y22px(p0)，因为准线l的方程为x2，所以2，即p4.因此抛物线C的方程为y28x.(4分)(2) 证明：由题意可知，P(2,3t)，Q(0,2t)，则直线PQ方程为y2tx，即(t21)x2ty4t20.(8分)设圆心在x轴上，且与直线PQ相切的圆M的方程为(xx0)2y2r2(r0)，则圆心M(x0,0)到直线PQ的距离r，(10分)即(t21)x04t2rrt2或(t21)x04t2rrt2由可得(x0r4)t2x0r0对任意tR，t0恒成立，则有解得(舍去)(14分)由可得(x0r4)t2x0r0对任意tR，t0恒成立，则有可解得因此直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，圆M的方程为(x2)2y24.(16分)19. 解：(1) 如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W.在RtNWS中，因为NW2，SNW，所以NS.因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQMN.在RtQPS，因为PQ1，PQS，所以QS，QTQS2. 若S在线段TG上，则TSQTQS.在RtSTM中，MS，因此MNNSMSNS. 若S在线段GT的延长线上，则TSQSQT.在RtSTM中，MS，因此MNNSMSNSNS.f()MNNS()(0)(8分)(2) 设sincost(1t)，则sincos，因此f()g(t).因为g(t)，又1t，所以g(t)0恒成立因此函数g(t)在t(1，是减函数，所以g(t)ming()42，即MNmin42.答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为42.(16分)20. (1) 解：当a时，f(x)x22bxb(xb)2b2b，其对称轴为直线xb，当解得b；当b无解，所以b的取值范围为(，)(4分)(2) 证明：因为f(x)3ax22bx(ba)，法1：当a0时，x适合题意；(6分)当a0时，3x22x(1)0，令t，则3x22tx(t1)0.令h(x)3x22tx(t1)，因为h()0，当t1时，h(0)t10，所以yh(x)在(，0)内有零点当t1时，h(1)2t10，所以yh(x)在(1，)内有零点因此，当a0时，yh(x)在(1,0)内至少有一个零点综上可知，函数yf(x)在(1,0)内至少有一个零点(10分)法2：f(0)ba，f(1)2ab，f().由于a、b不同时为零，所以f()f(1)0，故结论成立(3) 解：因为f(x)ax3bx2(ba)x为奇函数，所以b0，所以f(x)ax3ax.又f(x)在x1处的切线垂直于直线x2y30，所以a1，即f(x)x3x.因为f(x)3(x)(x)，所以f(x)在(，)，(，)上是増函数，在，上是减函数，由f(x)0解得x1，x0.如图所示，当1t时，f(t)t0，即t3t，解得t；当t0时，f(t)t0，解得t0；当t0时，显然不成立；当0t时，f(t)t0，即t3t，解得0t；当t时，f(t)t0，故t.所以所求t的取值范围是t0或0t.苏北四市高三数学附加题参考答案第页(共3页)苏北四市20092010学年度高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲解：过D点作DMAF交BC于M，因为DMAF，所以.(2分)因为EFDM，所以，即SBDM9SBEF.(4分)又，即SDMCSBDM6SBEF，(8分)所以S四边形DEFC14SBEF，因此.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f()232，(2分)令f()0，解得11，22.(4分)将11代入二元一次方程组 解得x0，(6分)所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；(8分)同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：因为直线l的极坐标方程为(R)，所以直线l的普通方程为yx.(3分)又因为曲线C的参数方程为(为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为yx2(x2,2)，(6分)联立解方程组得或(8分)根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0,0)(10分)D. 选修45：不等式选讲因为f(x)(xa)2(xb)2(xc)23x22(abc)xa2b2c23(x)2a2b2c2，(2分)所以x时，f(x)取最小值a2b2c2，即ma2b2c2.(5分)因为ab2c3，由柯西不等式得12(1)222(a2b2c2)(ab2c)29，(8分)所以ma2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立，所以m的最小值为.(10分)22. 解：(1) 设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为P1、P2、P3，该参加者有资格闯第三关为事件A.则P(A)p1(1p2)(1p1)p2p1p2.(4分)(2) 由题意可知，的可能取值为0、3、6、7、10，P(0)(1p1)(1p2)，P(3)p1(1p2)(1p3)(1p1)p2(1p3)，P(6)p1p2(1p3)，P(7)p1(1p2)p3(1p1)p2p3，P(10)p1p2p3，所以的分布列为036710P(8分)所以的数学期望E0367103.(10分)23. 解法1：(1) 因为抛物线的准线l的方程为yp，所以可设点N、A、B的坐标分别为(m，p)，(x1，y1)，(x2，y2)，则x4py1，x4py2，由x24py，得y，求导数得y，于是，即，化简得x2mx14p20，同理可得x2mx24p20，所以x1和x2是关于x的方程x22mx4p20的两个实数根，所以x1,2m，且x1x24p2.在直线AB的方程yy1(xx1)中，令x0，得yy1x1p为定值，所以直线AB必经过y轴上的一个定点Q(0，p)，即抛物线的焦点(5分)(2) 由(1)知x1x22m，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E，因为Q是抛物线的焦点，所以AQAC，BQBD，所以ACBDAB，所以SANBSANESBNEENCNENDNEN(CNDN)ENCNCN.又因为SACN，SBDN，所